求数列通项公式的十种方法
总述:求数列通项的方法:累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法)、迭代法、对数变换法、倒数变换法、
一、累加法 适用于:a n +1=a n +f (n )
转换成a n +1-a n =f (n ) ,其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项①若f(n)是关于n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数,累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数,累加后可裂项求和。
例1 已知数列{a n }满足a n +1=a n +2n +1,a 1=1,求数列{a n }的通项公式。 解:由a n +1=a n +2n +1得a n +1-a n =2n +1则
a n .
a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) + +(a 3-a 2) +(a 2-a 1) +a 1
=[2(n -1) +1]+[2(n -2) +1]+ +(2⨯2+1) +(2⨯1+1) +1
=2[(n -1) +(n -2) + +2+1]+(n -1) +1(n -1) n =2+(n -1) +1
2
=(n -1)(n +1) +1=n 2
例2 已知数列{a n }满足a n +1=a n +2⨯3n +1,a 1=3,求数列{a n }的通项公式。 解;由a n +1=a n +2⨯3n +1得a n +1-a n =2⨯3n +1则
a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) + +(a 3-a 2) +(a 2-a 1) +a 1
=(2⨯3n -1+1) +(2⨯3n -2+1) + +(2⨯32+1) +(2⨯31+1) +3=2(3n -1+3n -2+ +32+31) +(n -1) +33(1-3n -1)
=2+(n -1) +3
1-3
=3n -3+n -1+3=3n +n -1
练习1. 已知数列答案:n -n +1
2
{a n }
*
a =a +2n n (∈N ) 写出数列{a n }的通项公式. n +1n 的首项为1,且
练习2. 已知数列
{a n }满足a 1=3,
1
n
a n =a n -1+
1
(n ≥2)
n (n -1) ,求此数列的通项公式.
答案:裂项求和
a n =2-
二、累乘法
1. 适用于: a n +1=f (n ) a n ----------这是广义的等比数列
2.若
a n +1a a a
=f (n ) ,则2=f (1)3=f (2), n +1=f (n ) a n a 1a 2a n
n
a n +1
两边分别相乘得,=a 1⋅∏f (k )
a 1k =1
例4 例4. 已知数列{a n }满足a 1=
解:由条件知
2n
a n ,求a n 。 ,a n +1=
3n +1
a n +1n
,分别令n =1, 2, 3, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅, (n -1) ,代入上式得(n -1) 个等式累乘之,即 =
a n n +1
a a a 2a 3a 4123n -11
∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⇒n =
n a 1a 2a 3a n -1234a 1n
又 a 1=
三. 公式法:已知S n (即a 1+a 2+ +a n =f (n ) )求a n ,用作差法:a n =
22
,∴a n = 33n
{
S 1,(n =1)
。
S n -S n -1,(n ≥2)
例2.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n +(-1) n , n ≥1.求数列{a n }的通项公式。
解:由a 1=S 1=2a 1-1⇒a 1=1
n
a =S -S =2(a -a ) +2⨯(-1) , n ≥2n n n -1n n -1当时,有
∴a n =2a n -1+2⨯(-1) n -1,
a n -1=2a n -2+2⨯(-1) n -2, ……,a 2=2a 1-2.
∴a n =2n -1a 1+2n -1⨯(-1) +2n -2⨯(-1) 2+ +2⨯(-1) n -1 =2n -1+(-1) n [(-2) n -1+(-2) n -2+ +(-2)]=2
n -1
2[1-(-2) n -1]
-(-1)
3
n
2
=[2n -2+(-1) n -1].3
经验证a 1=1也满足上式,所以a n =
2n -2
[2+(-1) n -1] 3
⎧S n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n =1
点评:利用公式a n =⎨求解时,要注意对n 分类讨论,但若能合写时一定要合并.
S -S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n ≥2n -1⎩n
练一练:①已知{a n }的前n 项和满足log 2(S n +1) =n +1,求a n ;
②数列{a n }满足a 1=4, S n +S n +1=
5
a n +1,求a n ; 3
四、待定系数法 适用于a n +1=qa n +f (n )
基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。 1.形如
a n +1=ca n +d , (c ≠0, 其中a 1=a ) 型
(1)若c=1时,数列{
a n }为等差数列; a n }为等比数列;
(2)若d=0时,数列{
a (3)若c ≠1且d≠0时,数列{n }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
待定系数法:设
a n +1+λ=c (a n +λ) ,
得
a n +1=ca n +(c -1) λ, 与题设a n +1=ca n +d , 比较系数得
(c -1) λ=d , 所以
λ=
d d d , (c ≠0) a n +=c (a n -1+) c -1c -1c -1所以有:
d ⎫⎧d
a 1+⎨a n +⎬
c -1⎭构成以c -1为首项,以c 为公比的等比数列, 因此数列⎩
a n +
d d d d =(a 1+) ⋅c n -1a n =(a 1+) ⋅c n -1-c -1c -1c -1c -1. 即:
d d d
=c (a n +) {a n +c -1c -1, 构造成公比为c 的等比数列c -1从而
所以
规律:将递推关系
a n +1=ca n +d 化为
a n +1+
求得通项公式
a n +1=
d d
+c n -1(a 1+) 1-c c -1
逐项相减法(阶差法):有时我们从递推关系
a n +1=ca n +d 中把n 换成n-1有a n =ca n -1+d , 两式相减有
a n +1-a n =c (a n -a n -1) 从而化为公比为c 的等比数列{a n +1-a n }, 进而求得通项公式. a n +1-a n =c n (a 2-a 1) , 再利
用类型(1)即可求得通项公式. 我们看到此方法比较复杂.
例6已知数列{a n }中,a 1=1, a n =2a n -1+1(n ≥2) ,求数列{a n }的通项公式。 解法一: a n =2a n -1+1(n ≥2), ∴a n +1=2(a n -1+1)
又 a 1+1=2, ∴{a n +1}是首项为2,公比为2的等比数列 ∴a n +1=2n ,即a n =2n -1
练习.已知数列
{a n }中,
a 1=2, a n +1=
111a n +, a n =() n -1+122求通项a n 。 答案:2
n
a =p ⋅a +q n +1n 2.形如: (其中q 是常数,且n ≠0,1)
n
a =a +q n +1n ①若p=1时,即:,累加即可.
n a =p ⋅a +q p ≠1n +1n ②若时,即:,
求通项方法有以下三种方向:i. 两边同除以p
n +1
. 目的是把所求数列构造成等差数列
a n +1
n +1
p 即: a n 1p n 1p
b n +1-b n =⋅() n =n +⋅() b n =n
p q , 然后类型1,累加求通项. p q , 令q p ,则
a n +1
=
p a n 1
⋅n +q q q ,
a n
n +1n +1
q q ii. 两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。 即:
b n =
令
a n
q n , 则可化为
b n +1=
p 1
⋅b n +q q . 然后转化为类型5来解,
iii. 待定系数法:目的是把所求数列构造成等差数列
n +1n
a +λ⋅q =p (a +λ⋅p ) . 通过比较系数,求出λ,转化为等比数列求通项. n +1n 设
注意:应用待定系数法时,要求p ≠q ,否则待定系数法会失效。
n -1
{a }a =2a +4⋅3,a 1=1,求数列{a n }的通项公式。 n n +1n 例7已知数列满足
n n -1
a +λ3=λ(a +λ⋅3) ,比较系数得λ1=-4, λ2=2, n +112n 解法一(待定系数法):设
{a
则数列
n
-4⋅3n -1}
1-1
a -4⋅3=-5,公比为2的等比数列,
是首项为1
n -1n -1n -1n -1
a -4⋅3=-5⋅2a =4⋅3-5⋅2所以n ,即n
a n +12a n 4
=⋅n +2n +1n +1n +1q 33333,下面解法略 解法二(两边同除以): 两边同时除以得:
解法三(两边同除以p
n +1
a n +1a n 43n =n +⋅() n +1n +1
32,下面解法略 222): 两边同时除以得:
n -1
a a =3-2a n -1(n ∈N ) .证明对任意n ≥1,0n 练习. (2003天津理)设为常数,且
1
a n =[3n +(-1) n -1⋅2n ]+(-1) n ⋅2n a 0
5;
3.形如
a n +1=pa n +kn +b (其中k,b 是常数,且k ≠0)
方法1:逐项相减法(阶差法) 方法2:待定系数法 通过凑配可转化为
(a n +xn +y ) =p (a n -1+x (n -1) +y ) ;
b =(a n +xn +y ) ,公比为p 3、列出关系式
解题基本步骤:1、确定f (n ) =kn+b 2、设等比数列n
(a n +xn +y ) =p (a n -1+x (n -1) +y ) , 即b n =pb n -1 4、比较系数求x,y 5、解得数列(a n +xn +y ) 的通项公式
6、解得数列
{a n }的通项公式
{a n }中,a 1=1, a n +1=3a n +2n , 求通项a n . (逐项相减法)
例8 在数列解: ,
a n +1=3a n +2n , ① ∴n ≥2时,a n =3a n -1+2(n -1) , a n +1-a n =3(a n -a n -1) +2. 令b n =a n +1-a n , 则b n =3b n -1+2
两式相减得
n -1n -1
b =5⋅3+2a -a =5⋅3-1 ② n n +1n 利用类型5的方法知 即
再由累加法可得
a n =
5n -1151⋅3-n -a n =⋅3n -1-n -22. 亦可联立 ① ②解出22.
3
, 2a n -a n -1=6n -3
a 2, 求通项n . (待定系数法)
例9. 在数列{a n }中,
a 1=
解:原递推式可化为
2(a n +xn +y ) =a n -1+x (n -1) ++y
比较系数可得:x=-6,y=9,上式即为
2b n =b n -1
91911
∴b n =() n -1a n -6n +9=9⋅() n
2, 公比为2. 222 即:
所以
{b n }是一个等比数列,首项
b 1=a 1-6n +9=
1
a n =9⋅() n +6n -9
2故.
2a =pa +a ⋅n +b ⋅n +c (其中a,b,c 是常数,且a ≠0) n 4.形如n +1
基本思路是转化为等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。 例10 已知数列{a n }满足a n +1=2a n +3n +4n +5,a 1=1,求数列{a n }的通项公式。
2
解:设a n +1+x (n +1) 2+y (n +1) +z =2(a n +xn 2+yn +z ) 比较系数得x =3, y =10, z =18,
所以a n +1+3(n +1) 2+10(n +1) +18=2(a n +3n 2+10n +18) 由a 1+3⨯12+10⨯1+18=1+31=32≠0,得a n +3n 2+10n +18≠0
a n +1+3(n +1) 2+10(n +1) +18则=2,故数列{a n +3n 2+10n +18}为以a 1+3⨯12+10⨯1+18=1+31=32为首项,2
a n +3n +10n +18
以2为公比的等比数列,因此a n +3n 2+10n +18=32⨯2n -1,则a n =2n +4-3n 2-10n -18。 5. 形如a n +2=pa n +1+qa n 时将a n 作为f (n ) 求解
分析:原递推式可化为a n +2+λa n +1=(p +λ)(a n +1+λa n ) 的形式,比较系数可求得λ,数列{a n +1+λa n }为等比数列。 例11 已知数列
{a n }满足a n +2=5a n +1-6a n , a 1=-1, a 2=2,求数列{a n }的通项公式。
解:设
a n +2+λa n +1=(5+λ)(a n +1+λa n ) 比较系数得λ=-3或λ=-2,不妨取λ=-2,
(取-3 结果形式可能不同,
a n +2-2a n +1=3(a n +1-2a n ) ,则{a n +1-2a n }是首项为4,公比为3的等比数列
但本质相同)则
∴a n +1-2a n =4⋅3n -1,所以a n =4⋅3n -1-5⋅2n -1
练习. 数列
{a n }
n
a -4a +3a =0a a =11-3a =8, a =2n +1n 2中,若1, 且满足n +2, 求n 答案: n .
r
a =pa n +1n 四、迭代法 (其中p,r 为常数) 型
3(n +1)2{a }a =a ,a 1=5,求数列{a n }的通项公式。 n n +1n 例12 已知数列满足
n
3(n +1)2
a =a n +1n 解:因为,所以
n
a n =a =a =a
3n ⋅2n -1n -1
=[a ]
3(n -1) ⋅2n -23n ⋅2n -1n -2
]=a
32(n -1) ⋅n ⋅2(n -2) +(n -1) n -2
=[a
3(n -2) ⋅2n -332(n -1) ⋅n ⋅2(n -2) +(n -1) n -3
33(n -2)(n -1) n ⋅2(n -3) +(n -2) +(n -1) n -3
=
3n -1⋅2⋅3 (n -2) ⋅(n -1) ⋅n ⋅21+2+ +(n -3) +(n -2) +(n -1) 1
n -1
n (n -1) ⋅n ! ⋅22
=a 13
n -1
n (n -1) ⋅n ! ⋅22
3
a =5{a }a =51n n 又,所以数列的通项公式为
。
注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。
例13. (2005江西卷)
已知数列
{a n }的各项都是正数, 且满足:
a 0=1, a n +1=
1
a n (4-a n ), n ∈N 2,
(1)证明
a n
a n +1=
11
a n (4-a n ) =[-(a n -2) 2+4],2
2(a -2) =-(a -2) 22n +1n 所以
解:(1)略(2)
[1**********]11+2+ +2n -12n
令b n =a n -2, 则b n =-b n =-(-b ) =-⋅() b = =-() b n -1n -2n -1
222222又bn=-1,所以
1n 1n
b n =-() 2-1, 即a n =2+b n =2-() 2-1
22.
方法2:本题用归纳-猜想-证明,也很简捷,请试一试. 解法3:设c n
=-b n ,则c
n =
12
c n -12, 转化为上面类型(1)来解
r
a >0 a =pa n +1n 五、对数变换法 适用于(其中p,r 为常数) 型 p>0,n
2
{}a a n }的通项公式. a =2a a =1n n n -1(n ≥2). 求数列{1例14. 设正项数列满足,
a n a n a n -1a n a n -1
b =2b n -1 {b n }b =log log +1=2(log+1) log =1+2log 2+1,2222解:两边取对数得:,,设n 则n n -1n -1a n a n 1n -1n -1
b =1⨯2=2b =log +1=1log +1=2log =2-1,∴n 1222是以2为公比的等比数列, ,,
a n =22
n -1
-1
练习 数列
{a n }中,a 1=1,a n =2
2-n
a n -1
(n ≥2),求数列
{a n }的通项公式.
2-2
a =2n 答案:
5
例15 已知数列{a n }满足a n +1=2⨯3n ⨯a n ,a 1=7,求数列{a n }的通项公式。
5解:因为a n +1=2⨯3n ⨯a n ,a 1=7,所以a n >0,a n +1>0。
两边取常用对数得lg a n +1=5lg a n +n lg3+lg2 设lg a n +1+x (n +1) +y =5(lga n +xn +y ) 比较系数得, x =由lg a 1+
(同类型四)
lg 3lg 3lg 2
, y =+ 4164
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2⨯1++=lg 7+⨯1++≠0,得lg a n +n ++≠0, [1**********]4
所以数列{lga n +
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2
n ++是以lg 7+++为首项,以5为公比的等比数列,则41644164
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2n -1
lg a n +n ++=(lg7+++)5,因此
41644164
lg a n =(lg7+
lg 3lg 3lg 2n -1lg 3lg 3lg 2
++)5-n --4164464
14
116
14
n -1
=[lg(7⋅3⋅3⋅2)]5=lg(7⋅3⋅3⋅2) =lg(75n -1⋅3
则a n =75⨯
n -1
-lg(3⋅3⋅2)
n 4
116
14
n 411614
141161
n -145
-lg(3⋅3⋅2) )
5n -4n -116
⋅2
5n -1-14
5n -4n -116
⨯2
5n -1-14
。
六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项 例16 已知数列{a n }满足a n +1=
2a n
, a 1=1,求数列{a n }的通项公式。 a n +2
解:求倒数得
11111111⎧11⎫
=+, ∴-=, ∴⎨-⎬为等差数列,首项=1,公差为,
2a 1a n +12a n a n +1a n 2⎩a n +1a n ⎭
∴
112
=(n +1), ∴a n =
a n 2n +1
十二、四种基本数列
1.形如a n +1-a n =f (n ) 型 等差数列的广义形式,见累加法。 2. 形如
a n +1
=f (n ) 型 等比数列的广义形式,见累乘法。 a n
3. 形如a n +1+a n =f (n ) 型
(1)若a n +1+a n =d (d 为常数),则数列{a n }为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;
(2)若f(n)为n 的函数(非常数)时,可通过构造转化为a n +1-a n =f (n ) 型,通过累加来求出通项; 或用逐差法(两式相减) 得a n +1-a n -1=f (n ) -f (n -1) ,,分奇偶项来分求通项.