矩阵函数及其应用

第十六讲 矩阵函数

一、 矩阵函数的定义与性质 以矩阵为自变量的” 函数“ 如: eA, sinA, cosA 1，如何定义？

∝

121

①我们知道, e=1+z+z+"=∑zn

2!n=0n!

z

(-1)n

sin(z)=∑z2n+1

n=0(2n+1)!(-1)n2n

cos(z)=∑z

n=0(2n)!

∝

∝

均为整个复平面上收敛的级数（？，收敛半径）, 故对任何的方阵A

1nA ∑n=0n!(-1)n

A2n+1 ∑n=0(2n+1)!(-1)n2nA ∑n=0(2n)!

∝∝

∝

均收敛，那么我们将他们收敛到的矩阵分别称为矩阵指数函数、矩阵正弦函数、

矩阵余弦函数，记作e=∑

A

n=0

∝

∝

1n

A n!

(-1)n

A2n+1 sinA=∑

n=0(2n+1)!(-1)n2n

A。 cosA=∑n=0(2n)!

∝

∝

12

②我们知道，=1+z+z+"=∑zn

1−zn=0n∝z2z3n+1z ln(1+z)=z-+"=∑(-1)

n23n=1

，于是其对应的矩阵级数，当ρ(A)

∑A,∑(−1)

n

n=0

n=1

∝∝

n+1

An

收敛， n

那么将他们收敛到的矩阵记作(I−A)−1,ln(I+A)

由上面的①，②给出矩阵函数的定义：

且收敛到f(z);如果对于矩阵A∈Cn×n的谱半径设级数∑akzk的收敛半径为R，

k=0∝

ρ(A)

k=0

∞

2，性质

eiA=cosA+isinA 1

cosA=iA+e-iA)

2sinA=

1iA

-e-iA) 2i

cos(-A)=cosA sin(-A)=-sinA

一般来说eAeB, eBeA, eA+B三者互不相等. 例如

⎡11⎤⎡1-1⎤

⎥, 则 ⎥, B=⎢A=⎢

⎢⎣00⎥⎦⎢⎣00⎥⎦

⎡11⎤

⎥=A3=A4=" A=⎢

⎣⎢00⎦⎥⎡1-1⎤2

⎥=B3=B4=" B=⎢

⎣⎢00⎦⎥

2

⎡ee-1⎤1

⎥ e=I+(∑=I+(e-1)A=⎢

⎢⎣01⎥⎦n=1n!

∝⎡e1-e⎤1B

⎥ e=I+(∑=I+(e-1)B=⎢

⎢1⎥⎦n=1n!⎣0

A

∝

⎡e2

ee=⎢

⎢0⎣

A

B⎡e22e-e2-1⎤⎥BA

ee=⎢

⎢0⎥1⎣⎦e2-2e+1⎤⎥

⎥1⎦

可见eAeB≠eBeA

⎡20⎤⎡20⎤2

⎢⎥⎢⎥=2(A+B), (A+B)3=22(A+B)," , (A+B)=2A+B=

⎢⎣00⎥⎦⎢⎣00⎦⎥

∝⎡e20⎤1n-112A+B⎥ e=I+(∑2)(A+B)=I+-1)(A+B)=⎢

⎢⎥201n=1n!⎣⎦

所以, eA+B≠eAeB , eA+B≠eBeA 但是

[定理] 若AB=BA, 则eA+B=eAeB=eBeA [证明]:

eAeB=(I+A+

121

A+")(I+B+B2+") 2!2!

121

+2AB+B2)+3+3A2B+3AB2+B3)+" 2!3!11

+B)2++B)3+"=eA+B 2!3!

=I+(A+B)+=I+(A+B)+

(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2 (A+B)3="=A3+3A2B+3AB2+B3

同理, 有eBeA=eA+B. [推论1]

cos(A±B)=cosAcosB±sinAsinB⎫⎪⎪⎬←AB=BA sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB⎪⎪⎭

[推论2] eAe-A=e-AeA=e0=I, (eA)-1=e-A,(eA)m=emA,eA总存在逆阵

二、 矩阵函数的初步计算 1. Jordan标准形法

对于矩阵的多项式，我们曾导出f(A)=Pf(J)P-1，f：多项式

⎡f(J)

⎢1⎢⎢f(J)⎢2⎢

f(J)=⎢%⎢

⎢

%⎢

⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥f(Js)⎥⎥⎦

⎡⎢1′′⎢f(λ)f′(λ)f(λ)"iii⎢f(J)=i⎢%%⎢%⎢⎣

⎞⎟⎤⎟m-1⎟⎟⎥1⎟

fi⎠(λ)⎥

i⎥ m-1!⎥i⎥

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎥⎦

实际上，以上结果不仅对矩阵的多项式成立，对矩阵的幂级数也成立。由此引出矩阵函数的另一种定义及计算方法。 1).定义：设n阶矩阵A的Jordan标准形为J

⎡J

⎢1⎢⎢⎢J=⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎣

J2

⎡λ10⎤⎥⎤⎢i⎥⎢⎥⎥⎢⎥λ1⎥⎢⎥i⎥⎢⎥⎥⎢⎥ λ%⎥，J(λ)=%⎢⎥ii⎥⎢⎥⎥⎢%%1⎥⎥⎥⎢⎥⎢Js⎥⎦λ⎥⎥⎢0i⎦⎣

有非奇异矩阵P使得：P-1AP=J 对于函数f(z)，若下列函数

f(λ),f′(λ),(mi-1

)

ii...,f(λ)i (λ=1,

2,",s) 均有意义，则称矩阵函数f(A)有意义，且

⎡⎢f(J⎤⎢1)

⎥⎢f(J⎥⎥

f(A)=Pf(J)P-1=P⎢2)⎢⎥⎢%⎥-1 ⎢⎥P⎢%⎥⎢⎣

f(J⎥s)⎥⎦

⎡⎢⎢1⎛⎜⎜⎞⎜⎟⎜⎟⎤f(Ji)=⎢f(λ)⎢if′(λ)i1f′′(λ)i"⎢f⎝

mi-1⎟⎟⎟

⎠⎥m(λ)i-1!i⎥

⎥⎥2. 矩阵函

⎢%⎥

⎣

%%⎥⎦m×im

i

数的求法（步骤）：

1D

求出A的Jordan标准形及变换矩阵P，P-1

AP=J 2D 对于J的各Jordan块Ji求出f(Ji)，即计算出

f(λ),f′(λ),...(mi-1

)

ii,f(λ)i

并按照顺序构成f(Ji)，

⎡

⎢1⎛⎜⎜⎜⎜m-⎞⎟⎟⎤f(J⎢f(λ)f′(λi)=⎢i)1f′′(λ)"⎢ii⎢%mf⎝

i1⎟⎟⎟

⎠(λ⎥i-1!i)⎥

⎥⎥ ⎢%⎥⎣

%⎥⎦m×imi

⎡⎢f(J1)

⎤⎢⎥⎢⎥⎢f(J)⎥⎥ 3D

合成f(J)=⎢2⎢⎥⎢

⎥⎢

%⎥ ⎢

⎥⎢%⎥⎢⎢⎣f(J⎥s)⎥⎥⎦

4D 矩阵乘积给出f(A)=Pf(J)P

需要说明的是，计算结果与Jordan标准形中Jordan块的顺序无关。

⎡200⎤eA,eAt,sinA. 例，若 ，求

⎢⎥⎢A=111⎥⎢⎥⎢1−13⎥⎣⎦

-1

2.最小多项式法

设m(λ)为n阶矩阵A的最小多项式，若

f(λ)=q(λ)m(λ)+r(λ)

余式

则f(A)=r(A)。

注：前面讲过上式对矩阵多项式成立，对于矩阵函数也成立。 同样计算方法1中的例子： ⎡00−2⎤⎢⎥A=⎢010⎥

⎢⎥，计算eAt ⎢103⎥⎣⎦

例

三，矩阵函数的微分和积分

• 我们讨论的矩阵函数：A（t）=[aij（t）] m×n， • 分析性质包括连续微分积分等；

A（t）连续、可微分、可积分⇔每一个aij（t）连续、可微分、可积分。 •

limA(t)=[lima(t)]

t→t0

t→t0

ij

m×n

daij(t)dA(t)=[]m×ndtdt

bb

∫A(t)dt=[∫a(t)dt]

ij

a

a

m×n

四，矩阵函数的应用 1、微分方程组的一般形式 X ' （t）=A（t）X

f（t） X（t 0 ）=C。

⎧=0⎪⎪齐次：f（t）

求解： X ' （t）=AX（t） X（t 0 ）=C。 定理5、11 ： 上述方程组的解为： X（t）=e A（t – t 0） x（t0） 例：

⎡12⎤

⎥X(t)′{X(t)=⎢⎢

⎣43⎥⎦

⎡1⎤

X(0)=⎢⎥

⎢⎣2⎥⎦

3、一阶线性常系数非齐次微分方程组 求解： X ' （t）=AX（t）+f（t） X（t 0 ）=C。

定理5.14(P133) ：上述方程组的解为： X（t）=e A（t – t 0） x（t0）+ 例：

t

∫

t0

eA(t−s)f(s)ds

⎡12⎤⎡1⎤

⎥X(t)+⎢⎥{X′(t)=⎢⎢

⎢⎣−1⎥⎦⎣43⎥⎦

⎡1⎤

X(0)=⎢⎥

⎢⎣2⎥⎦

1，一阶线性其次常系数常微分方程组

⎧dx1⎪=a11x(t)+a12x2(t)+"+a1nxn(t)1⎪dt⎪⎪dx2⎪=a21x(t)+a22x2(t)+"+a2nxn(t)1 ⎨dt⎪⎪#⎪⎪⎪⎪dxn=an1x(t)+an2x2(t)+"+annxn(t)1⎩dt

xi=x(t)式中t是自变量，是t的一元函数(i=1,2,",n),aij(i,j=1,2,",n)i

是常系数。 令

⎡a11a12

⎢

⎢a21a22

T

x2(t),",xn(t)]，A=⎢ x(t)=[x(t),1

⎢##⎢⎢a

⎣n1an2

"a1n⎤

⎥

"a2n⎥

⎥

%#⎥⎥"ann⎥⎦

则原方程组变成常系数矩阵方程

其解为

A(t-t)更一般

x(t)=etAx(0)=etAc⎯⎯⎯→ x(t)=e0x(t0

对该解求导，可以验证

dx(t)tA

=Aec=Ax(t) 且t＝0时，x(t)=e0Ac=Ic=c=x(0) dt

表明x(t)确为方程的解，积分常数亦正确

⎧dx1⎪⎪⎪dt=x2⎡x(0)⎤⎡r1⎤1⎪⎥=⎢⎥ 例：求解微分方程组⎨， 初始条件为⎢

⎢⎪dx2x2(0)⎥⎦⎢⎣r2⎥⎦⎪⎣=-x1⎪⎪⎪⎩dt

⎡01⎤

⎥，须计算f(A)=eAt → f(λ)=etλ 解：A=⎢⎢⎥⎢⎣-10⎥⎦

1o求出A的特征多项式，ϕ(λ)=为2

2

=(λ+1)=(λ-i)(λ+i)，阶数1λ

2o定义待定系数的最小多项式 m(λ)=c0+cλ1

f(λ)=eit=cost+isint1

c0+ic13o解方程 =m(λ)= 1

-it=cost-isint=c-icf(λ)=e201

⎧⎪c0=cost

⎪⎨

⎪⎪⎩c1=sint

4o

⎡cost

f(A)=m(A)=c0I+c1A=⎢⎢

⎢⎣0

⎡costsint⎤

⎥=⎢⎢⎥

⎢⎣-sintcost⎥⎦

0⎤⎥⎡⎢0sint⎤⎥

+⎢⎥cost⎥⎦⎢⎣-sint0⎥⎥⎦

⎤⎡costsint⎤⎡r⎤⎡x(t)⎤⎡rcost+rsint1121tA⎢⎥ ⎥⎢⎥=⎢⎥=x(t)=ex(0)=⎢⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢x(t)1⎦⎣⎢2⎦⎥⎣⎢-sintcost⎦⎥⎣r2⎦⎣r2cost-rsint

dx

=A(t)x(t)（解法不要2， 如果A与t相关，即变系数矩阵方程 dt

求）

二、 一阶线性非齐次常系数常微分方程组

⎧dx1⎪=a11x(t)+a(t)+"+a1nx(t)+f(t)112x2n1dt⎪⎪⎪dx2=a21x(t)+a(t)+"+a2nx(t)+f(t)122x2n2 ⎨⎪⎪#⎪⎪⎪⎪dxn=an1x(t)+a(t)+"+annxn(t)+f(t)1n2x2n⎪⎩令

Tx(t)=[x(t),x(t),,x(t)]"12nTf(t)=[f(t),f(t),...,f(t)]12n⎡a11a12⎢⎢a21a22⎢⎢##⎢⎢aa⎣n1n2"a1n⎤⎥"a2n⎥⎥%#⎥⎥"ann⎥⎦

方程组化为非齐次

矩阵方程

采用常数变易法求解之；齐次方程的解为etAc，可设非齐次方程的解为etAc(t)，

代入方程，得： dxdtAdcdc=)c(t)+etA=etA=f(t) dtdtdtdt

dc=e-tAf(t) dt

所以，c(t)=

是解。

加上初始条件x(t0)=x0，有 ∫ttoe-sAf(s)ds+c(t0) ←由积分性质(3)可验证c(t)

x(t)=eA(t-t0)x0+∫eA(t-s)f(s)ds] t0t

⎡200⎤⎢⎥A=⎢111⎥,f(t)=⎢⎥例：⎢1−13⎥⎣⎦

⎡e2t⎤⎢⎥⎢e2t⎥,x(0)=⎢⎥⎢0⎥⎢⎣⎥⎦⎡−1⎤⎢⎥⎢1⎥⎢⎥ ⎢0⎥⎣⎦

Remark:高阶常微分方程常常可以化为一阶常微分方程组来处理， d2ydy+cy=f 如： a2+bdtdt

dy，则可得 令x1=y,x2=dt

⎧dx1⎪⎪=x2⎪dt ⎪ ⎨⎪dx21cbf⎪=-cx-bx)=-x-x+⎪1212⎪aaaa⎪⎩dt

一般地，n阶常微分方程可以化为n个一阶常微分方程组成的方程组。

第五章推荐习题P134,

1,4,7,8,10,11,12,15,17.