大一高数公式
高等数学公式
(tgx ) '=sec 2x (ctgx ) '=-csc 2x (secx ) '=sec x ⋅tgx (cscx ) '=-csc x ⋅ctgx (a x ) '=a x ln a
1
(loga x ) '=
x ln a
(arcsinx ) '=
1
-x 2
1
(arccosx ) '=-
-x 21
(arctgx ) '=
1+x 2
1
(arcctgx ) '=-
1+x 2
⎰tgxdx =-ln cos x +C ⎰ctgxdx =ln sin x +C
⎰sec xdx =ln sec x +tgx +C ⎰csc xdx =ln csc x -ctgx +C
dx 1x
=arctg +C ⎰a 2+x 2a a dx 1x -a
=ln ⎰x 2-a 22a x +a +C dx 1a +x
=⎰a 2-x 22a ln a -x +C dx x
=arcsin +C ⎰a 2-x 2
a
π
2
n
dx 2
⎰cos 2x =⎰sec xdx =tgx +C dx 2
⎰sin 2x =⎰csc xdx =-ctgx +C
⎰sec x ⋅tgx dx =sec x +C ⎰csc x ⋅ctgxdx =-csc x +C
a x
⎰a dx =ln a +C
x
⎰shxdx =chx +C ⎰chxdx =shx +C ⎰
dx x 2±a 2
=ln(x +x 2±a 2) +C
π
2
I n =⎰sin xdx =⎰cos n xdx =
n -1
I n -2n
⎰⎰⎰
导数公式： 基本积分表：
x 2a 22
x +a dx =x +a +ln(x +x 2+a 2) +C
22x 2a 2222
x -a dx =x -a -ln x +x 2-a 2+C
22x 2a 2x 222
a -x dx =a -x +arcsin +C
22a
2
2
三角函数的有理式积分：
2u 1-u 2x 2du
sin x =， cos x =， u =tg ， dx =
21+u 21+u 21+u 2
一些初等函数： 两个重要极限：
e x -e -x
双曲正弦:shx =
2e x +e -x
双曲余弦:chx =
2
shx e x -e -x
双曲正切:thx ==
chx e x +e -x arshx =ln(x +x 2+1）archx =±ln(x +x 2-1)
11+x
arthx =ln
21-x
lim
sin x
=1
x →0x
1
lim (1+) x =e =2. [**************]... x →∞x
三角函数公式： ·诱导公式：
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β
cos(α±β) =cos αcos β sin αsin βtg (α±β) =
tg α±tg β1 tg α⋅tg βctg (α±β) =
ctg α⋅ctg β 1
ctg β±ctg α
·和差角公式：
sin α+sin β=2sin
α+β
2cos
α-β
2sin α-sin β=2cos α+βα-β
2sin
2cos α+cos β=2cos α+βα-β
2cos
2cos α-cos β=2sin α+βα-β
2sin
2
·和差化积公式：
·倍角公式：
sin 2α=2sin αcos α
cos 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α=cos 2α-sin 2αctg 2α-1
ctg 2α=
2ctg α2tg α
tg 2α=
1-tg 2α
sin 3α=3sin α-4sin 3αcos 3α=4cos 3α-3cos α3tg α-tg 3αtg 3α=
1-3tg 2α
·半角公式：
sin tg
α
2
=±=±
-cos α+cos cos =±222
1-cos α1-cos αsin αα+cos α1+cos αsin α
== ctg =±==
1+cos αsin α1+cos α21-cos αsin α1-cos α
α
2
·正弦定理：
a b c
===2R ·余弦定理：sin A sin B sin C
c 2=a 2+b 2-2ab cos C
·反三角函数性质：arcsin x =
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：
(uv )
(n )
k (n -k ) (k )
=∑C n u v k =0n
π
2
-arccos x arctgx =
π
2
-arcctgx
=u (n ) v +nu (n -1) v '+
n (n -1) (n -2) n (n -1) (n -k +1) (n -k ) (k )
u v ''+ +u v + +uv (n )
2! k !
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：f (b ) -f (a ) =f '(ξ)(b -a )
f (b ) -f (a ) f '(ξ)
=
F (b ) -F (a ) F '(ξ)
当F (x ) =x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率：
弧微分公式：ds =+y '2dx , 其中y '=tg α平均曲率：K =
∆α
∆α:从M 点到M '点，切线斜率的倾角变化量；∆s ：M M '弧长。∆s
y ''∆αd α
M 点的曲率：K =lim ==. 23∆s →0∆s ds (1+y ')
直线：K =0; 1半径为a 的圆：K =.
a
定积分应用相关公式：
功：W =F ⋅s
水压力：F =p ⋅A
m m
引力：F =k 122, k 为引力系数
r
b 1
函数的平均值：y =f (x ) dx ⎰b -a a 1f 2(t ) dt ⎰b -a a
b
m (m -1) 2m (m -1) (m -n +1) n
x + +x + (-1
2n -1
x 3x 5x
sin x =x -+- +(-1) n -1+ (-∞
3! 5! (2n -1)! (1+x ) m =1+mx +
微分方程的相关概念：
一阶微分方程：y '=f (x , y ) 或 P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0
可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g (y ) dy =f (x ) dx 的形式，解法：
⎰g (y ) dy =⎰f (x ) dx 得：G (y ) =F (x ) +C 称为隐式通解。
dy y
=f (x , y ) =ϕ(x , y ) ，即写成的函数，解法：dx x
y dy du du dx du y 设u =，则=u +x ，u +=ϕ(u ) ，∴=代替u ，
x dx dx dx x ϕ(u ) -u x 齐次方程：一阶微分方即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程：
dy
1+P (x ) y =Q (x )
dx
-P (x ) dx
当Q (x ) =0时, 为齐次方程，y =Ce ⎰
当Q (x ) ≠0时，为非齐次方程，y =(⎰Q (x ) e ⎰dy
2+P (x ) y =Q (x ) y n ，(n ≠0, 1)
dx
P (x ) dx
dx +C ) e ⎰
-P (x ) dx
全微分方程：
如果P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0中左端是某函数的全微分方程，即：
∂u ∂u
du (x , y ) =P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0=P (x , y ) =Q (x , y )
∂x ∂y ∴u (x , y ) =C 应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程：
f (x ) ≡0时为齐次d 2y dy
+P (x ) +Q (x ) y =f (x ) 2
dx dx f (x ) ≠0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*)y ''+p y '+qy =0，其中p , q 为常数；求解步骤：
1、写出特征方程：(∆) r 2+pr +q =0，其中r 2，r 的系数及常数项恰好是(*)式中y '', y ', y 的系数；2、求出(∆) 式的两个根r 1, r 2
3、根据r 1, r 2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：
二阶常系数非齐次线性微分方程
y ''+p y '+qy =f (x ) ，p , q 为常数f (x ) =e λx P m (x ) 型，λ为常数；f (x ) =e λx [P l (x ) cos ωx +P n (x ) sin ωx ]型
(1)(a ^x )(n ) =a ^x (lna )^n (a >0)
(2) sin(kx )(n ) =k ^n sin(kx +n *π/2) (3) cos(kx )(n ) =k ^n cos(kx +n *π/2)
(4)(x ^m )(n ) =m (m -1)....(m -n +1) x ^(m -n ) (5)(lnx )(n ) =(-1)^(n -1)[(n -1)! /(x ^n )](6) 莱布尼兹公式：(uv )(n ) =∑c (i , n ) u (i ) v (n -i )
i =0n
曲率半径ρ=1/k
中值定理。 1。洛尔定理
设函数f (x ) 满足在[a , b ]上连续，在开区间(a , b ) 可导，且f (a ) =f (b ) ，则在(a , b ) 内至少存在一点ε，使f ' (ε) =0
2。拉格浪日定理
f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 可导，则在(a , b ) 内至少存在一个ε使
f (b ) -f (a ) =f ' (ε)(b -a )
3．柯西中值定理
f (x ), g (x ) 满足在[a , b ]连续，在(a , b ) 可导，且g (x ) ≠0, 则
在(a , b ) 内至少存在一个ε，使[f (b ) -f (a )]/[g (b ) -g (a )]=f ' (ε) /g ' (ε)
4． 台劳公式
f (x ) =f (0) +f ' (0) x +1/2! f ' ' (0) x ^2+.... +1/n ! f ^(n )(0) x ^n +Rn (x ) 5. 五种常见函数的台劳展开
(1) e ^x =1+x +1/2! x ^2+..... +1/n ! x ^n +1/(n +1)! x ^(n +1) e ^ε （2）sin x =x -1/3! x ^3+... +1/n ! (x ^n ) sin(n π/2) +o (x ^n ) （3）cos x =1-1/2! x ^2+.... +1/n ! (x ^n ) cos(n π/2) +o (x ^n ) (4)
ln(1+x ) =x -1/2*x ^2+1/3*x ^3+.... +(-1)^(n -1) 1/n (x ^n ) +o (x ^n )
(5)
(1+x )^m =1+mx +m *(m -1) /2! (x ^2) +... +m (m -1)...(m -n +1) /n ! (x ^n ) +o (x ^n )