线性代数向量组的秩
第四节 向量组的秩
分布图示
★ 引例 ★ 定理1
★ 极大线性无关向量组 ★ 向量组的秩
★ 矩阵与向量组秩的关系
★ 例1
★ 例3
★ 定理3 ★ 例5 ★ 内容小结 ★ 习题3-4
★ 课堂练习
★ 例2 ★ 例4
★ 例6
内容要点
一、最大线性无关向量组
定义1 设有向量组A:1,2,,s, 若在向量组A中能选出r个向量
1,2,,r, 满足
(1) 向量组A0:1,2,,r线性无关;
(2) 向量组A中任意r1个向量(若有的话)都线性相关.
则称向量组A0是向量组A的一个极大线性无关向量组(简称为极大无关组).
注: (1) 含有零向量的向量组没有极大无关组;
(2) 向量组的极大无关组可能不止一个, 但由上节推论6知, 其向量的个数是相同的. 定理1 如果j,j,,j是1,2,,s的线性无关部分组, 它是极大无关组的充分必
1
2
r
要条件是1,2,,s中的每一个向量都可由j,j,,j线性表示.
1
2
r
注: 由定理1知,向量组与其极大线性无关组可相互线性表示, 即向量组与其极大线性无关组等价.
二、向量组的秩
定义2 向量组1,2,,s的极大无关组所含向量的个数称为该向量的秩, 记为
r(1,2,,s).
规定: 由零向量组成的向量组的秩为0.
三、矩阵与向量组秩的关系
定理2 设A为mn矩阵,则矩阵A的秩等于它的列向量组的秩, 也等于它的行向量组的秩.
推论1 矩阵A的行向量组的秩与列向量组的秩相等.
由定理2证明知,若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式, 则Dr所在的r列就是A的列向量组的一个极大无关组; Dr所在的r行即是A的行向量组的一个极大无关组.。
以向量组中各向量为列向量组成矩阵后,只作初等行变换将该矩阵化为行阶梯形矩阵,则可直接写出所求向量组的极大无关组;
同理,也可以向量组中各向量为行向量组成矩阵,通过作初等列变换来求所求向量组的极大无关组.
定理3 若向量组B能由向量组A线性表示, 则 r(B)r(A).
推论1 等价的向量组的秩相等.
推论2 设CmnAmsBsn, 则r(C)min{r(A),r(B)}.
推论3 设向量组B是有向量组A的部分组,若向量组B线性无关,且向量组A能由向量组B线性表示,则向量组B是向量组A的一个极大无关组.
例题选讲
例1(E01) 全体n维向量构成的向量组记作Rn, 求Rn的一个极大无关组及Rn的秩. 解 因为n维单位坐标向量构面的向量组E:1,2,,n是线性无关的,又知,Rn中的任意n1个向量都线性相关,因此向量组E是Rn的一个极大无关组,且Rn的秩等于n.
例2 (E02)
21
设矩阵A
43
1166
1229
1127
24, 49
求矩阵A的列向量组的一个极大无关并
把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示.
解 对A施行初等变换化为行阶梯形矩阵:
1
000
1100
2100
1110
40 30
1
000
1100
2100
1110
40 30
A
知r(A)3,故列向量组的极大无关组含3个向量.
而三个非零首元在第1,2,4,三列,故1,2,4为列向量组的一个极大无关组.
r(1,2,4)3,故1,2,4线性无关.
312
5413234
由A的行最简形矩阵:
.
例3 (E03) 求向量组
TTTT
1(1,2,1,1),2(2,0,t,0),3(0,4,5,2),4(3,2,t4,1)
的秩和一个极大无关组.
解 向量的分量中含参数t,向量组的秩和极大无关组与t的取值有关. 对下列矩阵作初等行变换:
124)11
20t0
0452
32t4
1
(123
1000
24t22
0452
38
t7
41
000
2100
013t0
323t
0
显然,1,2线性无关,且
(1)t3时,则r(1,2,3,1)2,且1,2是极大无关组; (2)t
3时,则r(1,2,3,1)3,且1,2,3是极大无关组;
例4 设Amn及Bns为两个矩阵, 证明:A与B乘积的秩不大于A的秩和B的秩, 即 r(AB)min(r(A),r(B)).
证 设A(aij)mn
(1,2,,n),B(bij)nsABC(cij)ms(1,2,,s),
b11b21
即 (1,2,,s)(1,2,,n)
bn1
b1jb2jbnj
b1s
b2s
bns
因此有
j
b1j1b2j2bnjn(j1,2,,s),
即AB的列向量组1,2,,s可由A的列向量组1,2,,n线性表示,故1,2,,s的极大无关组可由1,2,,n的极大无关组线性表示,由向量间线性关系的判定定理:
r(AB)r(A).
1
2
类似地:设B(bij)
n
,
可以证明:r(AB)r(B). 因此,r(AB)min(r(A),r(B)).
例5 设向量组B能由向量组A线性表示, 且它们的秩相等, 证明向量组A与向量组B等价.
证一 只要证明向量组B能由向量组A线性表示.设两个向量组的秩都为s,并设A组和
B
组的极大无关组依次为A0:a1,,as和B0:b1,,bs,因B组能由A组线性表示,故
组线性无关,
B0组能由A0组线性表示,即有s阶方阵Ks使(b1,,bs)(a1,,as)Ks.因B0
故
r(b1,,bs)s
r(Ks)r(b1,,bs)s.
但r(Ks)s,因此r(Ks)s.于是矩阵Ks可逆,并有(a1,,as)(b1,,bs)Ks1, 即A0组能由B0组线性表示,从而A组能由B组线性表示.
证二 设向量组A和B的秩都有为s.因B组能由A组线性表示,故A组和B组合并而成的向量组(A,B)能由A组线性表示.而A组是(A,B)组的部分组,故A组总能由(A,B)组线性表示.所以(A,B)组与A组等价,因此(A,B)组的秩也为s.
又因B组的秩也为s,故B组的极大无关组B0含s个向量,因此B0组也是(A,B)组的极大无关组,从而(A,B)组与B0组等价,由A组与(A,B)组等价,(A,B)与B0等价,推知A组与B组等价.
注:本例把证明两向量组A与B等价,转换为证明它们的极大无关组A0与B0等到价.证法一证明B0用A0线性表示的系数矩阵可逆;证法二实质上是证明A0与B0都是向量组
(A,B)的极大无关组.
例6
20
已知(a1,a2)
13
3526
,(,)1251
91
4
4
, 35
证明向量组(a1,a2)与(1,2)等
价.
证 要证存在2阶方阵X,Y,使(1,2)(1,2)X,(1,2)(1,2)Y. 先求X.对增广矩阵(1,2,1,2)施行初等行变换:
(1,2,1,2)
2
0
13
32111000
56591100
44355300
1
0231000
1
12310100
2300
5659
3445
1
000
1252
56156
34
104
3
2001
200
X3
2
1 2
因X10,知X可逆,取YX
,即为所求.因此向量组(1,2)与(1,2)等价.
课堂练习
1. 求向量组
TTTT
1(2,4,2),2(1,1,0),3(2,3,1),4(3,5,2)
的一个极大无关组, 并把其余向量用该极大无关组线性表示.