向量在代数中的应用
高中新教材引入了平面向量的内容并作为独立的章节来学习后,就成为今年高考的一个新内容,且平面向量在代数、解析几何、空间几何中应用都很广泛,因此可用向量作为载体来考查这些方面的知识,又因为向量在计算长度、角度,判断平行、垂直等方面都非常方便直观,因此向量又可作为一种解题的思想和方法。在此举例说明如下:
一、向量在初等代数中的应用
在初等代数中,往往要进行繁杂的计算,但是如果应用向量的有关知识和运算方法,就能化繁为简、化难为易,起到事半功倍的效果
1、利用向量的数量积解决有关不等式问题.
例1 证明柯西不等式(x 1+y 1) ⋅(x 2+y 2) ≥(x 1x 2+y 1y 2) 2
证明:令a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2) 2222
(1)当a =0或b =0时,a ⋅b =x 1x 2+y 1y 2=0,结论显然成立;
(2)当a ≠0且b ≠0时,令θ为a , b 的夹角,则θ∈[0, π]
a ⋅b =x 1x 2+y 1y 2=|a ||b |cos θ. 又 |cos θ|≤1
∴|a ⋅b |≤|a ||b |(当且仅当a //b 时等号成立) ∴|x 1x 2+y 1y 2|≤x 1+y 1⋅x 2+y 2
∴(x 1+y 1) ⋅(x 2+y 2) ≥(x 1x 2+y 1y 2) 2. (当且仅当22222222x 1x 2=时等号成立) y 1y 2
2、利用向量解决有关函数极值的问题.
例2. 设a 、b 、c ∈R +, 求函数y=x 2+a 2+(c -x ) 2+b 2的最小值。 解:构造向量=(x, a), =(c-x,b), 所以m +n =(c,a+b)
+,
+=c 2+(a +b ) 2, 所以y=x 2+a 2+(c -x ) 2+b 2
+=c 2+(a +b ) 2, 即y min =c 2+(a +b ) 2。
例3 求y =sin 2x +2sin x cos x +3cos 2x 的最值
解:原函数可变为y =2+sin 2x +cos 2x ,所以只须求y '=sin 2x +cos 2x 的最值即可,构造a ={sin 2x , cos 2x }, b ={1, 1},那么
sin 2x +cos 2x =≤=2. 故y m ax =2+2, y m in =2-2
向量作为一种数学工具,如能使用向量的有关知识和运算方法,可以避免繁杂的运算,降低计算量,不仅新颖,而且简单明了。让学生掌握好新教材中向量的知识和运算方法,对培养学生的解题能力和创新意识具有重要意义。