二次函数的图像与性质
专题 二次函数的图像与性质(二)
【知识梳理】
知识点一:二次函数解析式的求法 1.二次函数解析式的求法:
(1)若给出抛物线上三点,通常可设一般式:________(a≠0) .
(2)若给定抛物线的顶点坐标或对称轴与最值,通常可设顶点式:________(a ≠0),其中点(h ,k )为顶点,对称轴为直线x =h .
(3)若给出抛物线与x 轴的两个交点(x1,0) 、(x 2,0) 及其他一个条件,通常可设交点式:_______(a ≠0) .其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标. 知识点二:二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y=ax2 +bx+c与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的根。 抛物线y=ax2 +bx+c,当y=0时,抛物线便转化为一元二次方程ax 2 +bx+c=0
1.当b 2-4ac>0时,方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个不相等的实数根,则二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有_______交点.
2.当b 2-4ac =0时,方程ax 2+bx +c =0(a≠0)有两个相等的实数根,则二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有_______交点.
3.当b 2-4ac -
①、使得二次函数y =ax +bx +c 的函数值y
2
ax 2+bx +c
的函数值y
②、用图像法求一元二次不等式ax +bx +c 0, b 2-4ac >0(例子)的解集步骤:
2
()
a 、设:设y =ax 2+bx +c ,则求ax 2+bx +c
值y
b 、作:根据五点作图法,作出一次函数y =ax 2+bx +c 的图像 c 、求:求出二次函数与x 轴的交点坐标
d 、解:根据直角坐标系特点,x 轴上方,y >0恒成立;反之,x 轴下方,y
故求ax +bx +c
2
【考点例析】
考点一 二次函数的各项系数与图象之间的关系
例1 已知二次函数y =ax 2+bx +c =0(a≠0)的图象如图所示,现有下列结论:①abc>0;②b 2-4ac
A .①③
提示 抛物线y =ax 2+bx +c(a≠0)与a 、b 、c 及其代数式的关系:a>0,开口向上;a
B .③④
C .②③
D .①④
b
,当2a
a ,b 同号时,对称轴在y 轴的左侧;当a 、b 异号时,对称轴在y 轴的右侧,抛物线与y 轴的交点为(0,c) ,c>0,与y 轴正半轴相交;c
跟踪练习
1、(2014·南充)二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)图象如图所示,下列结论:①abc >0;②2a +b =0;③当m ≠1时,
2
+bx 1=a +b >am 2+bm ;④a -b +c >0;⑤若ax 1
2
ax 2+bx 2,且x 1≠x 2,则x 1+x 2=2.其中正确的有( )
A .①②③ B .②④ C .②⑤ D .②③⑤
2、(2014年山东泰安,第20题3分)二次函数y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 为常数,且a ≠0)中的x 与y 的部分对应值如下表:
下列结论: (1)ac <0;
(2)当x >1时,y 的值随x 值的增大而减小. (3)3是方程ax 2+(b ﹣1)x +c =0的一个根; (4)当﹣1<x <3时,ax 2+(b ﹣1)x +c >0. 其中正确的个数为( ) A .4个
B . 3个
C . 2个
D . 1个
3、 (孝感)抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为D (-1, 2),与x 轴的一个交点A 在点(-3, 0)\和(-2, 0)之间,其部分图象如图所示,则以下结论:①b 2-4ac
A .1个 B .2个
2
C .3个 D .4个
4、函数y =x +bx +c 与y =x 的图象如图所示,有以下结论: ①b -4c >0;②b +c +1=0;③3b +c +6=0;
2
④当1
2
其中正确的个数是:( ) A .1 B.2 C .3 D.4
考点二 求二次函数的解析式
例2 (1)任选以下三个条件中的一个,求二次函数y =ax 2+bx +c 的解析式. ①y 随x 变化的部分数值规律如下表:
②有序数对(-1,0) 、(1,4) 、(3,0) 满足y =ax 2+bx +c ; ③已知函数y =ax 2+bx +c 的图象的一部分(如图).
(2)直接写出(1)中二次函数y =ax 2+bx +c 的三个性质.
提示 (1)利用待定系数法得到有关a 、b 、c 的方程组,从而得到该函数的解析式;(2)结合二次函数解析式可写出相应的性质.
跟踪练习
1、【湖南省永州市】抛物线y=ax+bx+c(a≠0)与x 轴交于A (﹣1,0),B (4,0)两点,与y 轴交于点C (0,2),求抛物线的解析式,并写出其顶点坐标。
2、【湖南省湘西州】抛物线y=ax+bx+c关于y 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,点B (2,-
3、设抛物线y =ax +bx +c(a≠0) 过A(0,2) ,B(4,3) ,C 三点,其中点C 在直线x =2上,且点C 到抛物线对称轴的距离等于1,求抛物线的函数解析式。
4、【山东省淄博市】如图,二次函数y=x+bx+c的图象过点B (0,﹣2).它与反比例函数y=﹣的图象交于点A (m ,4),则这个二次函数的解析式为( )
2
2
22
4
)和点C (-3,-3)两点均在抛物线上,求抛物线的解析式和线段BC 的解析式. 3
A .y=x﹣x ﹣2 B .y=x﹣x+2 C .y=x+x﹣2
222
D .y=x+x+2
2
考点三 利用图象求一元二次方程的解
例3二次函数y =ax 2+bx 的图象如图,若一元二次方程ax 2+bx +m =0有实数根.则m 的最大值为 ( )
A .-3
B .3
C .-6
D .9
提示 方法一:由ax 2+bx -m =0得ax 2+bx =-m ,一元二次方程
ax +bx +m =0有实数根,得函数y =ax 2+bx 与函数y =-m 有交点,所以-m ≥-3,m ≤3,从而求出m 的最大值.方法二:因为一元二次方程ax 2+bx +m =0有实数根,所以b 2
0-b 2
-4am ≥0.由y =ax +bx 的图象可得顶点的纵坐标,故=-3,即b 2=12a ,所以12a
4a
2
-4am ≥0,解得m ≤3.从而求出m 的最大值.
跟踪练习
1、【广西柳州市】小兰画了一个函数y=x+ax+b的图象如图,则关于x 的方程x +ax+b=0的解是( ) A . 无解
2、已知二次函数y=-x 2+2x+m的部分图象如图所示,则关于x 的一
2
元二次方程-x +2x +m =0的解为
2
2
B.x=1 C.x=-4 D.x=-1或x=4
考点四 二次函数图象与坐标轴的交点讨论
例4抛物线y =-3x 2-x +4与坐标轴的交点的个数是 ( )
B .2
C .1
D .0
A .3
提示 令-3x 2-x +4=0,根据b 2-4ac 与0的比较得到与x 轴的交点个数,再令x =0得到与y 轴的交点个数.
跟踪练习
1. 【黑龙江大庆市】关于x 的函数y=(m ﹣
1
)x ﹣(2m+2)x+2的图象与x 轴只有一个公共点,求m 的值.
2
2
2. (南京)(8分)已知二次函数y =x 2-2mx +m 2+3(m 是常数) (1)求证:不论m 为何值,该函数的图像与 x 轴没有公共点;
(2)把该函数的图像沿x 轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图像与x 轴只有一个公共点?
3. (孝感)(本题满分10分)已知关于x 的方程x 2-(2k -3)x +k 2+1=0有两个不相等的实数根x 1、x 2.
(1)求k 的取值范围;(3分) (2)试说明x 1
(3)若抛物线y =x 2-(2k -3)x +k 2+1与x 轴交于A 、B 两点,点A 、点B 到原点的距离分别为OA 、OB ,且OA +OB =2OA ⋅OB -3,求k 的值.(4分)
考点五 二次函数图象与不等式的关系
例5如图是二次函数y =ax 2+bx +c 的部分图象,由图象可知不等式ax 2+bx +c
)
A .-1
B .x>5
D . x5
C . x5
提示 因为二次函数y =ax 2+bx +c 的图象是一条抛物线,其对称轴为直线x =2,所以该抛物线与x 轴的两交点关于直线x =2对称,已知一交点为(5,0) ,且与直线x =2的距离为3,所以另一交点在对称轴左侧,与直线x =2的距离也为3,因此另一交点为(-1,0).
跟踪练习
1. (金华)如图是二次函数y =-x 2+2x +4的图象,使y ≤1成立的x 的取值范围是( )。
A .-1≤x ≤3 B .x ≤-1 C .x ≥1 D .x ≤-1或x ≥3
2、(2014年天津市,第12 题3分) 已知二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)的图象如图11-8,且关于x 的一元二次方程ax +bx +c ﹣m =0有实数根,有下列结论:①b ﹣4ac >0;②abc <0;③m >2. 其中,正确结论的个数是( )
A . 0 B .1
C .2 D .3
2
2
2
2
3、(2014•济南)二次函数y=x+bx的图象如图,对称轴为直线x=1,若关于x 的一元二次方程x +bx-t=0(t 为实数)在-1<x <4的范围内有解,则t 的取值范围是( ) A .t ≥-1 D .3<t <8
B.-1≤t <3
C.-1≤t <8
2
【课时作业】
1.已知抛物线y =x 2-x -1,与x 轴的一个交点为(m,0) ,则代数式m 2-m +2011的值为 ( )
B .2012
C .2011
D .2010
A .2009
2.二次函数y =a(x+m) 2+n 的图象如图,则一次函数y =mx +n 的图象经过 ( ) A .第一、二、三象限 C .第二、三、四象限
B .第一、二、四象限 D .第一、三、四象限
3.已知二次函数y =ax 2+bx +c(a≠0) 的图象如图所示,对称轴为直线x =-中,正确的是 ( ) A .abc>0 C .2b +c>0
B .a +b =0 D .4a +c
1
,下列结论2
4. 已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如下图所示,且关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c -m =0没有实数根,有下列结论:①
b 2-4ac >0;②abc
其中,正确结论的个数是( )
(A )0
(B )1
(C )2
(D )3
5.若抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点是A(2,1) ,且经过点B(1,0) ,则抛物线的函数关系式为_______.
6. (扬州)如图,抛物线y =ax 2+bx +c(a>0) 的对称轴是过点(1,0)且平行于y 轴的直线,若点P(4,0) 在抛物线上,则4a -2b +c 的值_____.
7.如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形OA BC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,二次函数y =-象经过B 、C 两点.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)结合函数的图象探索:当y>0时x 的取值范围.
8.如图,点A 在x 轴上,OA =4,将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置. (1)求点B 的坐标;
(2)求经过点A 、O 、B 的抛物线的解析式;
(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P ,使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
22
x +bx +c 的图3