大学力学题课后习题答案
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答案
一、判断对错(每题1分)
1(×) 2(×) 3(√) 4(×) 5(×) 6(×) 7(√) 8(√) 9(×) 10(√) 11(×) 12(×) 13(×) 14(√) 15(√) 16(×) 17(×) 18(×) 19(×) 20(×) 21(×) 22(×) 23(×) 24(×) 25(×) 26(×) 27 (×) 28(×) 29(×) 30(√) 31(×) 32(×) 33(√) 34(×)35(√) 36(√) 37(√) 38(√) 39(√) 40(√)41(×) 42 (√) 43(×) 44 (√)45(×) 46(×) 47 (×) 48(√) 49(√) 50(×)51(×)52(√)53(×)54(×)55(√) 56(×) 57(×) 58(×) 59(×) 60(√) 61(√) 62(×) 63(√) 64(×) 65(×) 66 (√) 67 (√) 二、选择题、(每题2分)
1(C )2(C )3(C )4( A )5(A )6( C )7( C )8( B )9( B )10(B )11(C )12(C ) 13(C )14 ( B ) 15( C)16( A )17(C )18( D)19(C )20 (C )21、( D )22、(A A A )23、( B)24、(D )25、( A )26、( B ) 27、( D )28 ( A )29 ( C )30 ( B) 31( A )32 ( C )33(A )34( B )35(C )36( D )37(A )38(B ) 39(C )40(C )41( B )42( B )43(C )44( D)45( C )46( B)47( D )48( C )49( B) 50( C ) 三、填空题 (每题4分)
1(
98223ma ω)(ma ω)2(力偶 )3(动点)(定系)4(其连线上)(速度投影定理)5(F )(Fa )6((F )F ) 2332
7(合力的大小及方向)(的选择无关)8(角速度)( 其到转轴的距离)9(平动)(转动)10(mv )( v )11(垂直且相交)
12(内)(外)13(r ω)14(bm /s )15( c 点)16(10m 牛顿)17(约束的类型)( 内力)18( 否 )19(约束)(相反)(主动力) 20(R ω)21(
2
7222p ⎛122⎫
r +e ⎪ω).22(无穷远处)23(mR )24(100000N ⋅s )(水平向右)25(mvR )26(ml ω)
23g ⎝2⎭
2
27(力偶矩大小相等、转向相同)28( 临界状态)(静摩擦系数)29(与点的轨迹相切)(转轴 )30(转角)31(不能)(不能) 32( 力多边形自行封闭)33( r ω)(r ω)34(a a =a r +a e )35( 2a ω)36( -mv )(-mv )37(几何形状)( 重量) 38(轴上)(在该轴上的投影)39( 1 )()40( 正 )( 负 )41( J Z
d ω
=M Z (F ) )42, ( F x , F y , M A )43(投影)(矩) dt
44(绝对速度)(矢量和)45(相等)(不相等)46( L ω)(2L ω)(5L ω) 47(相等)(不等) 48(大小相等)( 方向相反)(作用线平行)49(最大静摩擦力)(arctan f )50(主动力)(摩擦自锁)。
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静力学
1. 组合梁ABC 的支承与受力情况如图所示. 已知 P = 30kN, Q = 20kN, θ= 45o . 求支座A 和C 的约束反力.
A
解:(1)取BC 杆为研究对象画受力图.
∑M B (Fi ) = 0
- 2×20sin45o +4RC = 0 RC = 7.07 kN (2)取整体为研究对象画受力图
∑F x = 0 XA - 20 cos45o = 0 XA = 14.14 kN
∑F y = 0 YA - 30 - 20 sin45o + RC = 0 YA =37.07KN ∑M A (Fi )=0 MA - P2 -6Qsin450+RC 8=0 MA
=88.28KN
2 .三铰拱ABC 的支承及荷载情况如图所示. 已知P =20kN,均布荷载q = 4kN/m.求铰链支座A 和B 的约束反力. 解:(1)取整体为研究对象画受力图
∑M A (Fi ) = 0
- 4 × 3 × 1.5- 20 × 3+ 4 YB = 0 Y B = 19.5 kN ∑F y = 0
Y A - 20 + 19.5 = 0 YA = 0.5 kN (2)取BC 为研究对象画受力图. ∑M C (Fi ) = 0
-1×20 + 2×19.5 + 4 XB = 0 X B = - 6.33 kN (3)取整体为研究对象 ∑F x = 0
4×3+XA +XB = 0 XA = - 5.67 kN
3求图示多跨静定梁的支座反力。 解:先以CD 为研究对象,受力如图。
∑M C (F ) =0:3F D -3q ⋅=0 F D =2q
再以整体为研究对象,受力如图。
∑F x =0:F Ax =0
∑F =0:F Ay +F B +F D -F -4q =0 y ∑M A (F ) =0:
8F D +4F B -2F -4q ⋅6=0
解得 F =F +3q
B
2
D
D
D
D
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4组合结构如图所示,求支座反力和各杆的内力。 解:先以整体为研究对象,受力如图。
∑F x =0:F Ax +F D =0
∑F y =0:F Ay -q (2a +b ) =0
∑M A (F ) =0
2
F D a - 2q (2a +b ) =0 q (2a +b ) 2
F D =
解之得 2a
再以铰C 为研究对象,受力如图,建立如图坐标
q (2a +b ) 2
F Ax =-
2a F Ay =q (2a +b )
∑F x =0:F 1+F 3cos45=0
5、如图所示,水平梁由AB 和BC 两部分组成,它所在C 处用铰链相连,梁的A 端固定在墙上,在C 处受滚动支座支持,长度单位为m ,θ=30试求A 、B 、C 、处的约束反力
先取BC 为研究对象,受力分析如图,列平衡方程
∑F y =0:F 2+F 3sin45=0F 1=F D
q (2a +b ) 22
F 2=F 3=2a ∑F =F -R sin θ=0
∑F =F +R cos θ-6⨯20=0 ∑M (F ) =R cos θ⋅6-20⨯6⨯3=0
x
Bx
c
y
By
c
B
c
解得F BX =3KN F BY =60KN R C =KN
再取整体研究,受力如图
∑F =F -R sin θ=0
∑F =F +R cos θ-6⨯20=0
∑M (F ) =M +R cos θ⋅9-20⨯6⨯6-40=0
x
Ax
c
y
Ay
c
A
A
c
解得F AX =KN F AY =60KN M A =220KN ⋅m
6、 图示结构受水平力P 作用,D 端搁在光滑的斜面上,已知P=100N,AC=1.6m , BC=0.9m ,CD=1.2m,EC=1.2m , AD=2m。若AB 水平,ED 铅垂,BD 垂直AD ,各杆自重不计。求支座A 的反力和杆BD 的内力
取整体研究,受力分析如图
0. 9
F =F +P +F =0∑x Ax D
22. 2+0.
91. 2
F =F +F =0 ∑y Ay D
22. 2+0. 9
∑M A (F ) =F D ⋅2-P ⨯1. 2=0解得F AX =
136N
F AY =36N F D =60N 再取AB 研究受力分析如图
3
M (F ) =F ⨯0. 9-F AY ⋅1. 6=0 ∑c BD
5
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解得
F BD =
320
N 3
7 、求图示结构固定端的约束反力 解:先以BC 为研究对象,受力如图。
∑M =0:F C b -M =0 M F C ==F B b
再以AB 部分为研究对象,受力如图。 '=0∑F x =0:F Ax +F -F B
∑F y =0:F Ay -qa =0∑M A (F ) =0 'a =0M A -F (a +b ) -qa 2+F B
B
'=F B F B
F =M -F , F =qa , M =
Ay A
Ax b
8、图示构架中,物体重W=1200N ,由细绳跨过滑轮E 而水平系于墙上,尺寸如图。不计杆和滑轮的重量,求支承A 和B 处的约束反力,以及杆BC 的内力F BC 。
解:一、取整体为研究对象,受力图及坐标系如图(a)所示。绳索拉力F T =W =1200N
∑F x =0, F Ax -F T =0,F Ax =F T =1200N ∑M A =0,F R B ⋅4-W (2+r ) -F T (1. 5-r ) =0 F R B =
17
(2W +Wr +1. 5F T -F T r ) =W =1050 N 48∑F y =0
F Ax +F RB -W =0, F Ay =W -F By =150N
二、取杆CE
(包括滑轮E 及重物W )为研究对象,
如图(b)所示。
∑M D =0, -F BC s i n α
⋅1. 5-W ⋅r -F T (1. 5-r ) =0
N (压力)
F BC
F T
9DEF 杆上作用一力偶矩为M 的力偶。不各杆的重量,求AB 杆上铰链A ,D 和B 所受的力。 解:(一)研究对象:整体,受力图(a)
M ∑F x =0 , F Bx =0
M W
∑M C =0 , F By =
M
(↓) 2a
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(二) 研究对象:DE 杆,受力图(b) ∑M E =0
, F Dy =
'
M
(↓) a
(三)研究对象:ADB 杆,受力图(c) ∑M A =0 , F D x =0 ∑F x =0 , F Ax =0
∑F y =0 , F Ay =-
M
(↓) 2a
F Dy
F Dy
M
= (↑) a
10、已知各杆均铰接,B 端插入地内,P=1000N AE=BE=CE=DE=1m,杆重不计。 求AC 杆内力?B 点的反力?
解: 选整体研究 画受力图
选坐标、列方程为:
X B =0; ∑X =0
∑Y =0
Y B -P =0;
Y B =P
F Ax
M
B
B
M B =1000⨯1=1000(N ⋅m )
再研究CD 杆
∑m
=0
M -P ⨯DE =0
F Ay
o
m =0:-S ⋅sin 45⋅CE -P ⋅ED =0 ∑E CA
S CA =
-P ⋅ED 1000⨯1
=-=-1414(N ) o
sin 45⋅CE 0. 707⨯1
答 案
1、图示滚子传送带中滚子做匀角速转动,已知滚子的直径d =0. 2m ,转速为n =0. 2r /min 。试求钢板A 运动的速度和加速度,并求滚子上与钢板接触点P 的加速度。
解:由于钢板A 与滚子之间无相对滑动,因此有
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a A =0
π
2、飞轮边缘上的点按s =4sin t 的规律运动,飞轮的半径r =20cm 。试求时间t =10s 该点的速度和加速度。
4
解:当时间t =10s 时,飞轮边缘上点的速度为
ds πv ==πcos t =3. 11cm /s
dt 4方向沿轨迹曲线的切线。 飞轮边缘上点的切向加速度为
dv π2πa τ==-sin t =-0. 38cm /s2
dt 44
法向加速度为
v 23. 112
a n ===48. 36cm /s2
ρ0. 2
飞轮边缘上点的全加速度大小和方向为
22
a =a τ+a n =48. 4cm /s2
tan α=
全加速度与法线间的夹角α=0. 45o
a τa n
=0. 0078
3
、图示曲柄滑道机构中,曲柄长
OA =r ,并以匀角速度ω绕O 轴转动。装在水平杆上的滑槽DE 与水平线成60角。试求当曲柄与水
ϕ=0平轴的交角分别为,30时,杆BC 的速度。
解:以A 为动点,杆BC 为动系,速度分析见图示:
v a =v e +v r
牵连速度就是BC 杆的平动速度。
v e cos 30 =v A sin 30 -ϕ
⎧r ω
sin 30 -ϕ⎪, ϕ=0
v e =v A =⎨
cos 30⎪ϕ=30 ⎩0,
()
()
4、图示凸轮推杆机构中,偏心圆凸轮的偏心距OC =e ,半径r =3e 。若凸轮以匀角速度ω绕轴O 作逆时针转动,且推杆AB 的延长线通过轴O ,试求当OC 与CA 垂直时杆AB 的速度。
解:以A 为动点,偏心圆凸轮为动系,速度分析见图示: 由速度合成公式,
v a =v e +v r
向x 轴投影,得到
v A cos ϑ=v e sin ϑ
所以
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v AB =v A =v e tan ϑ=OA ⨯ω⨯tan ϑ=
5、铰接四边形机构,O 1A =O 2B =10cm , O 1O 2=AB 且O 1A 杆以匀角速度ω
6、刨床急回机构如图所示。曲柄OA 的角速度为ω,通过套筒A 带动摇杆O 1B 摆动。已知OA =r ,OO 1=l ,求当OA 水平时O 1B 的角速度ω1。。
解:选取滑块A 作为研究的动点,把动参考系固定在摇杆O 1B 上, 点A 的绝对运动是以点O 为圆心的圆周运动,相对运动是沿O 1B 方向的直线运动,而牵连运动则是摇杆绕O 1轴的摆动。 v e =v a sin ϕ=r ωsin ϕ
2 v e =O 1A ⨯ω1=
r 2ω O 1A =→ω1=22
l +r
7、半圆形凸轮半径为R ,已知凸轮的平动速度为v , 加速度为a , 杆AB 被凸轮推起. 求杆AB 的速度和加速度。该瞬时凸轮中心 C 与 A 点的连线与水平线之夹角为ϕ。
解:因AB 平动,故AB 杆的速度及加速度与A 点的速度及加速度相同。以点A 为动点,动系建立在凸轮上,则绝对运动为直线运动,相对运动为圆周运动,牵连运动为直线运动。 1)速度
23
e ω
=2rad /s 绕O 1轴转动。求θ=600时,CD 杆的速度。
解:取套筒C 点为动点,动系固连在AB 杆。绝对运动:铅垂直线运动;相对运动:水平直线运动;牵连运动:圆周曲线平动。. v a =v e +v r
v e =10⨯2=20cm /s
因CD 做直线平动,故
v CD =v a =10cm /s
v a =20⨯cos 600=10cm /s
v =v 因 a e +v r ,且 v e
=v
v 由图中几何关系可得 v a =v e cot ϕ=v cot ϕ v r =
sin ϕ
即
v AB
2)加速度
=v A =v a =v cot
ϕ
τ n
a a =a e +a r =a e +a r +a r
=a
22v v a r n =r =2
R R s i n ϕ
其中 a e
将加速度向η
轴投影
n a a s i n ϕ=a e c o ϕs -a r
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解得 a AB
v 2(a cos ϕ-) 2
R sin ϕ
=a a =
sin ϕ
=300时滑道BCD 的速度和
8、图示曲柄滑道机构,圆弧轨道的半径R =OA =10 cm ,已知曲柄绕轴O 以匀速n =120 r/min转动,求当ϕ加速度。
解:取滑块A 为动点,动系与滑道BCD 固连。则绝对运动为圆周运动,相对运动为圆周运动,牵连运动为直线运动。 1)速度
求得曲柄OA 转动的角速度为
v a =v e +v r
a
ω=
n π
=4πrad/s30
v e =v r =v v 125.6cm/sa ==v =v e r a =125.6cm/s由几何关系可得
v BCD =v e =v 125.6=v cm/s=125.6cm/s
BCD
e
v a =ω⋅OA 125.6cm/sv ==ω⋅OA =125.6cm/s
2)加速度
τ n
a a =a e +a r =a e +a r +a r
a a =a a n =ω2⋅OA =(4π) 2⋅10=1579cm/s2
22v 125.6a r n =r ==1579cm/s2
O 1A 10
将加速度向η轴上投影有:
η:-a a cos60=-a e cos30+a r n
a a cos60+a r n 1579⨯0.5+1579a e ==
cos30=2740cm/s2=27.4m/s2
=
300时,OA 杆的角速度为ω、角加速度为ε
。
9、曲柄OA 长为R ,通过滑块A 使导杆BC 和DE 在固定滑道内上下滑动,当ϕ试求该瞬时点B 的速度与加速度。
解:取滑块A 为动点,导杆为动系,则绝对运动为圆周运动,相对运动为直线运动,牵连运动为直线运动。 1)速度
v a =v e +
v r
v a =OA ⋅ω=R ⋅ω
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由几何关系可得
3v e =v a ⋅cos ϕ=R ⋅ω
2
2)加速度 其中
τ n a a =a a +a a =a e +a r
n a a =R ⋅ω2
a τa =R ⋅ε
将加速度向η
τn a cos ϕ-a 轴上投影有: a a sin ϕ=a e
3R ε-R ω2
a =解得 e
2
10、OA 由L 形推杆BCD 推动而在图面内绕O 轴转动。假定推杆以匀速u 沿水平方向运动,试用合成运动的方法,求OA 杆的角速度和角加速度。(θ、b 为已知)
解:取BCD 杆上的B 点为动点,动系建立在OA 上,则绝对运动为直线运动,相对运动为直线运动,牵连运动为定轴转动。 1)角速度
v a =v e +v r
v e =v a s i n θ=u s i n θ v r =v a c o θs =u c o θs
v e u ⋅sin θ
u
==sin 2θ
OB b /sin θ
b
由几何关系可得
ω
OA =
2)角加速度
τ n a a =a e +a e +a r +a c a a =0
其中
2u 2
a c =2ωv r sin 900=2s i n θ⋅c o θs
b
将加速度向η轴上投影可解得
2u τ
a e =a c =2sin 2θ⋅cos θ
b τa e u 2
ε==22sin 3θ⋅cos θ
OB b
11、直角杆OAB 绕O 轴转动,通过套筒C 带动CD 杆上下运动。已知:OA=40cm。在图示位置时,OA 段铅垂,AB 段水平,ω加速度。
解:取套筒C 为动点,动系建立在直角杆OAB 上,则绝对运动为直线运动,相对运动为直线运动,牵连运动为定轴转动。
=1rad /s ,ε=0. 5rad /s 2, AC=30cm。求该瞬时CD 杆的速度和
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1)速度 v a =v e +v r
由几何关系可得
3
v a =v e ⋅sin φ=OC ⋅ω=0. 3m /s
5
4
v r =v e ⋅cos φ=OC ⋅ω=0. 4m /s
5
2)加速度
τ n a a =a e +a e +a r +a c
将加速度向η其中
n τ
a =a cos φ+a 轴上投影可解得 a e e sin φ-a c
a c =2ωv r sin 900
n
a
e
=OC ⋅ω2cos φ
τa e =OC ⋅εsin θ
解得
a a =0. 25m /s
12、运动机构如图所示,已知滑块B 沿铅垂槽向下滑动,匀速度v B ,连杆AB 长L ,半径为R 的圆轮沿水平直线轨迹作纯滚动。求图示位置夹角为θ时,圆轮的角速度ω。
解:因AB 杆做平面运动,由A 、B 两点的速度方向可判断C 点为AB 杆的速度瞬心,则有
ωAB =
v B V B
= BC L sin θ
v B
=v B ⋅cot θ
L ⋅sin θ
v A =CA ⋅ωAB =L ⋅cos θ
对于圆轮A ,接地点为其速度瞬心于是可得
ωA =
v A v B ⋅cot θ= R R
13、在如图所示的四连杆机构中,OA=r,AB=b,O 1B =d ,已知曲柄OA 以匀角速度O 转动。试求在图示位置时,杆AB 的角速度ωAB ,以及摆杆O 1B 的角速度
ω绕轴
ω1。
解:由题意分析可知,AB 杆为平面运动,A 点和B 点的速度方向如图所示,
利用速度瞬心法,C 点为速度瞬心。由几何关系可知
…
…
姓名 学号 订
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佳 木 斯 大 学 考 试 卷
AC =3b BC =2b
v A =ω⋅r =ωAB ⋅AC
∴
ωAB
3r ==ω
AC 3b
ωr
∴
v B =ω1⋅d =ωAB ⋅BC
ω1=
ωAB ⋅BC
d
2r
=ω
3d
3
l ,OA 以ω绕O 轴转动。求:(1) AB 杆的角速度;(2) B 点的速度。 2
解:由题意分析可知,AB 杆为平面运动,A 点和B 点的速度方向如图所示,
利用速度瞬心法,C 点为速度瞬心。由几何关系可知
14、已知四连杆机构中O 1B =l ,AB =
OA =2l
3
AB =BC =l
232AC =l
2
v A =ω⋅OA =2l ω
v A
2
ωAB
==ω
AC 3
v B =BC ⋅ωAB =l ω
15、平面机构如图所示。已知:OA=30cm,AB=20cm。在图示位置时,OA 杆的角速度ω瞬时滑块B 的速度。
解:
由题意分析可知,AB 杆为平面运动,A 点和B 点的速度方向如图所示, 利用速度瞬心法,C 点为速度瞬心。由几何关系可知AC=AB=20cm
=2rad /s , φ=300,θ=600。求该
v A =ω⋅OA =2⨯0. 3=0. 6m /s
v A 0. 6ωAB ===3rad /s
AC 0. 2
v B =ωAB ⋅BC =3⨯2AB ⨯cos 300=3⨯2⨯0. 2⨯
动力学
1、 均质圆柱C 质量为M ,半径为R ,无初速的放在倾角为θ 的斜面上,不计滚动阻力,求其中心C 点的加速度和圆柱的角加速
度。
解:取系统为研究对象,假设圆盘中心向下产生位移s 时速度达到v c 。
232=m /s 25
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T =3mv 2
2C
4
力的功:
W 12=mgs sin ϕ
32
mv C -0=mgs sin ϕ4
由动能定理得: 解得:
2a =g sin ϕ
3
α=
2g
sin θ2、质量为 m = 长为 2l = 的均质杆OA 绕水平固定轴O 在铅垂面内转动,如图。已知在图示位置杆的角速度为ω ,角加速度为a ,试求此时杆在O 轴的约束反力。
解:用动量定理。
以杆为研究对象,受力如图,建立如图坐标。
p x =-ml ωsin ϕp y =-ml ωcos ϕ
d p y d p (e)x =∑F x , =∑F y (e)d t d t
-ml (αsin ϕ+ω2cos ϕ) =F Ox
-ml (αcos ϕ-ω2sin ϕ) =F Oy -mg
F Ox =-ml (αsin ϕ+ω2cos ϕ) F Oy =mg -ml (αcos ϕ-ω2sin ϕ)
3、高炉运送矿石用的卷场机如图所示,已知鼓轮的半径为R ,质量为m
1,轮绕O 轴转动。小车和矿石总质量为m 2,作用在鼓轮上
的力偶矩为M ,鼓轮对转轴的转动惯量为J O ,轨道的倾角为θ。设绳的质量和各处摩擦均忽略不计,求小车的加速度a 。
解 视小车为质点,取小车与鼓轮组成质点系。以顺时针为正,此质点系对O 轴的动量矩为
L O =J O ω+m 2vR
作用于质点系的外力除力偶M ,重力P1和P2外,尚有轴承O 的反力Fox 和Foy ,轨道对车的约束力FN 。其中P1,Fox ,Foy 对O 轴力矩为零。将P2沿轨道有其垂直方向分解为P τ和P n ,P n 与F N 相抵消,而P τ=P 2sin θ=m 2g sin θ,则系统外力对O 轴的矩为
M (e )=M -m 2
g sin θ⋅R
由质点系对O 轴的动量矩定理,有
d
[J O ω+m 2vR ]=M -m 2g sin θ⋅R d t
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ω=
因
v d v
, =a R d t ,于是解得
MR -m 2gR 2sin θ
a =
J O +m 2R 2
若M >m 2gR sin θ,则a >0,小车的加速度沿斜坡向上。
4、图示一长为L ,重为P 的均质杆OA 被绳与铰O 固定于水平位置,在绳被剪断时,杆的角加速度α=取整体研究,受力分析如图 应用质心运动定理
5、 图示机构在铅直面内,均质杆AB 长L ,重2P ,B 轮重P ,半径为r ,可视为均质圆盘,在水平面内作纯滚动。滑套A 重P/2 可在固定的光滑杆CD 上滑动。初瞬时,θ
=60,系统静止。求当θ=0时AB 杆的角速度 取系统研究,滑块A做平动,杆AB,轮B做平面运动 初瞬时系统静止,则有
3g
,求该瞬时轴O 的反力。 2L
l 2
m ⨯ω=0=F Ox
2l
m ⨯α=m g -F Oy
2
F Ox =0
l m g
F Oy =m g -m ⨯α=
24
T 1=0T
2=
1P 2112P 2272
v A +L ω
AB =PL 2ωAB
22g 23g 12g
v A =AB ∙ωAB =L ωAB
∑W =
P 3L +2P L =PL
2244
T 2-T 1=∑W 733 22
PL ωAB =PL 124
解得ωAB =
6、 图示结构在水平面内,均质杆AB 重P ,长2a (OA=OB= a),在AB 杆上作用有不变偶矩M ,均质杆AC 重Q ,长2 a,
93
g 7L
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摩擦及滑块重不计。开始时在图示位置AB 角速度为零。求转过90时AB 杆的角速度。
T 1=0
1122
T 2=J AB ωAB +J C ωAC
221111Q 2P 22=⨯(2a ) ⋅ωAB +⨯(2a ) 2ωAC
212g 23g P +Q 22=a ⋅ωAB
6g
(ωAB ⋅OA =ωAC ⋅AC ωAB =2ωAC )
∑W =M ⋅
π
2
P +Q 22π
a ωAB =M ⋅6g 2
T 2-T 1=∑W
ωAB =
6M πg
2(P +Q ) a 2
7、水平均质细杆质量为m ,长为l ,C 为杆的质心。杆A 处为光滑铰支座,B 端为一挂钩,如图所示。如B 端突然脱落,杆转到铅垂位置时。问b 值多大能使杆有最大角速度?(10分)
12
mgb =J
ω解: A
2
mgb =
11
(ml 2+mb 2) ω2 212
(1)
l 2
2gb =(+b 2) ω2
12
2
上式两边对b 求导,得2g =2ωb ,ω=
2
g b
代入(1),得
mgb =
11g
(ml 2+mb 2) 212b
l 2b =3l b =,
612
2
8、均质实心圆柱体A 和薄铁环B 的质量均为m ,半径都等于r ,两者用杆AB 铰接,无滑动地沿斜面滚下,斜面与水平面的夹角为θ,如图所示如杆的质量忽略不计,求杆AB 的加速度和杆的内力。
分别取圆柱A 和薄铁环B 为研究对象,其受力分析如图(a )、(b )所示,A 和B 均作平面运动,杆AB 作平动,由题意知
αA =αB =α, a A =a B =a , F T =F T '。
对圆柱A 有
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F 1
ma =mg sin θ-F T -F 1 (1) F 1r =J A α (2)
F T
对薄铁环B 有
ma =T '+mg sin θ-F 2 (3) F 2r =J B α (4)
=
联立求解式(1)、(2)、(3)、(4),并将J A
m 2
r , J B =mr 2, F T =F T ',以及根据只滚不滑条件得到的a = αr 代入, 2
解得
F T =F T '=
a =
1
mg sin θ7
(压力)及
4
g sin θ 7
9、图示均质圆柱体的质量为m ,半径为r ,放在倾角为60︒的斜面上。一细绳缠绕在圆柱体上,其一端固定于点A ,此绳与A 相连部分与斜面平行。若圆柱体与斜面间的摩擦系数为f =
1
,试求其中心沿斜面落下的加速度a C 。 3
解:取均质圆柱为研究对象,其受力如图(a )所示,圆柱作平面运动,则其平面运动微分方程为
J α=(F T -F ) r (1) 0=F N -mg cos 60︒
(2) ma C =mg sin 60︒-F T -F (3)
而
F = fFN
(4)
F T
圆柱沿斜面向下滑动,可看作沿AD 绳向下滚动,且只滚不滑,所以有 a C =αr
1
把上式及f =代入式(3)、(4)解方程(1)至(4),得
3
a C = 0.355g
(方向沿斜面向下)
F N
F
10、平面机构由两匀质杆AB 、BO 组成,两杆的质量均为m ,长度均为l 在铅垂平面内运动。在杆AB 上作用一不变的力偶矩M ,从图示位置由静止开始运动。不计摩擦,试求当滚A 即将碰到铰支座O 时A 端的速度。 解:OB 杆定轴转动;AB 杆平面运动。 解:OB 杆定轴转动;AB 杆平面运动。
ωAB =ωO B =ω(转向如图a )
v B =l ω
以B 为基点
v A =v B +v AB , v AB =l ω
当A 碰O 时,∠ABO =0, v AB //v B
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v A =2v B =2l ω
l
(1-c o s θ) 2
W 12=M θ-2⋅mg 由动能定理:
T 1=0
1211
T 2=T AB +T OB =m v C +J C ω2+J O ω2
222
131111412=m (l ω) 2+m l 2ω2+⋅m l 2⋅ω2=m l 2
ω2=m v A 222122333
由
T 2-T 1=W 12
12
得 mv A =M θ-mgl (1-cos θ) 3
v A =
3
[M θ-
mgl (1-
cos θ)] m
11、圆轮A 的质量为m 1,沿倾角为θ的斜面向下滚动而不滑动,如图所示。其质心连接绳索,并跨过滑轮B 提升质量为m 2的重物C ,滑轮B 绕轴O 转动。设圆轮A 和滑轮B 的质量相同,半径相同,且为均质圆盘。试求圆轮A 的质心加速度和系在圆盘上绳索的拉力。
解:如图(a ),设滚子半径为R ,该系统的动能为 T =
1311122
⋅m 1R 2ωA +⋅m 1R 2ωO +m 2v 2 22222
1
⋅(2m 1+m 2) v 2 2
2
将R ωA =R ωO =v 代入,得 T =该系统所有力的功率为
1
∑P =(m g sin θ-m g ) v
由功率方程
m sin θ-m 2dT
=∑P ,解得 a =1g dt 2m 1+m 2
在研究轮A 如图(b )有方程
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1
m 1R 2∙α=F S R 2
m 1a =m 1g sin θ-F S -F
3m 1m 2+(2m 1m 2+m 12) sin θ
注意R α=a ,解得 F =g
2(2m 1+m 2)
12、如图所示,一不变力偶矩M 作用在绞车的鼓轮上,鼓轮的半径为r ,鼓轮的质量为m 1。绕在鼓轮上绳索的另一端系一质量为m 2
的重物,此重物沿倾角为α的斜面上升。设初始系统静止,斜面与重物间的摩擦系数为f 。试求绞车转过ϕ后的角速度。
解:该系统初始动能为零;设在鼓轮转过ϕ角时角速度为ω,有
111
(∙m 1r 2ω2+m 2v 2) -0
2 22
=M ϕ-m 2g ∙r ϕsin θ-fm 2g ∙r ϕcos θ
式中v =r ω解得 ω=
(a )
2[M ϕ-m
2gr
(sinθ+f cos θ)]
ϕ (b )
r m 1+2m 2
=ω 将式(a )或式(b )对时间求一阶导数,注意ϕ
2[M -m 2gr (sinθ+f cos θ)]
解得:α=
r 2(m 1+2m 2)
13如图,鼓轮在常力偶M 的作用下将圆柱上拉。已知鼓轮的半径为R 1,质量为m 1,质量分布在轮缘上;圆柱的半径为R 2,质量为m 2,质量均匀分布。设斜坡的倾角为α,圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动,求圆柱中心C 经过路程S 时的速度。 解:以系统为研究对象,受力如图。 系统在运动过程中所有力所作的功为
系统在初始及终了两状态的动能分别为 其中
s
∑W 12=M -m 2g sin α⋅s
R 1
T 1=0
T 2=
11122I 1ω12+m 2v C +I C ω2222
I 1=m R
2
11
I C =
12m 2R 22
ω1=
v C R 1
ω2=
v C R 2
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2
v C
T 2=(2m 1+3m 2)
4
T 2-T 1=∑W 12
解之得
14、图示两带轮的半径为R 1和R 2,其质量各为m 1和m 2,两轮以胶带相连接,各绕两平行的固定轴转动。如在第一个带轮上作用矩为M 的主动力偶,在第二个带轮上作用矩为M '的阻力偶。带轮可视为均质圆盘,胶带与轮间无滑动,胶带质量略去不计。求第一个带轮的角加速度。
解:分别取两皮带轮为研究对象,其受力分析如图所示,其中T 1=T 1, T 2=T 2。以顺时针转向为正,分别应用两轮对其转动轴的转动微分方程有
2
v C s
(2m 1+3m 2) -0=M -m 2g sin α⋅s 4R 1
v C =2
(M -m 2gR 1sin α) s
R 1(2m 1+3m 2)
''
J 1α1
=M -(T 1-T 2) R 1 (1)
''
J 2α2=(T 1-T 2) R 2-M ' (2)
将 T 1=T 1, T 2=T 2, α1:α2=R 2:R
1
''
M -
代入式(1)、(2),联立解得
α1=
R 1
M 'R 2
R 1R 2
22
J 1+J 2
m 12m 2
R 1,J 2=2R 2 22
式中
J 1=
α1=
2(R 2M -R 1M ')
2
(m 1+m 2) R 2R 1
15、高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R ,质量为m 1,绕O 轴转动。小车和矿石的总质量为m 2。作用在鼓轮上的力偶矩为M ,鼓轮对转轴的转动惯量为J ,轨道倾角为 α 。设绳质量和各处摩擦不计,求小车的加速度a 。 解:以系统为研究对象,受力如图。以顺时针为正,则
L O =J ω+m 2vR
∑M O (F (e)) =M -m 2g sin αR
d
L O =∑m O (F i (e)) d t
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于是解得
d
(J ω+m 2vR ) =M -m 2g sin αR d t
,
ω=
v d v , =a R d t
MR -m 2gR 2sin αa =
J +
m 2R 2
16、在对称连杆的A 点,作用一铅垂方向的常力F ,开始时系统静止如图。求连杆OA 运动到水平位置时的角速度。设连杆长均为L ,质量均为m ,均质圆盘质量为m 1,且作纯滚动。 解:分析系统,初瞬时的动能为
设连杆OA 运动到水平位置时的角速度为w ,由于OA =AB ,所以杆AB 的角速度也为w , 且此时B 端为杆AB 的速度瞬心,因此轮B 的角速度为零,vB=0。系统此时的动能为
112
T 2=I O ω+I B ω2
22
[1**********]=(ml ) ω+
(ml ) ω=ml ω23233
系统受力如图所示,在运动过程中所有的力所作的功为
l
∑W 12=2(mg sin α) +Fl sin α
2
=(mg +F ) l sin α
T -T
1=∑W 12 2
12
ml ω-0=(mg +F ) l sin α3
2
ω=
17、物块A 和B 的质量分别为m 1、m 2,且 m 1>m 2 ,分别系在绳索的两端,绳跨过一定滑轮,如图。滑轮的质量为m ,并可看成是半径为r 的均质圆盘。假设不计绳的质量和轴承摩擦,绳与滑轮之间无相对滑动,试求物块A 的加速度和轴承O 的约束反力。
解:
分别以物块A 、B 和滑轮为研究对象,受力如图。分别由质心运动定理和定轴转动的微分方程,得
m 1a =m 1g -F A m 2a =F B -m 2g mr 2⋅α=(F '-F ') r
A B
0=F Ox
(1)(2)
A
A
a 1g
(3)
(4)
B
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注意到
'-F B '-mg 0=F Oy -F A
(5)
a
B B
a =r α
2g
由以上方程联立求解得
2(m 1-m 2)
a =g m +2(m 1+m 2)
F Ox =0
2(m 1-m 2)
g
m +2(m 1+m 2)
2
F Oy =(m +m 1+m 2) g -
18、图示均质圆柱形磙重为P ,被绳子拉住沿水平面做纯滚动,此绳绕过不计质量的定滑轮O 系于重物B ,物体B 重为Q ,不计细绳和定滑轮O 的质量及摩擦,求磙子中心的加速度。 取整体分析,初瞬时动能为T 1=0 当重物B下降时动能
1Q 21P 21v 22Q +3P
2T 2=v +v +J C (2) =v
2g 2g 24g r
1P 2
J C =r
2g
∑W =Q ⋅S
根据T 2-T 1=
∑W
2
Q +3P 2
v =Q ⋅S
两边求导得
4g
a =
Q
g
2Q +3P