正弦定理与余弦定理的证明
一、正弦定理的几种证明方法 1.利用三角形的高证明正弦定理 (1)当ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据锐角三角函数的定义,
C
有CDasinB,CDbsinA。 由此,得
a
sinA
a
sinA
b
sinB,
同理可得
c
sinC
b
sinB
,A
D
B
b 故有
b
sinB
c
sinC.从而这个结论在锐角三角形中成立.
(2)当ABC是钝角三角形时,过点C作AB边上的高,交AB的延长线于点D,根据锐角三角函数的定义,有CDasinCBDasinABC,CDbsinA 。由此,得
a
sin
b
sin,
同理可得
c
sinC.
c
sin
b
sin
a
故有
a
sinA
b
sinABC
由(1)(2)可知,在ABC中,
a
sinA
b
sinB
c
sinC
B D
成立.
从而得到:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等,即
a
sinA
b
sinB
c
sinC.
2.利用三角形面积证明正弦定理
已知△ABC,设BC=a, CA=b,AB=c,作AD⊥BC,垂足为D.则Rt△ADB
ADA 中,sinB ,∴AD=AB·sinB=csinB. AB
1111
∴S△ABC=aADacsinB.同理,可证 S△ABC=absinCbcsinA.
2222111C ∴ S△ABC=absinCbcsinAacsinB.∴absinc=bcsinA=acsinB, D 222
sinCsinAsinBabc
在等式两端同除以ABC,可得.即. cabsinAsinBsinC
3.向量法证明正弦定理
(1)△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于,则j与
B
的夹角为
,
90°-A,j与的夹角为90°-C.由向量的加法原则可得
为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量
j的数量积运算,得到j()j 由分配律可得∴|j|
jj.
Cos90°+|jCos(90°-C)=|jCos(90°-A). j
ac
. C sinAsinC
∴asinC=csinA.∴
另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90°+C,j与的夹角为90°+B,可得
cb
. sinCsinB
(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与为90°-C,j与
的夹角
的夹角为90°-B)∴
abc
. sinAsinBsinC
(2)△ABC为钝角三角形,不妨设A>90°,过点A作与与
垂直的单位向量j,则j
的夹角为A-90°,j与的夹角为90°-C.
A
由,得j·+j·=j·, jac
sinAsinC
即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90°),∴asinC=csinA.∴另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与角为90°+B.同理,可得4.外接圆证明正弦定理
B
的夹角为90°+C,j与夹
abcbc
.∴ sinBsinCsimAsinBsinC
在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接圆,O为圆心,
连结BO并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所
对的圆周角相等可以得到
cc
2R. ∠BAB′=90°,∠C =∠B′,∴sinC=sinB′=sinCsinB.∴
2RsinC
ababc
2R,2R.∴2R. 同理,可得
sinAsinBsinAsinBsinC
这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式
abc
. sinAsinBsinC
法一(平面几何):在△ABC中,已知ACb,BCa,及C,求c。
过A作ADBC于D,是AD=ACsinCBCsinC,
CDACcosbcosc,
在RtABD中,AB2AD2BD2(bsinc)2(abcosc)2a2b22abcosc,
法二(平面向量):
222ABAB(ACBC)(ACBC)AC2ACBCBCAC2|AC||BC| 2
cos(180B)BCb22abcosBa2,即:c2a2b22abcosc
法三(解析几何):把顶点C置于原点,CA落在x轴的正半轴上,由于
△ABC的AC=b,CB=a,AB=c,则A,B,C点的坐标分别为A(b,0),B(acosC,asinC),C(0,0).
|AB|2=(acosC-b)2+(asinC-0)2 =a2cos2C-2abcosC+b2+a2sin2C =a2+b2-2abcosC, 即c2=a2+b2-2abcosC.
.
法五(用相交弦定理证明余弦定理):
如图,在三角形ABC中,∠A=α,AB=a,BC=b,AC=c。现在以B为圆心,以长边AB为半径做圆,这里要用长边的道理在于,这样能保证C点在圆内。BC的延长线交圆B于点D和
E
这样以来,DC=a-b,CE=a+b,AC=c。因为AG=2acosα,所以CG=2acosα-c。根据相交弦定理有:
DC×CE=AC×CG,带入以后就是 (a-b)(a+b)=c(2acosα-c)
化简以后就得b=a+c+2accos
α。也就是我们的余弦定理。
如图,在
△
ABC中,AB=4 cm,AC=3 cm,角平分线AD=2 cm,求此三角形面积.
2
2
2
1
分析:由于题设条件中已知两边长,故而联想面积公式S△ABC= AB·AC·sinA,需求出
2
1A1
sinA,而△ABC面积可以转化为S△ADC+S△ADB,而S△ADC=AC·ADsin,S△ADB=
222AA
AB·AD·sin,因此通过S△ABC=S△ADC+S△ADB建立关于含有sinA,sin 的方程,而sinA=
22AAAA
2sincos,sin2 +cos=1,故sinA可求,从而三角形面积可求.
2222
解:在△ABC中,S△ABC=S△ADB+S△ADC, 11A1A∴ AB·ACsinA= ·AC·AD·sin +·AB·ADsin 2222211AA∴ ·4·3sinA·3·2sin ,∴6sinA=7sin 2222AAA∴12sincos =7sin
222
AA7Aπ
∵sin ≠0,∴= ,又0<A<π,∴0< <
221222A∴sin 2
95
1-cos2 ,
212
AA795
∴sinA=2sincos =
2272195
∴S△ABC=·4·3sinA=(cm2).
212
在△ABC中,AB=5,AC=3,D为BC中点,且AD=4,求BC边长. x
解:设BC边为x,则由D为BC中点,可得BD=DC=,
2x
42+( )2-52
2AD+BD-AB
在△ADB中,cosADB==
2AD·BDx
2×
2
2
2
2
x
42+()2-32
2AD+DC-AC
在△ADC中,cosADC==
2AD·DCx
2×
2
2
2
2
又∠ADB+∠ADC=180° ∴cosADB=cos(180°-∠ADC)=-cosADC. xx42+()2-5242+()2-32
22
∴=-
xx2× 2×22
解得,x=2
所以,BC边长为2.
2.在△ABC中,已知角B=45°,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,求AB. 解:在△ADC中,
AC2+DC2-AD272+32-5211
cosC= =
=
,
2AC·DC2×7×314
3
又0<C<180°,∴sinC=
14ACAB
在△ABC中, =
sinBsinC
sinC556
∴AB= AC··7=.
sinB142
35
3.在△ABC中,已知cosA,sinB=,求cosC的值.
51332
解:∵cosA<=cos45°,0<A<π
524
∴45°<A<90°,∴sinA=
551
∵sinB=< =sin30°,0<B<π
132∴0°<B<30°或150°<B<180° 若B>150°,则B+A>180°与题意不符. 12∴0°<B<30° cosB=
13
3124516
∴cos(A+B)=cosA·cosB-sinA·sinB=-· =
51351365又C=180°-(A+B).
16∴cosC=cos[180°-(A+B)]=-cos(A+B.
65