高中数学立体几何证明
立体几何常考证明题
1、已知四边形ABCD 是空间四边形，E , F , G , H 分别是边AB , BC , CD , DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形
（2） 若
BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。
证明：
考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角
2、如图，已知空间四边形ABCD 中，BC =AC , AD =BD ，E 是AB 的中点。 求证：（1）AB ⊥平面CDE;
（2）平面CDE ⊥平面ABC 。
考点：线面垂直，面面垂直的判定
3、如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点，
B
求证： AC 1//平面BDE 。 证明：
考点：线面平行的判定
C
D
C
D A
D 1
B
E
C
D
H
C
4、已知∆ABC 中∠ACB =90 , SA ⊥面ABC , AD ⊥SC , 求证：AD ⊥面SBC ． 证明：
考点：线面垂直的判定
5、已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点.
S
A
C
B
D A 1
D
A
B B C 1
⊥面AB 1D 1． 求证：(１) C1O ∥面AB 1D 1；(2)AC 1
证明：
考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定
C
6、正方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 中，求证：（1）AC ⊥平面B ' D ' DB ；（2）BD ' ⊥平面ACB ' .
考点：线面垂直的判定
7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 证明：
考点：线面平行的判定（利用平行四边形）
A
M
1
P
AC ， 8、四面体ABCD 中，AC =BD , E , F 分别为AD , BC 的中点，
且EF =2
∠BDC =90 ，求证：BD ⊥平面ACD
证明：
考点：线面垂直的判定, 三角形中位线，构造直角三角形
C
N
A
B
9、如图P 是∆ABC 所在平面外一点，PA =PB , CB ⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，
AN =3NB （1）求证：MN ⊥AB ；（2）当∠APB =90，AB =2BC =4时，求MN 的长。 证明：
考点：三垂线定理
10、如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、C 1D 1的中点. 求证：平面D 1EF ∥平面BDG . 证明：
考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）
11、如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点. （1）求证：AC 1//平面BDE ； （2）求证：平面A 1AC ⊥平面BDE .
证明：
考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定
12、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB =2，PA =AD =4，E 为BC 的中点．
（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 证明：
考点：线面垂直的判定, 构造直角三角形
13、如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB =60且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD ⊥PB ；
（3）求二面角A -BC -P 的大小． 证明：
考点：线面垂直的判定, 构造直角三角形, 面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）
⊥平面MBD ． 14、如图1, 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为CC 1 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：AO 1
证明：
考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，
作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ． 证明：
考点：线面垂直的判定
16、证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1D
A
C
考点：线面垂直的判定，三垂线定理
17、如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC ． 证明