首都师范大学2012-2013年实变函数期末考试试卷
首都师范大学2012-2013学年第一学期
期末考试试卷
考试科目：实变函数 试卷类型：A 卷 考试时间：120分钟
院 系 级 班
姓名 学号
一、判断题（20分。每题1分）
1、设A ~R ,B 是可数集，且A 与B 的交为空集，则A ⋃B ~R 2、R n 中可数集的全体构成的集簇与R n 中零测集组成的集簇对等 3、R 1中不是开集的点集一定是闭集
4、一个有界闭集，一定可以表示成两个有界闭集的差集 5、F δ型集一定可以表示成一列递增函数列的极限集 6、R n 中任意多个零测集的并必是R n 中的零测集
7、设E ⊂R 1，若对任意y ∈R 1，都有x ∈E ，使得x>y，则m *E =+∞ 8、R n 中非空开集具有非零测度
9、设f (x ) =x cos (0
10、在(-∞, +∞) 上处处收敛的可测函数列在每个闭区间[a,b]上依测度收敛
11、如果f (x ) 在可测集E 1和E 2上连续，则f 在E 1⋃E 2上连续 12、设E 为可测集，f （x ），g （x ）是定义在E 上的可测函数，且
f （x ），g （x ）在E 上存在积分值，则f （x ）+g（x ）在E 上存在积分值
13、W ⊂R n 为不可测集的充分必要条件对∀T ⊂R n ，都有
m *T ≠m *(T ⋂W ) +m *(T ⋂W c )
14、设f （x ）在可测集E 上处处有限，则f （x ）在E 上有界 15、可测集E 上的L-可积函数可能在E 上无界
16、设f （x ）在可测集E 上可测且⎰f (x ) dx =0则f (x ) =0a . e 于E
E
1x
17、若f(x)∈L [a,b]，则F (x ) =⎰a f (t ) dt 在[a,b]上绝对连续
，（x ）=f (b ) -f (a ) 18、设f （x ）在[a,b]上有界变差函数，则⎰a f
b
x
，
19、设f （x ）在[a,b]上连续，单调增加，且f （x ）=0几乎处处收敛于
E ，则f （x ）在[a,b]上恒为常数
20、若f （x ）在[a,b]上一致连续，则f ∈BV [a,b] 二、（1）叙述可测集定义
(2)设E ⊂R n , 证明:E是可测集的充要条件是R n 中任意两点A,B
*
如果A ⊂E , B ⊂E c , 则m （A ⋂B ）=m *A +m *B
三、设E ⊂R n ,f(x)为E 上的函数,. 若对任意的δ>0, 存在闭集F δ⊂E
*（E/F δ）
证明（1）E 是R n 中可测集
（2）f （x ）是E 上的可测函数
⎧x ∈(0,k ) ⎪1=⎨(k =1, 2......) k x ）四、定义函数列f （
x ≥k ⎪⎩0
}在（0,1）上处处收敛，并求其极限函数 （1）证明{f（k x ）}在（2）问{f（上是否依测度收敛？说明理由。 （0，+∞）k x ）
五、（1）叙述L-控制收敛定理
4
R ) （2
）求lim(
n →∞
六、设{φk }是E 上可测函数列若存在h ∈L (E ) 使得φk ≥h (x ) x ∈E ，证明 （1）对每个自然数k ，φk (x ) 在E 上存在积分值，下极限lim φk (x )
k →∞
在R 上存在积分值 （2）
⎰
E k →∞
lim φk (x ) dx ≤lim ⎰φk (x ) dx
k →∞E
七、设闭区间[a,b]上定义的函数U （x ）满足：存在常数L>0，使得
（y
（1）U （x ）是[a,b]上绝对连续函数
（2）存在[a,b]上的勒贝格可积函数ξ(x )使得U (x)-U （y ）=⎰x ξ(t )dt ，
x ∈[a,b]
a