高考数学常用结论

高考数学常用结论集锦

1. 摩根公式 C U (A B ) =C U A C U B ， C U (A B ) =C U A C U B .

n

2A B =A ⇔A B =B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A ⇔A C U B =Φ⇔C U A B =R

x ∈A ⇔x ∉C U A , x ∈C U A ⇔x ∉A . ∅ØA ⇔A ≠∅

3. 若Ａ={a 1, a 2, a 3 a n },则Ａ的子集有2个, 真子集(2－1) 个, 非空真子集(2－2) 个 真值表： 同真且真，同假或假 4. 二次函数的解析式的三种形式 ①一般式f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ;

n

n

②顶点式f (x ) =a (x -h ) 2+k (a ≠0) ; （当已知抛物线的顶点坐标(h , k ) 时，） ③零点式f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) . （当已知抛物线与x 轴的交点坐标为

(x 1,0),(x 2,0) 时）

4切线式：f (x ) =a (x -x 0) 2+(kx +d ), (a ≠0) ○

（当已知抛物线与直线y =kx +d 相切且切点的横坐标为x 0时）

三次函数的解析式的形式

①一般式f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0) 5. 设x 1⋅x 2∈[a , b ], x 1≠x 2那么

②零点式f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(x -x 3)(a ≠0)

(x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]>0⇔

f (x 1) -f (x 2)

>0⇔f (x ) 在[a , b ]上是增函数；

x 1-x 2

f (x 1) -f (x 2)

x 1-x 2

设y =f (x ) 在某个区间内可导，若f '(x ) >0，则f (x ) 为增函数；若f '(x )

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 a. 函数的奇偶性： 奇函数：

定义：在前提条件下，若有f (-x ) =-f (x ) 或f (-x ) +f (x ) =0，则f （x ）就是奇函数。性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；

（2）、奇函数在x>0和x

（3）、定义在R 上的奇函数，有f （0）=0 . 偶函数：

定义：在前提条件下，若有f (-x ) =f (x ) ，则f （x ）就是偶函数。 性质：（1）、偶函数的图象关于y 轴对称；

（2）、偶函数在x>0和x

b. 函数的周期性： 定义：对函数f （x ），若存在T ≠0，使得f （x+T）=f（x ），则就叫f （x ）是周期函数，其中，T 是f （x ）的一个周期。 周期函数几种常见的表述形式： (1)、f （x+T）= - f（x ），此时周期为2T ； (2)、 f （x+m）=f（x+n），此时周期为2m -n ；(3)、f (x +m ) =-

1

，此时周期为2m 。f (x )

常见函数的图像：

6. 函数y =f (x ) 的图象的对称性:

y =f (x ) 的图象关于直线x =a 对称⇔f (a +) x =(⇔f f (-a 2a -x x ) =x f

a +b

②函数y =f (x ) 的图象关于直x =对称⇔f (a +x ) =f (b -x ) ⇔f (a +b -x ) =f (x ) .

2

①

函

数

（注意：这里是一个函数）

对于函数y =f (x ) (x ∈R ), f (x +a ) =f (b -x ) 恒成立, 则函数f (x ) 的对称轴是

a +b b -a

; 两个函数y =f (x +a ) 与y =f (b -x ) 的图象关于直线x =对称. 22③函数y =f (x ) 的图象关于点(a ,0) 对称⇔f (x ) =-f (2a -x ) x =

7. 两个函数图象的对称性:

①函数y =f (x ) 与函数y =f (-x ) 的图象关于直线x =0(即y 轴) 对称.

②函数y =f (x -a ) 与函数y =f (a -x ) 的图象关于直线x =a 对称（注意：这里是两个函数）

-1

m

n

③函数y =f (x

) 和y =f 8. 分数指数幂 a a

-

m n

(x ) 的图象关于直线y=x对称.

=a >0, m

, n ∈N *，且n >1） =

1a

m n

=

（a >0, m , n ∈N ，且n >

1）.

*

⎧a , a ≥0

.

n =a . 当n =a ；当n =|a |=⎨

⎩-a , a

9. log a N =b ⇔a b =N (a >0, a ≠1, N >0) . 指数性质：(1)1、a

r -p

m n

=

s

10

（2）、a =1（a ≠0）(3)、a mn =(a m ) n p a

r +s

(a >0, r , s ∈Q ) (5)

、a =

log a M +log a N =log a MN (a >0. a ≠1, M >0, N >0)

M

log a M -log a N =log a (a >0. a ≠1, M >0, N >0)

N

(4)、a ⋅a =a

10. 对数性质： 对数的四则运算法则:若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)、 log a M +log a N =log a (MN ) ；（2）、 log a M -log a N =log a (3)、 log a b m =m ⋅log a b ；log a M n =n log a M (n ∈R )

M

； N

n n

⋅log a b ；log a m N n =log a N (n , m ∈R ) m m

log b

(5)、 log a 1=0 (6)、 log a a =1 (7)、 a a =b

log m N lg N

对数换底公式 log a N =(a >0, 且a ≠1, m >0, 且m ≠1, N >0) =

log m a lg a

(4)、 log a m b =

n

对数恒等式：a

n

log a N

=N (a >0, 且a ≠1, N >0).

推论 log a m b =

n

log a b (a >0, 且a ≠1, N >0). m

平均增长率的问题（负增长时p

如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有

y =N (1+p ) x .

n =1⎧s 1,

11. a n =⎨( 数列{a n }的前n 项的和为s n =a 1+a 2+ +a n ).

s -s , n ≥2⎩n n -1

12. 等差数列{a n }的通项公式a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) ；

n (a 1+a n ) n (n -1) d 1

=na 1+d =n 2+(a 1-d ) n 其前n 项和公式 s n =

2222

13. 等差数列{a n }的变通项公式a n =a m +(n -m ) d

对于等差数列{a n }，若n +m =p +q ，(m,n,p,q为正整数) 则a n +a m =a p +a q 。

注：若a m 是a n , a p 的等差中项，则有2a m =a n +a p ⇔n 、m 、p 成等差。 a n =S n -S n -1(n ≥2) S n =S n -1+a (n n ≥2)

*

14. 若数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，k ∈N ，那么S k ，S 2k -S k ，S 3k -S 2k

成等差数列。如下图所示：

S 2k -S k

S 3k

a 1+a 2+a 3+ +a k +a k +1+ +a 2k +a 2k +1+ +a 3k

S k

S 3k -S 2k

其前n 项和公式 s n =

n (a 1+a n ) n (n -1) d 1

=na 1+d =n 2+(a 1-d ) n （关于n 的2222

二次函数，且无常数项）

15. 数列{a n }是等差数列⇔a n =kn +b

2

16．设数列{a n }是等差数列，S 奇是奇数项的和，S 偶是偶数项项的和，S n 是前n 项的和，则有如下性质：

1前n 项的和S n =S 奇+S 偶 ○

2当n 为偶数时，S 偶-S 奇=○

3当n 为奇数时，则S 奇○

n

d ，其中d 为公差； 2

S 奇n +1n +1n -1

-S 偶=a 中，S 奇==（其中a 中a 中，S 偶=a 中，

S 偶n -122

数列{a n }是等差数列⇔S n =An +Bn （关于n 的二次函数，且无常数项）

是等差数列的中间一项）。

'

17．若等差数列{a n }的前2n -1项的和为S 2n -1，等差数列{b n }的前2n -1项的和为S 2n -1，则

a n S 2n -1

=' b n S 2n -1

1+2+3+„+n=

n (n +1)

2

a p =q , a q =p , 则a p +q =0 ；

若{a n }、{b n }为等差数列，则{a n ±b n }为等差数列。

18. 等比数列{a n }的通项公式a n =a 1q

n -1

=

a 1n

⋅q (n ∈N *) ； q

等比数列{a n }的变通项公式a n =a m q n -m

a n =S n -S n -1(n ≥2)

前n 项和：（1）S n =S n -1+a n (n ≥2)

（2）S n =a 1+a 2+ +a n

⎧a 1(1-q n ) ⎧a 1-a n q

, q ≠1, q ≠1⎪⎪

其前n 项的和公式s n =⎨1-q 或s n =⎨1-q . （根据公比q 分类讨论）⎪na , q =1⎪na , q =1⎩1⎩1

19. {a n }，若n +m =u +v (n,m,u,v为正整数) ，则a n ⋅a m =a u ⋅a v

a 1⋅a n

a , a 2, a 3, , a n -2, a n -1, a n

= 。如图所示：1

a 2⋅a n -1

也就是：a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3⋅a n -2

20. 数列{a n }S n 是其前n 项的和，k ∈N *，那么S k ，S 2k -S k ，S 3k -S 2k 成

等比数列。如下图所示：

S 3k

a 1+a 2+a 3+ +a k +a k +1+ +a 2k +a 2k +1+ +a 3k

S k

S 2k -S k

S 3k -S 2k

等比差数列{a n }:a n +1=qa n +d , a 1=b (q ≠0) 的通项公式为

项

和

⎧b +(n -1) d , q =1⎪

a n =⎨bq n +(d -b ) q n -1-d

, q ≠1⎪q -1⎩

；其前n 公式为

⎧nb +n (n -1) d , q =1

⎪s n =⎨ d 1-q n d

(b -) +n , q ≠1⎪1-q q -11-q ⎩

常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 a m ⋅a n =a p ⋅a q ；

2

注：若a m 是a n , a p 的等比中项，则有 a m =a n ⋅a p ⇔n 、m 、p 成等比。（2）、若{a n }、{b n }为等比数列，则{a n ⋅b n }为等比数列。

ab (1+b ) n

分期付款(按揭贷款) 每次还款x =元(贷款a 元, n 次还清, 每期利率为b ). n

(1+b ) -1

21. 同角三角函数的基本关系式 sin θ+cos θ=1，tan θ= 1+tan α=

2

22

sin θ

，tan θ⋅cot θ=1cos θ

1

cos 2α

三角不等式：

（1）若x ∈(0,(2) 若x ∈

(0,

π

2

) ，则sin x

π

2

(3) |sin x |+|cos x |≥1.

22. 正弦、余弦的诱导公式

) ，则1

n n

⎧⎧

n πn π⎪(-1) 2sin α, n 为偶数⎪(-1) 2co s α, n 为偶数sin(+α) =⎨+α) =⎨ co s( n -1n +1

22⎪(-1) 2co s α, n 为奇数⎪(-1) 2sin α, n 为奇数

⎩⎩

cos(α+) =-cos α,sin(α+) =sin α

即:奇变偶不变, 符号看象限, 如： 22

sin(π-α) =sin α,cos(π-α) =-cos α

23. 和角与差角公式

ππ

sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β; cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β;

tan α±tan β

tan(α±β) =.

1 tan αtan β

a sin α+

b cos α=α+ϕ) (辅助角ϕ所在象限由点(a , b ) 的象限决

b

定, tan ϕ=).

a

sin(α+β)sin(α-β) =sin 2α-sin 2β(平方正弦公式);

cos(α+β)cos(α-β) =cos 2α-sin 2β. sin 2α=sin αcos α=

2

2

24. 二倍角公式

2tan α

1+tan 2α

2

2

1-tan 2α

cos 2α=cos α-sin α=2cos α-1=1-2sin α=. （升幂公式）

1+tan 2α

1+cos 2α1-cos 2α

cos 2α=,sin 2α=（降幂公式）.

22

2tan α2tan α1-tan 2α

25. 万能公式: tan 2α=, sin 2α=, cos 2α=

1-tan 2α1+tan 2α1+tan 2ααsin α1-cos αsin 2α1-cos 2α

==26. 半角公式:tan = tan α=

21+cos αsin α1+cos 2αsin 2α

27. 三函数的周期公式

函数y =A sin(ωx +ϕ) ，x ∈R 及函数y =A cos(ωx +ϕ) ，x ∈R(A,ω, ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0) 的周期T =

2π

ω

；若ω未说明大于0, 则T =

2π

|ω|

函数y =tan(ωx +ϕ) ，x ≠k π+

π

2

, k ∈Z (A,ω, ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0) 的周期

T =

π

. ω

三角函数的图像：

28. y =sin x 的单调递增区间为⎢2k π-

k ∈Z 单调递减区间为 2⎥⎦ππ3π⎤⎡

x =k π+(k ∈Z ) , 对称中心为(k π,0)(k ∈Z ) ，对称轴为2k π+,2k π+k ∈Z ⎢⎥222⎣⎦

29. y =cos x 的单调递增区间为[2k π-π,2k π]k ∈Z 单调递减区间为

2

⎡⎣

π

,2k π+

π⎤

[2k π,2k π+π]k ∈Z ，

⎫

,0⎪(k ∈Z ) 2⎭

k ππ⎫⎛

30. y =tan x 的单调递增区间为 k π-, k π+⎪k ∈Z ，对称中心为(π,0)(k ∈Z )

222⎭⎝

a b c

===2R （外接圆直径） 31. 正弦定理

sin A sin B sin C

⇔a =2R sin A , b =2R sin B , c =2R sin C ⇔a :b :c =sin A :sin B :sin C

对称轴为x =k π(k ∈Z ) , 对称中心为 k π+32. 余弦定理

⎛⎝

π

a 2=b 2+c 2-2bc cos A ; b 2=c 2+a 2-2ca cos B ; c 2=a 2+b 2-2ab cos C .

33. 面积定理

111

ah a =bh b =ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 边上的高）. 222111

(2)S =ab sin C =bc sin A =ca sin B .

222

1

OB tan θ(θ为OA , OB 的夹角) (3)S ∆OAB =OA 2

(1)S =

S ∆OAB =a +b －c 斜边2S ∆

r ∆内切圆=, r 直角∆内切圆=

a +b +c 2

34. 三角形内角和定理 在△ABC 中，有

A +B +C =π⇔C =π-(A +B ) ⇔

35. 实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：

(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a ;

(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ;

(3)第二分配律：λ(a +b )=λ

a 与b 的数量积(或内积) ：a ·b =|a ||b |cos θ。

a +λb .

C πA +B =-⇔2C =2

π 222

平面向量的坐标运算：

(3)设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) , 则AB =OB -OA =(x 2-x 1, y 2-y 1) .

(4)设a =(x , y ), λ∈R ，则λa =(λx , λy ) .

(5)设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，则a ·b =(x 1x 2+y 1y 2) .

两向量的夹角公式：

(1)设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，则a +b =(x 1+x 2, y 1+y 2) .

(2)设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，则a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2) .

a ⋅b

cos θ==

|a |⋅|b |

(a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ).

平面两点间的距离公式

36. 向量的平行与垂直 ：设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，且b ≠0，则：

a ||b ⇔b =λa ⇔x 1y 2-x 2y 1=0. （交叉相乘差为零）

a ⊥b (a ≠0) ⇔ a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0. （对应相乘和为零）

37. 线段的定比分公式 设P 1(x 1, y 1) ，P 2(x 2, y 2) ，P (x , y ) 是线段PP 12的分点, λ是实数，

d A , B =|AB |==(x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ).

且PP 1=λPP 2，则

38. 若OA =xOB +yOB 则A,B,C 共线的充要条件是x+y=1x 1+λx 2⎧ x = ⎪1OP ⎪1+λ1+λOP 2

t =OP =（）. OP =tOP +(1-t ) OP ⇔⇔⎨12

y +λy 1+λ1+λ2⎪y =1

⎪1+λ⎩

39. 三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为A(x1,y 1) 、B(x2,y 2) 、

C(x3,y 3) , 则△ABC 的重心的坐标是G (

x 1+x 2+x 3y 1+y 2+y 3

, ) . 33

2 2 2

（1）O 为∆ABC 的外心⇔OA =OB =OC .

（2）O 为∆ABC 的重心⇔OA +OB +OC =0.

O ∆ABC （3）为的垂心⇔OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA .

（4）O 为∆ABC 的内心⇔aOA +bOB +cOC =0.

（5）O 为∆ABC 的∠A 的旁心⇔aOA =bOB +cOC .

三角形五“心”向量形式的充要条件：

设O 为∆ABC 所在平面上一点，角A , B , C 所对边长分别为a , b , c ，则

' ' ' ⎧⎧⎪x =x +h ⎪x =x -h '

⇔⎨40. 点的平移公式 ⎨' ⇔OP =OP +PP (图形F 上的任意一点'

⎪⎪⎩y =y +k ⎩y =y -k

' ' ' '

P(x，y) 在平移后图形F 上的对应点为P (x , y ) ，且PP ' 的坐标为(h , k ) ).

41. 常用不等式：

(1)a , b ∈R ⇒a +b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“=”号) ．(2)a , b ∈

R ⇒等）

(3)a +b +c ≥3abc (a >0, b >0, c >0).

3

3

3+

2

2

a +b

≥当且仅当a ＝b 时取“=”号) ．（运用条件：一正、二定、三相2

(4)a -b ≤a +b ≤a +b 注意等号成立的条件

a +b 2ab a +b (5) ≤≤≤a >0, b >0) ≤≤2a +b 2+

a b

1

(当且仅当a ＝b 时取“=”号)

22222

柯西不等式(a +b )(c +d ) ≥(ac +bd ) , a , b , c , d ∈R .

42. 极值定理:已知x , y 都是正数，则有

（1）若积xy 是定值p ，则当x =y 时和x +y 有最小值2p ；（2）若和x +y 是定值s ，则当x =y 时积xy 有最大值（3）已知a , b , x , y ∈R ，若ax +by =1则有

+

12

s 4

.

1111by ax +=(ax +by )(+) =a +b ++≥a +b +2。x y x y x y

a b

+=1则有

x y

a b ay bx

x +y =(x +y )(+) =a +b ++≥a +b +=2

x y x y

43. 一元二次不等式ax 2+bx +c >0(或0) ，如果a 与ax 2+bx +c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2+bx +c 异号，则其解集在两根

（4）已知a , b , x , y ∈R +，若

之间. 简言之：同号两根之外，异号两根之间.

x 1

x x 2⇔(x -x 1)(x -x 2) >0(x 1 0时，有

2

x

x >a ⇔x 2>a 2⇔x >a 或x

45. 无理不等式

⎧f (x ) ≥0⎪

>⎨g (x ) ≥0

⎪f (x ) >g (x ) ⎩⎧f (x ) ≥0⎪

g (x ) ⇔⎨g (x ) >0

⎪f (x )

⎧f (x ) ≥0

⎧f (x ) ≥0⎪

. g (x ) ⇔⎨g (x ) ≥0或⎨

⎪f (x ) >[g (x )]2⎩g (x )

46. 指数不等式与对数不等式 (1)当a >1时, a

f (x )

>a g (x )

⎧f (x ) >0⎪

⇔f (x ) >g (x ) ; log a f (x ) >log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0.

⎪f (x ) >g (x ) ⎩

(2)当0

a f (x ) >a g (x )

⎧f (x ) >0⎪

⇔f (x ) log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0

⎪f (x )

47. 斜率公式 k =

y 2-y 1

（P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) ）x 2-x 1

b

直线的方向向量v=(a,b),则直线的斜率为k =(a ≠0)

a

48. 直线方程的五种形式:

k (1)点斜式 y -y 1=k (x -x 1) (直线l 过点P 1(x 1, y 1) ，且斜率为) ．

(2)斜截式 y =kx +b (b为直线l 在y 轴上的截距).(注意截距是实数，并非距离)

y -y 1x -x 1

(y 1≠y 2)(P =1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) (x 1≠x 2)).

y 2-y 1x 2-x 1x y

(4)截距式+=1(a , b 分别为x 轴y 轴上的截距,且a≠0,b ≠0)

a b

(5)一般式 A x +B y +C =0(其中A 、B 不同时为0).

直线Ax +By +C =0的法向量：l '=(A , B ) ，方向向量：l =(B , -A )

(3)两点式

49. 两条直线的平行和垂直 (1)若l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2

①l 1 l 2⇔k 1=k 2, b 1≠b 2; ②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1. (2)若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,

①l 1 l 2⇔A ；②l 1⊥l 2⇔A ； 1B 2-A 2B 1=0且AC 12-A 2C 1≠01A 2+B 1B 2=050. 夹角公式：

k 2-k 1

|. (l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2, k 1k 2≠-1)

1+k 2k 1

A B -A 2B 1

tan α=|12|.(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, A 1A 2+B 1B 2≠0).

A 1A 2+B 1B 2

π

直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是.

2

l 1到l 2的角公式：

k -k 1

(1)tan α=2.(l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2, k 1k 2≠-1)

1+k 2k 1

A B -A 2B 1

(2)tan α=12.(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,

A 1A 2+B 1B 2tan α=|

A 1A 2+B 1B 2≠0).

直线l 1⊥l 2时，直线l 1到l 2的角是

51. 点到直线的距离

d =

π

. 2

(点P (x 0, y 0) , 直线l ：Ax +By +C =0).

52．两条平行线的间距离

d =

直线l 1：Ax +By +C 1=0, l 2Ax +By +C 2=0, C 1≠C 2) ).

2

2

2

53. 圆的四种方程

(1)圆的标准方程 (x -a ) +(y -b ) =r .

2

2

22

(2)圆的一般方程 x +y +Dx +Ey +F =0(D +E -4F ＞0).

⎧x =a +r cos θ

(3)圆(x -a ) +(y -b ) =r 的参数方程 ⎨.

y =b +r sin θ⎩

(4)圆的直径式方程 (x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0(圆的直径的端点是A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) ).

2

2

2

点与圆的位置关系：点P (x 0, y 0) 与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2

=r 2的位置关系有三种：

d >r ⇔点P 在圆外; d =r ⇔点P 在圆上; d

直线与圆的位置关系：直线Ax +By +C =0与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的位置关系有

若d =

A +B

d >r ⇔相离⇔∆0.

三种(d =

Aa +Bb +C

2

2

):

两圆位置关系判定方法:设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，O 1O 2=d ，则：

d >r 1+r 2⇔外离⇔4条公切线; d =r 1+r 2⇔外切⇔3条公切线;

r 2-r 1+rr 1-r 2

54. 圆中有关重要结论:

2

2

2

2

(1)若P(x 0, y 0) 是圆x +y =r 上的点, 则过点P(x 0, y 0) 的切线方程为xx 0+yy 0=r 2 推广：若P(x 0, y 0) 是圆(x -a ) +(y -b ) =r 上的点, 则过点P(x 0, y 0) 的切线方程为

2

2

(x 0-a )(x -a ) +(y 0-b )(y -b ) =r 2

(2) 若P(x 0, y 0) 是圆x +y =r 外一点, 由P(x 0, y 0) 向圆引两条切线, 切点分别为A,B 则直线AB 的方程为xx 0+yy 0=r 2

2

2

2

2

2

2

推广： 若P(x 0, y 0) 是圆(x -a ) +(y -b ) =r 外一点, 由P(x 0, y 0) 向圆引两条切线, 切

点分别为A,B 则直线AB 的方程为(x 0-a )(x -a ) +(y

0-b )(y -b ) =r 65. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =

或

2

AB ==|x 1-x 2|=|y 1-y 2

（弦端点A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，由方程⎨

⎧y =kx +b 2

消去y 得到ax +bx +c =0

⎩F (x , y ) =0

∆>0, α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率，|x 1-x 2|=

（注意需用：∆>0检验！！ ） 若由方程⎨

⎧y =kx +b

消去x 得到a y 2+b y +c =0，k 为直线的斜率）.

则

F (x , y ) =0⎩

（注意需用：∆>0检验！！）AB =|y 1-y 2|

66. 圆锥曲线对称

（1）曲线F (x , y ) =0关于点P (x 0, y 0) 成中心对称的曲线是F (2x 0-x ,2y 0-y ) =0. （2）曲线F (x , y ) =0关于直线Ax +By +C =0成轴对称的曲线是

F (x -

2A (Ax +By +C ) 2B (Ax +By +C )

, y -) =0. 2222

A +B A +B

“四线”一方程 对于一般的二次曲线Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0，用x 0x 代

x 0y +xy 0x +x y +y

代xy ，用0代x ，用0代y 即得方程222

x y +xy 0x +x y +y

Ax 0x +B ⋅0+Cy 0y +D ⋅0+E ⋅0+F =0，曲线的切线，切点弦，中点

222

x 2，用y 0y 代y 2，用

弦，弦中点方程均是此方程得到.

证明直线与平面的平行的思考途径:

（1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.

证明直线与平面垂直的思考途径:

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。证明平面与平面的垂直的思考途径：

（1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直；

(3) 转化为两平面的法向量平行。 向量的直角坐标运算：

设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) 则：

a (1) ＋b ＝(a 1+b 1, a 2+b 2, a 3+b 3) ；

(2) a －b ＝(a 1-b 1, a 2-b 2, a 3-b 3) ；

(3)λa ＝(λa 1, λa 2, λa 3) (λ∈R) ；

(4) a ·b ＝a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3；

67. 共线向量定理：

对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．（λ表示同或异向）

68. 对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP =xOA +yOB +zOC ， 则四点P 、A 、B 、C 是共面⇔x +y +z =1．

69. 空间两个向量的夹角公式 cos 〈a ，b 〉

AB ⋅m

(m 为平面α的法向量). 70. 直线AB 与平面所成角β=arc sin |AB ||m |

m ⋅n m ⋅n

θ=arc cos π-arc cos 71. 二面角α-l -β的平面角或（m ，n 为平面α，β|m ||n ||m ||n |

的法向量）.

72. 设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为θ1，AB 与AC 所成的角为θ2，AO 与AC 所成的角为θ．则cos θ=cos θ1cos θ2.

（a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) ）.

73. 若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是θ1, θ2, 与二面角

|θ1-θ2|≤ϕ≤180 -(θ1+θ2) (当且仅当θ=90 时等号成立).

74. 空间两点间的距离公式 若A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，则

的棱所成的角是θ，则有sin 2ϕsin 2θ=sin 2θ1+sin 2θ2-2sin θ1sin θ2cos ϕ ;

d

A , B =|AB |=

点Q 到直线l

距离h =

|CD ⋅n |

(l 1, l 2是两异面直线，其公垂向量为n ，C 、D 分别是75. 异面直线间的距离 d =

|n |

l 1, l 2上任一点，d 为l 1, l 2间的距离).

|AB ⋅n | 76. 点B 到平面α的距离 d =（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜|n |

线，A ∈α）.

异面直线上两点距离公式

d

(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段AA 的长度为h. 在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，A E =m , AF =n , EF =d ).

2222222

77. l =l 1+l 2+l 3⇔cos θ1+cos θ2+cos θ3=1

'

'

a =PA ，向量b =PQ ).

(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量

（长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l 1、l 2、l 3，夹角分别为

θ1、θ2、θ3）

S '

78. 面积射影定理 cos θ=

S

(面多边形及其射影的面积分别是S 、S ，θ为其所在平面所成锐二面角). 欧拉定理(欧拉公式) V +F -E =2(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F)

'

4

πR 3, 其表面积是S =4πR 2． 3

1

80. 柱体体积V 柱=Sh ，锥体体积V 锥=Sh

3

79. 球的半径是R ，则其体积是V =

球的组合体：

(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的

直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3)球与正四面体的组合体: 棱长为a

(

13的),

(

的).

44

81. 分类计数原理（加法原理）N =m 1+m 2+ +m n 分步计数原理（乘法原理）N =m ⨯m n . 1⨯m 2⨯

n ！

.(n ，m ∈N *，且m ≤n ) ．规定0! =1

(n -m ) ！

n m m m m -1m m -1

A n 排列恒等式 （1）A n ; （2）A n ==(n -m +1) A n -1; （3）A n =nA n -1; n -m

n n +1n m m m -1

（4）nA n ; （5） =A n -A A =A +mA +1n n +1n n

m 82. 排列数公式 A n =n (n -1) (n -m +1) =

83. 组合数公式 C

m

n =

A n m n (n -1) (n -m +1) n ！==(n ，m ∈N *，且m ≤n ). m

1⨯2⨯ ⨯m m ！⋅(n -m ) ！A m

m

n -m

84. 组合数的两个性质(1) C n =C n 85. 组合恒等式（1） kC =nC 组合恒等式（1）C n =

m

;(2) C n +C n

m m -1

=C n +1 规定C n =1.

r

r

r

r

r +1

m 0

k

n

n

k -1

; 2）n -1 （

r =0

∑C

r n

=2（; 3）C r +C r +1+C r +2+ +C n =C n +1.

n

n -m +1m -1n n m -1m m m

C n ; C n C =C n -1; （4）（2）C n =; （3）-1n

m n -m m

∑C

r =0

n

r

n r r +1

=2; （5）C r r +C r r +1+C r r +2+ +C n =C n +1

m

m

n

86. 排列数与组合数的关系是：A n =m ！⋅C n . 87. 二项式定理 (a +b ) =C n a +C n a

n

n

1

n -1

2n -22r n -r r n n

b +C n a b + +C n a b + +C n b ;

r n -r r

二项展开式的通项公式：T r +1=C n 1，2 ，n ) . a b (r =0，

a 0+a 1+a 2+ +a n =f (1)； a 0-a 1+a 2+ +(-1) n a n =f (-1) ；a 0=f (0)。m

88. 等可能性事件的概率P (A ) =.

n

f (x ) =(ax +b ) n =a 0+a 1x +a 2x 2+ +a n x n 的展开式的系数关系：

89. 互斥事件A ，B 分别发生的概率的和：P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

90. n 个互斥事件分别发生的概率的和：P(A1＋A 2＋„＋A n )=P(A1) ＋P(A2) ＋„＋P(An ) ． 91. 独立事件A ，B 同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B).

92.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A 2·„· A n )=P(A1) · P(A2) ·„· P(An ) ．

k k n -k

93.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率P . n (k ) =C n P (1-P )

离散型随机变量的分布列的两个性质：（1）P ,2, ) ; （2）P i ≥0(i =11+P 2+ =1.

1. 数学期望E ξ=x 1P 1+x 2P 2+ +x n P n +

数学期望的性质：

（1）E (a ξ+b ) =aE (ξ) +b ；（2）若ξ～B (n , p ) ，则E ξ=np . (3) 若ξ服从几何分布, 且P (ξ=k ) =g (k , p ) =q k -1p ，则E ξ=

2

2

2

1

. p

2. 方差D ξ=(x 1-E ξ)⋅p 1+(x 2-E ξ)⋅p 2+ +(x n -E ξ)⋅p n + 标准差σξ=D ξ.

方差的性质(1)D (ξ)=E ξ-(E ξ) ;(2)D (a ξ+b )=a D ξ；

2

2

2

（3）若ξ～B (n , p ) ，则D ξ=np (1-p ) .

（4）若ξ服从几何分布, 且P (ξ=k ) =g (k , p ) =q k -1p ，则D ξ=

2

方差与期望的关系：D ξ=E ξ-(E ξ)

2

q . 2p

正态分布密度函数f (

x )=

2

2

x -μ)(-

2σ2

, x ∈(-∞, +∞)

式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.

x

-标准正态分布密度函数f (

x )=2, x ∈(-∞, +∞).

⎛x -μ⎫2

对于N (μ, σ) ，取值小于x 的概率F (x )=Φ ⎪. ⎝σ⎭

P (x 1

⎛x -μ⎫⎛x 1-μ⎫=Φ 2-Φ⎪ ⎪.

⎝σ⎭⎝σ⎭

特殊数列的极限

⎧0

⎪n

（1）lim q =⎨1

n →∞

⎪不存在⎩

|q |

.

⎧0(k

a k n k +a k -1n k -1+ +a 0⎪a t

（2）lim =⎨(k =t ) .

n →∞b n t +b n t -1+ +b t t -10⎪b k

⎪不存在 (k >t ) ⎩

（3）S =lim

x →x 0

a 11-q n

1-q

(

n →∞

)=

a 11-q

（S 无穷等比数列

{a q } (|q |

n -11

lim f (x ) =a ⇔lim -f (x ) =lim +f (x ) =a . 这是函数极限存在的一个充要条件.

x →x 0

x →x 0

函数的夹逼性定理 如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x 0的附近满足：

（1）g (x ) ≤f (x ) ≤h (x ) ; （2）lim g (x ) =a , lim h (x ) =a （常数）, 则lim f (x ) =a .

x →x 0

x →x 0

x →x 0

本定理对于单侧极限和x →∞的情况仍然成立. 两个重要的极限 （1）lim

sin x

=1；

x →0x

x

⎛1⎫

（2）lim 1+⎪=e (e=2.718281845„).

x →∞

⎝x ⎭

f (x ) 在x 0处的导数（或变化率或微商）

f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y =lim . x =x 0

∆x →0∆x ∆x →0∆x

∆s s (t +∆t ) -s (t ) =lim 瞬时速度υ=s '(t ) =lim .

∆t →0∆t ∆t →0∆t

∆v v (t +∆t ) -v (t ) =lim 瞬时加速度a =v '(t ) =lim

∆t →0∆t ∆t →0∆t f '(x 0) =y '

=lim

f (x ) 在(a , b ) 的导数f '(x ) =y '=

dy df ∆y f (x +∆x ) -f (x )

==lim =lim .

∆x →0∆x →0dx dx ∆x ∆x

函数y =f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义：

函数y =f (x ) 在点x 0处的导数是曲线y =f (x ) 在P (x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率

f '(x 0) ，相应的切线方程是y -y 0=f '(x 0)(x -x 0) .

几种常见函数的导数

(1) C '=0（C 为常数）. (2) (x n ) ' =nx n -1(n ∈Q ) . (3) (sinx ) '=cos x . (4) (cosx ) '=-sin x .

11e x

；(loga ) '=log a . x x

(6) (e x ) '=e x ; (a x ) '=a x ln a .

(5)(lnx ) '=导数的运算法则：

u ' u ' v -uv '

(v ≠0) （1）(u ±v ) =u ±v . （2）(uv ) =u v +uv . （3）() =2

v v

判别f (x 0) 是极大（小）值的方法：

当函数f (x ) 在点x 0处连续时，

（1）如果在x 0附近的左侧f '(x ) >0，右侧f '(x ) 0，则f (x 0) 是极小值.

'

'

'

'

'

'

复合函数的求导法则

设函数u =ϕ(x ) 在点x 处有导数u x ' =ϕ' (x ) ，函数y =f (u ) 在点x 处的对应点U 处有导数y u ' =f ' (u ) ，

' ' '

则复合函数y =f (ϕ(x )) 在点x 处有导数，且y x ，或写作f x ' (ϕ(x )) =f ' (u ) ϕ' (x ) . =y u ⋅u x

可导函数y =f (x ) 的微分dy =f '(x ) dx .

复数的相等：a +bi =c +di ⇔a =c , b =d . （a , b , c , d ∈R ） 复数z =a +bi 的模（或绝对值）|z |=|a +

bi | 复数的四则运算法则

(1)(a +bi ) +(c +di ) =(a +c ) +(b +d ) i ;

(2)(a +bi ) -(c +di ) =(a -c ) +(b -d ) i ; (3)(a +bi )(c +di ) =(ac -bd ) +(bc +ad ) i ; (4)(a +bi ) ÷(c +di ) =

复平面上的两点间的距离公式

d =|z 1-z 2|=

ac +bd bc -ad

+i (c +di ≠0) .

c 2+d 2c 2+d 2

（z 1=x 1+y 1i ，z 2=x 2+y 2i ）.

向量的垂直 非零复数z 1=a +bi ，z 2=c +di 对应的向量分别是OZ 1，OZ 2，则

z

OZ 1⊥OZ 2⇔z 1⋅z 2的实部为零⇔2为纯虚数⇔|z 1+z 2|2=|z 1|2+|z 2|2

z 1

⇔|z 1-z 2|2=|z 1|2+|z 2|2⇔|z 1+z 2|=|z 1-z 2|⇔ac +bd =0⇔z 1=λiz 2 (λ为非

零实数).

实系数一元二次方程的解

2

实系数一元二次方程ax +bx +c =0，

2

-b ±①若∆=b -4ac >0, 则x 1,2=

2a b 2

②若∆=b -4ac =0, 则x 1=x 2=-;

2a

2

③若∆=b -4

ac

2

在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根x =b -4ac

导数与函数的单调性的关系

㈠f '(x ) >0与f (x ) 为增函数的关系。

f '(x ) >0能推出f (x ) 为增函数，但反之不一定。如函数f (x ) =x 3在(-∞, +∞) 上单调递增，但f '(x ) ≥0，∴f '(x ) >0是f (x ) 为增函数的充分不必要条件。 ㈡f '(x ) ≥0与f (x ) 为增函数的关系。 f (x ) 为增函数，一定可以推出f '(x ) ≥0，但反之不一定，因为f '(x ) ≥0，即为f '(x ) >0或f '(x ) =0。当函数在某个区间内恒有f '(x ) =0，则f (x ) 为常数，函数不具有单调性。∴f '(x ) ≥0是f (x ) 为增函数的必要不充分条件。

㈢若函数在区间A 上是增函数⇒f '(x ) ≥0在区间A 上恒成立（非常重要的转化）96. 抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：

①f (x 1+x 2) =f (x 1) +f (x 2) ⇒正比例函数f (x ) =kx (k ≠0) ②f (x 1+x 2) =f (x 1) ⋅f (x 2) ；f (x 1-x 2) =f (x 1) ÷f (x 2) ⇒f (x ) =a ③f (x 1⋅x 2) =f (x 1) +f (x 2) ；f (

x

x 1

) =f (x 1) -f (x 2) ⇒f (x ) =log a x ； x 2

1

97.n 个数据x 1, x 2, x 3 x n , 则它们的平均数为x =(x 1+x 2+x 3+ +x n ) ,

n

122222

方差s =[(x 1-x ) +(x 2-x ) +(x 3-x ) + +(x n -x ) ]

n

(1) 总体：在统计中, 所有考查对象的全体叫做全体.

(2) 个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体.

(3) 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本. (4) 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量. 二、抽样方法： （1）简单随机抽样：设一个总体的个数为N. 如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本, 且每次抽取时每个个体被抽到的概率相等, 就称这样的抽样为简单的随机抽样, 简单随机抽样常用的方法有抽签法和随机数表法.

(2)分层抽样：当已知总体是由有差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层.

个体数N 的总体中抽取一个样本容量为n 的样本，那么在整个抽样过程中每个个体被抽

到的概率都相等，且等于

n 2

. ∴k >1 N

解题方法和技巧

总体应试策略：先易后难，一般先作选择题，再作填空题，最后作大题，选择题力保速度和准确度为后面大题节约出时间，但准确度是前提，对于填空题，看上去没有思路或计算太复杂可以放弃，对于大题，尽可能不留空白，把题目中的条件转化代数都有可能得分，在考试中学会放弃，摆脱一个题目无休止的纠缠，给自己营造一个良好的心理环境，这是考试成功的重要保证。 解答选择题的特殊方法是什么？

(顺推法，估算法，特例法，特征分析法，直观选择法，逆推验证法、数形结合法等等) 答填空题时应注意什么？（特殊化，图解，等价变形） 解答应用型问题时，最基本要求是什么？

审题、找准题目中的关键词，设未知数、列出函数关系式、代入初始条件、注明单位、作答学会跳步得分技巧，第一问不会，第二问也可以作，用到第一问就直接用第一问的结论即可，要学会用“由已知得”“由题意得”“由平面几何知识得”等语言来连接，一旦你想来了，可在后面写上“补证”即可。