不等式中恒成立问题总结
不等式中恒成立问题
在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
恒成立问题的基本类型：
类型1：设f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ，（1）f (x ) >0在x ∈R 上恒成立⇔a >0且∆
（1）当a >0时，f (x ) >0在x ∈[α, β]上恒成立
b ⎧b ⎧⎧b -β⎪⎪⎪-， ⇔⎨2a 或⎨或2a ⎨2a ⎪⎪⎩f (α) >0⎪⎩∆0
⎧f (α)
（2）当a 0在x ∈[α, β]上恒成立⇔⎨⎧f (α) >0 f (β) >0⎩
b ⎧b ⎧⎧b β⎪-f (x ) 0⎪⎩∆
类型3：
f (x ) >α对一切x ∈I 恒成立⇔f (x ) m in >α
f (x ) α。
类型4：
f (x ) >g (x ) 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x ) 的图象在g (x ) 的图象的上方或f (x ) min >g (x ) max (x ∈I )
恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。
一、用一次函数的性质
对于一次函数f (x ) =kx +b , x ∈[m , n ]有：
⎧f (m ) >0⎧f (m ) 0恒成立⇔⎨, f (x ) 0f (n )
一．利用一元二次函数的判别式
对于一元二次函数f (x ) =ax 2+bx +c >0(a ≠0, x ∈R ) 有：
（1）f (x ) >0在x ∈R 上恒成立⇔a >0且∆
（2）f (x )
例1：若不等式(m -1) x 2+(m -1) x +2>0的解集是R ，求m 的范围。
例2. 已知函数y =lg[x 2+(a -1) x +a 2]的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
二．最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
1）f (x ) >a 恒成立⇔a
2）f (x ) f (x ) m ax
例3．已知f (x ) =7x 2-28x -a , g (x ) =2x 3+4x 2-40x ，当x ∈[-3, 3]时，f (x ) ≤g (x ) 恒成立，求实数a 的取值范围。
x 2+2x +a , x ∈[1, +∞) ，若对任意x ∈[1, +∞) ，f (x ) >0恒成立，例4．函数f (x ) =x
求实数a 的取值范围。
注：本题还可将f (x ) 变形为f (x ) =x +
三、分离变量法 a +2，讨论其单调性从而求出f (x ) 最小值。 x
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：
1）f (x ) f (x ) m ax
2）f (x ) >g (a )(a 为参数）恒成立⇔g (a )
实际上，上题就可利用此法解决。
略解：x 2+2x +a >0在x ∈[1, +∞) 时恒成立，只要a >-x 2-2x 在x ∈[1, +∞) 时恒成立。而易求得二次函数h (x ) =-x 2-2x 在[1, +∞) 上的最大值为-3，所以a >-3。
例5．已知函数f (x ) =ax -x -x 2, x ∈(0, 4]时f (x )
注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。
四．若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解
决问题。
例6．设f (x ) =x 2-2mx +2，当x ∈[-1, +∞) 时，f (x ) ≥m 恒成立，求实数m 的取
值范围。
五．、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例7．对任意a ∈[-1, 1]，不等式x 2+(a -4) x +4-2a >0恒成立，求x 的取值范围。
注：一般地，一次函数f (x ) =kx +b (k ≠0) 在[α, β]上恒有f (x ) >0的充要条⎧f (α) >0件为⎨。 f (β) >0⎩
六、数形结合法
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：
1）f (x ) >g (x ) ⇔函数f (x ) 图象恒在函数g (x ) 图象上方；
2）f (x )
4例8．设f (x ) =-- , g (x ) =x +1-a ,
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数a 的取值范围.
由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。