2014年中考数学分析
2014年安徽省初中毕业学业考试
数 学
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项写在题后的括号内. 不选、选错或多选的（不论是否写在括号内）一律得0分。
1. (-2)⨯3的结果是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„【 】 A. －5 B.1 C.-6 D.6 考点：有理数的乘除
分析：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。基础题型，要求学生
熟练掌握有理数乘除的运算法则。 解答：C
2. x 2∙x 3= „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„【 】 A. x 5 B.x 6 C.x 8 D. x 7 考点：幂的运算
分析：同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。用字母表示
为： a m . a n =a m+n(m,n都是正整数) 。基础题型，要求学生熟练掌握幂的运算的公式。
解答：A 3. 如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图„【 】
第3题图
A
B
C
D
考点：简单几何体的三视图
分析：找出立体图形从上看所得到的平面图形图形。基础题型，要是学生区分三
视图的同时要有一定的立体感 解答：D
4. 下列四个多项式中，能因式分解的是„„„„„„„„„„„„„„【 】 A. a 2+1 B. a 2-6a +9 C.x 2+5y D. x 2-5y 考点：多项式的因式分解
分析：因式分解的两种方法：提取公因式和公式法，本题考查的是公式法。基础
题型，要求学生能够掌握因式分解的概念和方法。 解答：B
5. 某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了20
根棉花 纤维进行测量，其长度x （单位：mm ）的数据分布
如右表，则棉花纤维长度的数据在8≤x ＜32这个范围的频率为„【 】 A.0.8 B.0.7
C.0.4 D.0.2 考点：频率的计算
分析：一般地，如果一组数据共有n 个，二其中某一类数据出现了m
n 为该类数据在该组数据中的出现频率。 解答：A
6. 设n 为正整数，且n ＜65＜n +1，则
n 的值为„„„„„„„„„„„【 】 A.5 B.6 C.7
D.8
考点：含有二次根式的无理数的取值范围 分析：先确定被开方数是介于哪两个相邻的完全平方数的算术平方根之间。要求
学生对含有二次根式的无理数、完全平方数的概念有所理解。 解答：D
7. 已知x 2-2x -3=0，则2x 2-4x 的值为„„„„„„„„„【 】 A.-6 B.6 C.-2或6 D. -2或30 考点：代数式的运算
分析：本题在可以不解方程的情况下来求解，将方程变化为x 2−2x =3，所求的
代数式可因式分解为2（x 2−2x ），将x 2−2x 整体代入即可 解答：B
8. 如图，在Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B =60°. 将△ABC 折叠，使A
点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为„„
【 】
55
A. B. 第8题图
32C.4
D.5
考点：图形的折叠问题，勾股定理，解方程。 分析：折叠问题需要了解折叠前后所得到的两个图形是全等的关系，找出线段之
间的长度关系，通过图形的性质即可解出所求的线段。本题中可设BN=x，则ND=NA=9-x，BD=2，根据勾股定理可得到方程x 2+32=（9−x ），解出方程即可。 解答：C
9. 如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，动点P 从A 点出发，按A →B →C 的方向在AB 和
BC 上移动，记PA=x，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的图象大致是„【 】
1
2
第9题图
A B C D
考点：动点问题，等积法，函数及其图像问题 分析：本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变
量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围。动点问题是最近几年的热点和难点考题，根据点的移动来准确判断线段、面积等的变化。本题中，当P 点从A 移动到B, 点D 到直线PA 的距离即为线段AD 的长度，始终等于4，是个定值，当P 点
从B 移动到C 时，可根据△APD 的面积不变的性质得到2xy=2×4×3，即y=x ，为反比例函数，根据反比例函数图像的性质可以得出正确的答案。本题较难，题型比较灵活。 解答：B
10. 如图，正方形ABCD 的对角线BD 长为22，若直线l 满足：①点D 到直线l 的距离为3；②A 、C 两点到直线l 的距离相等.
则符合题意的直线l 的条数为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„【 】 第10题图A.1 B.2 C.3 D.4
考点：点到直线的距离；平行线之间的距离，勾股定理
分析：根据勾股定理可得正方形的边长为2，由①可得直线l 与以D 点为圆心，
12
1
1
长度为单位的圆相切，由②可得，直线l 与直线AC 平行，所以符合题
意的直线只有两条，分别在点D 的左右两侧。 解答：B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 据报载，2014年我国将发展固定宽带接入新用户25000000户，其中25000000用科学记数法表示为 . 考点：科学记数法—表示较大的数
分析：科学记数法就是把一个数写成a ×10n （其中1≤a
式，其方法是先确定a ，a 是只有一位整数的数；再确定n ，当原数的绝对值≥10时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减1。 解答：2.5×107
12. 某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于x 的函数关系式为y = .
考点：由实际问题抽象出二次函数问题；增长率问题
分析：本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为y ，
平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为y=a （1±x ）2．近几年常考的基础题型。 解答：a (1+x) 2
4x -12
=3的解是x = . 13. 方程
x -2
考点：分式方程的解法
分析：将分式方程转化成整式方程，求解整式方程，最后验根即可，基础题型。 解答：6
14. 如图，在□ABCD 中，AD =2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中一定成立的是 .（把所有正确结论的序号填在横线上）
1
①∠DCF =∠BCD ; 2
②EF=CF; ③S ∆BEC =2S ∆CEF ④∠DFE =3∠AEF .
第14题图
考点：平行四边形的性质，等腰三角形的性质，菱形的性质
分析：本题是几何知识的综合题型，难度较大。由AD =2AB ，F 是AD 的中点，可得∠DCF=∠DFC ，因为AD ∥BC ，所以∠DFC=∠FCB ，故①正确。过F 点作FG 垂直于EC 交EC 于点G ，交BC 于点H ，则FH ∥AB ，H 为BC 的中点，所以G 为EC 的中点，从而②正确。由题目中条件无法得知③正确。已知四边形FHCD 为菱形，所
以∠DFC=∠CFH=∠EFH ，因为∠AEF+∠FEC=90°，∠FCD+∠FCE=90°，∠FCE=∠FEC ，所以∠FCD=∠AEF ，所以④正确。 解答：①②④ 三．（本大题共2题，每题8分，满分16分） 15. 计算：25--3-(-π)+2013
【解】
考点：实数的性质及其运算
分析：计算题型一直是中考的基础题型，把握好实数的一些性质，本题中运用了
正数的算术平方根、绝对值、非零实数的零次幂、实数的加减运算等知识，比较简单，学生不易出错。 解答：解：原式＝5－3－1＋2013
＝2014．
16. 观察下列关于自然数的等式： 32-4⨯12=5 ① 52-4⨯22=9 ② 72-4⨯32=13 ③ „ „
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：92-4⨯（ ）2=（ ）
（2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并验证其正确性. 【解】
考点：规律探究题型，代数式的表达及等式的证明
分析：关键是通过观察、归纳与总结，得到其中的规律, 。（1）中第一个括号即
为等式的序号，第二个括号处为序号的4倍加1，（2）要求学生能够用代数式表达奇数2n ＋1，列出等式并加以证明。 解答：解：(1)4，17
(2)第n 个等式为(2n ＋1) 2－4n 2＝4n ＋1． ∵左边＝4n 2＋4n +1－4n 2＝4n ＋1＝右边， ∴第n 个等式成立．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC （顶点是网格线的交点）.
（1）将△ABC 向上平移3个单位得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1.
（2）请画出一个格点△A 2B 2C 2 ，使△A 2B 2C 2∽△ABC ，且相似比不为1.
第17题图
考点：作图---平移变换；作图---相似变换
分析：图形操作题是每年中考必考题，要求学生能够掌握平移、旋转、位似、相
似变换等问题，（1）根据网格结构找出点A 、B 、C 关于原点的对称点A 1、
B 1、C 1的位置，然后顺次连接即可；（2）学生可先确定一个相似比，比如2，根据相似图形的特征正确作图。 解答：解：(1)作出△A 1B 1C 1，如图所示．
2
第17题答案图
(2)本题是开放题，答案不唯一，只要作出的△A 2B 2C 2满足条件即可．
18. 如图，在同一平面内，两条平行高速公路l 1与l 2间有一条“Z ”型道路连通，其中AB 段与高速公路l 1成30°角，长为20km ；BC 段与AB 、CD 段都垂直，长为10km ；CD 段长为30km. 求两条高速公路间的距离（结
A
果保留根号）. 1
【解】
考点：解直角三角形的应用
分析：本题考查了解直角三角形的应用和平行线之间
的距离的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数值求相关线段的长度，相比往年的解直角三角形的知识，今年的难度较大．
第18题图
l 2
解答：解：如图，过点A 作AB 的垂线交DC 延长线于点E ，过点E 作l 1的垂线与l 1、l 2分别交于点H ，F ，则HF ⊥l 2．
°
l 1
E
30
由题意知AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，又AE ⊥AB ， ∴四边形ABCE 是矩形．∴AE ＝BC ，AB ＝EC ． ∴DE ＝DC ＋CE ＝DC ＋AB ＝50．
又AB 与l 1成30°角，∴∠EDF ＝30°，∠EAH ＝60°． 在Rt △DEF 中，EF ＝DE sin30°＝50×1＝25．
D
第18题答案图
l 2
在Rt △AEH 中，EH ＝AE sin60°＝10
＝
所以HF ＝EF ＋HE ＝25＋
即两高速公路间距离为(25＋
．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在⊙O 中，半径OC 与弦AB 垂直，垂足为E . 以OC 为直径的圆与弦AB 的一个交点为F ，D 是CF 延长线与⊙O 的交点. 若OE=4，OF=6，求⊙O 的半径和CD 的长. 【解】
考点：圆的相关知识和性质，相似三角形的性质
分析：本题是今年题型变动较大的题型，之前圆的问题主要
第19题图
在选择题、填空题中考查，难度适中。求圆的半径可
以利用相似三角形的性质来求解，弦CD 的长度利用垂径定理和勾股定理相结合的性质来求解，这是求弦最常用的方法。 解答：解：∵OC 为小圆的直径，∴∠OFC ＝90°．∴CF ＝DF ． ∵OE ⊥AB ，∠OEF ＝∠OFC ＝90°．
又∠FOE ＝∠COF ，∴△OEF ∽△OFC ．则OE ＝OF ．
26OF 6∴OC ＝＝＝9． OE 4
又CF
CD ＝2CF ＝
20.2013年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费5200元. 从2014年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨、建筑垃圾处理费30元/吨，若该企业2014年处理的这两种垃圾的数量与2013年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费8800元.
（1）该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？ 【解】
（2）该企业计划2014年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨，且建筑垃圾
处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？ 【解】
考点：二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，函数的最值问题 分析：此题考查了方程组、不等式、函数的综合应用，关键是读懂题意，找出题
目中的数量关系，根据数量关系列出方程组，同时运用函数的性质来求出最值问题，再解题时，读懂题意是关键．
解答：解：(1)设2013年该企业处理的餐厨垃圾为x 吨，建筑垃圾为y 吨，根据
题意，得
⎧25x +16y =5200,
⎨
100x +30y =5200+8800. ⎩
解得⎨
⎧x =80, ⎩y =200.
即2013年该企业处理的餐厨垃圾为80吨，建筑垃圾为200吨． (2)设2014年该企业处理的餐厨垃圾为x 吨，建筑垃圾为y 吨，需要支付的这两种垃圾处理费是z 元．根据题意，得x ＋y ＝240且y ≤3x ，解得x ≥60．
z ＝100x ＋30y ＝100x ＋30(240－x ) ＝70x ＋7200．
由于z 的值随x 的增大而增大，所以当x ＝60时，z 最小， 最小值＝70×60＋7200＝11400元．
即2014年该企业最小需要支付这两种垃圾处理费共11400元．
六、（本题满分12分）
21. 如图，管中放置着三根同样的绳子AA 1、BB 1、CC 1 .
（1）小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA 1的概率是多少？ 【解】
A
B
（2）小明先从左端A 、B 、C 三个绳头中随机选两个
第21题图
打一个结，再从右端A 1、B 1、C 1三个绳头中随
机选两个打一个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率.
111
考点：概率的计算、用列表或画树状图求所有等可能发生的结果。
分析：本题是今年变化较大的题型，往届几年中考考查概率问题都是选择题，今
年将统计类题型变改成概率题型，题型难度不大，但（2）题学生不易解答出来，每一次的选择有两种，弄清题意是解本题的关键．
解答：解：(1)小明可选择的情况有三种，每种发生的可能性相等，恰好选中绳
子AA 1的情况为一种，所以小明恰好选中绳子AA 1概率P ＝1．(4
分) (2)依题意，分别在两端随机任选两个绳头打结，总共有三类9种情况，
开始
左端 右端
A 1B 1 B1C 1 C1A 1
A 1B 1 B1C 1 C1A 1
第21题答案图
A 1B 1 B1C 1 C1A 1
其中左、右结是相同字母(不考虑下标) 的情况，不可能连结成为一根长绳． 所以能连结成为一根长绳的情况有6种： ①左端连AB ，右端连A 1C 1或B 1C 1；②左端连BC ，右端连A 1B 1或A 1C 1；③左端连AC ，右端连A 1B 1或
B 1C 1．
故这三根绳子连结成为一根长绳的概率P ＝6＝2．
七、（本题满分12分）
22. 若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”. （1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数； 【解】 （2）已知关于x 的二次函数y 1=2x 2-4mx +2m 2+1和y 2=ax 2+bx +5，其中
y 1的图象经过点A （1,1），若y 1+y 2与y 1为“同簇二次函数”，求函数y 2的表达式，并求出当0≤x ≤3时，y 2的最大值. 【解】
考点：二次函数的函数表达式、函数的基本性质
分析：本题考查了二次函数的顶点式、函数的最值等问题，需要熟练地掌握二次
函数的基本性质。（1）属于开放性习题，只要学出符合条件的即可；（2）通过顶点相同来求解函数的解析式，同时判定在一个取值范围类的最大值，方法巧妙。
解答：(1)本题是开放题，答案不唯一，符合题意即可，如：y 1＝2x 2，y 2＝x 2． (2)∵函数y 1的图象经过点A (1，1) ，则2－4m ＋2m 2＋1＝1，解得m ＝1． ∴y 1＝2x 2－4x ＋3＝2(x －1) 2＋1． 解法一：∵y 1＋y 2与y 1为“同簇二次函数”，∴可设y 1＋y 2＝k (x －1) 2＋1(k ＞0) ， 则y 2＝k (x －1) 2＋1－y 1＝(k －2)(x －1) 2．
2
由题可知函数y 2的图象经过点(0，5) ，则(k －2) ×1＝5．∴k －2＝5． ∴y 2＝5(x －1) 2＝5x 2－10x ＋5．
当0≤x ≤3时，根据y 2的函数图象可知，y 2的最大值＝5×(3－1) 2＝20． 解法二：∵y 1＋y 2与y 1为“同簇二次函数”，
2
则y 1＋y 2＝(a ＋2) x ＋(b －4) x ＋8(a ＋2＞0) ．
32(a +2) -(b -4)
∴－b -4＝1，化简得b ＝－2a ．又＝1，将b ＝－2a 代入，
2(a +2)
2
解得a ＝5，b ＝－10．所以y 2＝5x 2－10x ＋5．
当0≤x ≤3时，根据y 2的函数图象可知，y 2的最大值＝5×32－10×3＋5＝20． 八、（本题满分14分）
23. 如图1，正六边形ABCDEF 的边长为a ，P 是BC 边上一动点，过P 作PM ∥AB 交AF 于
M ，作PN ∥CD 交DE 于N .
(1)①∠MPN = °;
②求证：PM +PN =3a ； 【证明】 第23题图1
（2）如图2，点O 是AD 的中点，连结OM 、ON . 求证：OM=ON ； 【证明】
第23题图2
（3）如图3，点O 是AD 的中点，OG 平分∠MON ，判断四边
形OMGN 是否为特殊四边形？ 并说明理由. 【解】 第23题图3
考点：正多边形的性质，平行线的基本性质，全等三角形，特殊四边形的判定 分析：本题属于今年中考的压轴题型，难度较大，题型比较灵活，解答时需要将
正多边形和全等三角形的性质相结合。
解答：(1)①60；
②证明：如图1，连接BE 交MP 于H 点．在正六边形ABCDEF 中，
PN ∥CD ，又BE ∥CD ∥AF ，所以BE ∥PN ∥AF ．
又PM ∥AB ，所以四边形AMHB ，四边形HENP 为平行四边形，△BPH 为等边三角形． 所以PM ＋PN ＝MH ＋HP ＋PN ＝AB ＋BH ＋HE ＝3a ．
A B P
第23题答案图1 N D A A O D C B P 第23题答案图2 B P 第23题答案图3
(2)如图2，由(1)知AM ＝EN ．且AO ＝EO ，∠MAO ＝∠NEO ＝60°，
所以△MAO ≌△NEO ．所以OM ＝ON ．
(3)四边形OMGN 是菱形．理由如下：
如图3，连接OE ，OF ，由(2)知∠MOA ＝∠NOE ．又∵∠AOE ＝120°，
∴∠MON ＝∠AOE －∠MOA ＋∠NOE ＝120°．
由已知OG 平分∠MON ，∴∠MOG ＝60°．又∠FOA ＝60°，
∴△MAO ≌△GFO ．∴MO ＝GO ．
又∠MOG ＝60°，∴△MGO 为等边三角形．
同理可证△NGO 为等边三角形，∴四边形OMGN 为菱形．