中考中的三角函数问题
中考中的三角函数问题
锐角三角函数是中学数学的重要内容之一,而锐角三角函数的概念及锐角三角函数值的求法又是这一章的基础,学好这部分知识对进一步学习锐角三角函数的应用具有至关重要的意义,现将中考中关于这部分的考题归纳如下: 一、确定特殊角的三角函数值
例1 (天津市)tan45°的值等于( ) A .
12
B
.
2
C
.
2
D .1
析解:本题可根据特殊角的三角函数值去解,tan45°=1,故选D . 二、求三角函数值
例2 (常州市)用计算器计算:sin35°≈______.(保留四位有效数字) 析解:本题求解只要依次按
、= 键再取近似值,即可求得sin35°≈0.5736.(注:不同的计算器按键顺序可能不同.)
例3 (福建省三明市)根据图1中信息,经过估算,下列数值与tan α的值最接近的是( )
A .0.3640
C .0.4590
B .0.8970 D .2.1785
析解:观察角α的边可知:它的一条边近似地经过点(7,3),根据三角函数的定义可得tan? 琢的值接近0.5,因四个选项中只有0.4590接近0.5,故选C . 三、由三角函数值求角
例
4 (余姚市)已知α是锐角,cos α
= A .30°
B .45°
2
2
,则α等于( )
C .60° D .90°
析解:根据cos α=可得,α等于30°,故选A .
四、利用特殊角的三角函数值计算 ⎛1⎫
例5
(内江市)计算: ⎪
⎝5⎭
-1
π⎫⎛
+16÷(-2) + 2005-⎪-
5⎭⎝
3
60.
析解:本题求解须弄清: ⎛1⎫ ⎪
⎝3⎭
-1
π⎫⎛
=3, 2005-⎪=1,tan 60=
3⎭
⎝
=-1.
则原式=3+(-2) +1- 五、求线段的长度
例6 (长春市)把两块相同的含30°角的三角尺如图2
放置,若AD =,求三
12
角尺各边的长.(参考数据:sin 30=
,cos 30
=
2
,tan 30
=
3
,sin 45
=
2
,
cos 45=
2
,tan 45 =1.)
析解:不妨设BC =x ,则AC =2x ,又因在△ABC 中
,
t a n ∠C AB =
t a n 3=0
BC AB
=
3
由此求得,AB =D B =,
再根据勾股定理可得,AD =,
=又因为AD =,
由此得,,解得x =6.则
三角尺的三边长分别为AC =12,BC =6
,AB =.
简析两道“航海问题”中考题
福建 周奕生
2005年的中考出现了许多富有创意和创新的题目,下面以考查直角三角形边角关系内容的两道“海上问题”为例说明之.
例1(荆州市)某海滨浴场的沿岸可以看作直线,如图所示,1号救生员在岸边的A点看到海中的B点有人求救,便立即向前跑300米到离B点最近的D点,再跳入海中游到B点救助;若每位救生员在岸上跑步的速度都是6米/秒,在水中游泳的速度都是2米/秒,∠BAD=45°.
(1)请问1号救生员的做法是否合理?
(2) 若2号救生员从A跑到C,再跳入海中游到B点救助,且∠BCD=65°,请问谁先到达点B?(所
有数据精确到0.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4
.4)
分析:(1)因为救助应在最短时间内完成,所以从直观性来看,如果救生员直接从点A入水,由于水中速度比岸上跑步慢,此做法显然是不合理的;而跑到点D入水,虽然充分利用岸上速度快的优点,但要多跑路程,花费时间多,因此,1号救生员的做法不合理;
(2)从收到求救信号后,1号救生员和2号救生员到达求救者身边需要的时间分别设为t 1和t 2,由已知,∠D=90°,BD=AD=300米,CD=BD÷tan65°≈150米,
BC=BD÷sin65°≈333.3米,从而AC=150
t 1=300÷6+300÷2=200(秒), t 2=150÷6+333.3÷2≈191.7(秒),
所以2号救生员先到达点B.
由此可见1号救生员的做法不合理.
请大家共同探索一下:救生员究竟跑多少米入水可以在最短时间内赶到点B? 例2 (山西省实验区)在某张航海图上,标明了三个观测点的坐标,O(0,0),B(6,0),C(6,8),由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区.
(1)求圆形区域的面积(л取3.14);
(2)某时刻海面上出现一渔船A,在观测点O测得A位于北偏东45°,同时在观测点B测得A位于北偏东30
°,求观测点B到渔船A的距离( 1.7,保留三个有效数字);
(3)当渔船A由(2)中的位置向正西方向航行时,是否会进入海洋生物保护区?通过计算回答.
分析:(1)求圆形区域面积的关键是求圆的半径.连结BC,AC,易知△ABC是直角三角形,AC=10,故圆的半径为5,面积为25л≈78.5;
(2)先确定渔船A的位置,分别根据观测点O、B所观测到的数据画出方向线,它们的交点就是A的位置.作AD垂直于x 轴于点D,设BD=x ,则AB=2x ,
x =OD,
由OB+BD=OD,得 6+x
,解得x =
3, 所以AB=2x =
6≈16.2;
(3)要知渔船是否会进入保护区,只须确定渔船行驶的航线是否会与圆相交?由(2)
=9+
14.1,这表明渔船行驶的航线是平行于x 轴,且与x 轴的距离约为14.1的直线y =14.1,而圆形在x 轴上方的最高点到x 轴的距离不足10,所以渔船不会进入保护区.
也可以这样说明:因为圆心为(3,4),到直线(渔船航线)y =14.1的距离为7.1,大于圆的半径5,所以直线y =14.1与圆相离,所以渔船不会进入保护区.
一道不错的中考题
福建 周奕生
2001年重庆市中考题中有这样一道有关台风问题:台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力.据气象观测,距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级.该台风中心正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动,且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级,
则称为受台风影响.(1)该城市是否会受到台风的影响?请说明理由;(2)若受到台风的影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?
分析及解:台风是生活在沿海地区的人们年年都会的遇到一大自然灾害,此题对我们进一步了解台风具有一定的积极意义,它让我们了解到台风的危害性以及如何掌握台风的动向,以便把台风所带来的灾害降低到最低程度.解这类问题的关键是通过构造数学模型,把问题转化为数学问题.
(1)要知道城市A是否会受到台风的影响?只须知道如图中,点A到台风中心所经过的路线BC的距离AD是否小于20×(120-4)=160(千米)?因此,作AD⊥BC于D,在RtΔABD中,∠B=30°,
∴AD=AB/2=110<160, 故该城市会受台风影响.
(2)由题意知,当点A距离台风中心≤160千米时,该城市就会受台风影响,设当台风中心到达点E时,AE=160千米,前往到达点F时,AF=160千米,这样,当台风中心到达点E时,城市A开始受台风影响,当台风中心移到点F时,城市A受台风影响结束.因此,要知道该城市受台风影响的时间,只须计算出台风中心从点E到点F所需的时间.
在Rt△ADE中,DE=∴EF=60,
2
110
2
=30,
故该城市受台风影响的时间为60÷15=4(小时);
(3)当城市A距离台风中心最近时所受的风力最大,因此,当台风中心在点D时,该城市所受的风力最大,最大风力为12-110÷20=6.5(级).
如下一题请同学们自行探索:
拖拉机行驶时发出的噪音会影响到周围100米处,在学校A正西方向,距离学校120米的B处有一辆拖拉机正沿北偏东30°的方向以每分钟100米的速度行驶,问学校是否会受到拖拉机噪音的影响?如果会,请计算将影响几秒钟?如果不会,请说明理由.