圆的经典难题
【例10】 在等腰∆A B C 中，A B =B C ，BH 是高，点M 是边AB 的中点，而经过点B ，M
于C 的圆同BH 的交点是K ，求证BK =
32R
，其中R 是∆A B C 的外接圆半径．
N
B
O
M K
H
C
【解析】 设过点M ，B ，C 的圆的圆心是O ，∆A B C 的外接圆为 O 1，半径为R ，B M 的中
A
点是N ，
连接OB ，ON ，OO 1，O 1M ，OK ，O 1C ，O N 与BH 交于L ． ∵O 1M ⊥AB ，O N ⊥BM ，BN =M N ∴BL =LO 1=
12O 1B =
12R
，
∵OO 1⊥BC ，∴∠OO 1B +∠O 1BC =90︒ ∵∠OLO 1+∠O 1BN =∠BLN +∠O 1BN =90︒，∠O 1BC =∠O 1BN ， ∴∠OO 1B =∠OLO 1，
又OB =OK ，∠OBO 1=∠OKL ，
∴∆OBO 1≌∆OLK ，∴BO 1=LK =R ，从而得知，O 1K =BL =故BK =
32R
12R
．
【例11】 如图，不等边∆A B C 内接于⊙O ，I 是其内心，且AI ⊥O I ，求证：AB +AC =2BC ．
【解析】 解法一：过I 点分别作AB 、BC 、
C A ID 、IE 、IF ，垂足分别为D 、E 、F ，
再过O 点作OP ⊥AB ，OQ ⊥AC ，垂足分别为P 、Q
，连结IP 、IQ ．
∵I 是∆A B C 内切圆圆心，
D 、E 、F 是内切圆与三角形三边的切点， ∴
ID =IE =IF ，∴AD =AF ，BD =BE ，CE =CF ，
O 是∆A B C 外接圆圆心，∴∵P 、Q 分别是A B 、A C 的中点，
即BP =AB +
1
121
AB ，CQ =
12
AC
，
AC =BP +CQ =BD +DP +CF -FQ 22
=BE +CE +DP -FQ =BC +DP -FQ ，
∵∠APO =∠AQO =90︒，
∴A 、P 、O 、Q 四点共圆，且A O 为该圆直径，
AI ⊥O I ，∴∠AIO =90︒， ∵
∴I 点在A 、P 、O 、Q 四点确定的圆上，
即A 、P 、I 、O 、Q 五点共圆，∴∠IPO =∠IQO ，
又ID ∥OP ，IF ∥OQ ，∴∠DIP =∠IPO ，∠FIQ =∠IQO ， ∴∠DIP =∠FIQ ，∴∆IPD ≌∆IQF ，∴DP =FQ ， AB +
21
12
AC =BC
，∴AB +AC =2BC ．
解法二：过I 点分别作AB 、BC 、C A 的垂线ID 、IE 、IF ，垂足分别为D 、E 、F ，
延长A I 交⊙O 于G ，连结O G 、BG 、BI ． ∵I 是∆A B C 内切圆圆心， ∴D 、E 、F 是内切圆与三角形三边的切点， ID =IE =IF ，∴AD =AF ，BD =BE ，CE =CF ，
∴AB +AC -BC =AB +BD +AF +C F -BE -C E =AD +AF =2AD ，
的中点， 又∵G 是BC A I 平分∠BAC ，∴
∴O G ⊥BC ，∠BAG =∠C BG ， ∴H 是BC 中点，即BC =2BH ，
A I =IG ， O I ⊥AG ，∴∵
∵∠GBI =∠GBC +∠IBC ，∠BIG =∠ABI +∠BAI ， 且∠ABI =∠IBC ，∠CBG =∠BAG ，
∠G BI =∠IBG ，∴BG =IG =AI ， ∴
∆ADI ≌∆BHG (AAS )，∴∴AD =BH ，
2AD =BC ，∴AB +AC -BC =BC ，即AB +AC =2BC ． ∴