中考数学压轴题二次函数与圆
第四讲:二次函数与圆综合
中考要求
例题精讲
一、二次函数与圆综合
0) B (x 2,0) 两点, 【例1】 已知:抛物线M :y =x 2+(m -1) x +(m -2) 与x 轴相交于A (x 1,,
且x 1
(Ⅰ)若x 1x 2
(Ⅱ)若x 11,求m 的取值范围;
,2) ,若存在,求出(Ⅲ)试判断是否存在m ,使经过点A 和点B 的圆与y 轴相切于点C (0
M :y =x 2+(m -1) x +(m -2) 的值;若不存在,试说明理由;
7) ,与(Ⅰ(Ⅳ)若直线l :y =kx +b 过点F (0,)中的抛物线M 相交于P ,Q 两点,且使
PF 1
=,求直线l 的解FQ 2
析式.
【解析】(Ⅰ)解法一:由题意得,x 1x 2=m -2
解得,m
m 为正整数,∴m =1.∴y =x 2-1.
解法二:由题意知,当x =0时,y =02+(m -1) ⨯0+(m -2)
解法三:∆=(m -1) 2-4(m -2) =(m -3) 2,
-(m -1) ±(m -3) ∴x =,∴x 1=-1,x 2=2-m .
2
∴x 2=2-m >0.∴m
(x +1)(x +m -2) =0,∴.(以下同解法三.) x 1=-1,x 2=2-m (Ⅱ)解法一:
x 11,∴x 1-10.
,即x 1x 2-(x 1+x 2) +1
x 1+x 2=-(m -1) ,x 1x 2=m -2,
∴(m -2) +(m -1) +1
解法二:由题意知,当x =1时, y =1+(m -1) +(m -2)
∴m 的取值范围是m
∴2-m >1 x 11,
∴m
(Ⅲ)存在.
2) ,所以A ,B 两点在y 轴的同侧, 解法一:因为过A ,B 两点的圆与y 轴相切于点C (0,∴x 1x 2>0.
由切割线定理知,OC 2=OA OB ,
即22=x 1x 2.∴x 1x 2=4, ∴x 1x 2=4. ∴m -2=4. ∴m =6.
解法二:连接O 'B ,O 'C .圆心所在直线x =-设直线x =
b m -11-m
, =-=
2a 22
1-m
与x 轴交于点D ,圆心为O ', 2
-m
则O 'D =OC =2,O 'C =OD =.
2
AB , AB =x 2-x 1==m -3,BD =2
m -3
∴BD =
2
在Rt △O 'DB 中, O 'D 2+DB 2=O 'B 2.
⎛m -3⎫⎛1-m ⎫
即2+ ⎪= ⎪.解得 m =6.
⎝2⎭⎝2⎭
2
(Ⅳ)设P (x 1,y 1) ,Q (x 2,y 2) ,则y 1=x 12-1,y 2=x 2-1.
2
2
2
0) Q (x 2,0) . 则PP 过P ,Q 分别向x 轴引垂线,垂足分别为P 1(x 1,,1∥FO ∥QQ 1.
PO PF
所以由平行线分线段成比例定理知,1=.
OQ 1FQ
0-x 11
=,即x 2=-2x 1. 因此,
x 2-02
过P ,Q 分别向y 轴引垂线,垂足分别为P 2(0,y 1) ,Q 2(0,y 2) ,
P F FP
则PP 2∥QQ 2.所以△FP 2P ∽△FQ 2Q .∴2=.
FQ 2FQ
2
∴21-2(x 12-1) =x 2-1. 7-y 11
∴=.∴21-2y 1=y 2. 22y 2-72∴23-2x 1=4x 1-1.
∴x 12=4,∴x 1=2,或x 1=-2.
3) .直线l 过P (2,,3) F (0,7) , 当x 1=2时,点P (2,
⎧7=k ⨯0+b ,⎧b =7,
解得⎨ ∴⎨
3=k ⨯2+b . k =-2. ⎩⎩
3) .直线l 过P (-2,,3) F (0,7) , 当x 1=-2时,点P (-2,
⎧7=k ⨯0+b ,⎧b =7,
∴⎨ 解得⎨
k =2. 3=k ⨯(-2) +b . ⎩⎩
故所求直线l 的解析式为:y =2x +7,或y =-2x +7.
【例2】 已知抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴的交点为C ,顶点为M ,直线CM 的解析式
y =-x +2并且线段CM
的长为(1)求抛物线的解析式。
(2)设抛物线与x 轴有两个交点A (X 1 ,0)、B (X 2 ,0),且点A 在B 的左侧,求线段AB 的长。 (3)若以AB 为直径作⊙N ,请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系,并说明理由。
【解析】(1)解法一:由已知,直线CM :y=-x +2与y 轴交于点C (0,2)抛物线y =ax 2+bx +c .过点C (0,2),
⎛b 4ac -b 2⎫
, 所以c=2,抛物线y =ax +bx +c 的顶点M -⎪在直线CM 上, 2a 4a ⎝⎭
4a ⨯2-b 2b 所以=+2,解得b =0或b =-2
4a 2a
1⎫⎛1
若b =0,点C 、M 重合,不合题意,舍去,所以b =-2.即M , 2-⎪
a ⎭⎝a
2
过M 点作y 轴的垂线,垂足为Q ,在Rt ∆CMQ 中,CM 2=CQ 2+QM 2
111
所以,8=() 2+[2-(2-)]2,解得,a =±。
a a 2
11
∴所求抛物线为:y =-x 2-2x +2或y =x 2-2x +2以下同下。
22
解法二:由题意得C (0,2) , 设点M 的坐标为M (x , y )
y =-x +2
∵点M 在直线y =-x +2上,∴
由勾股定理得CM
∵CM =
=x 2+(y -2) 2=8 ⎧x 1=-2⎧x 2=2⎧y =-x +2
解方程组⎨2,得,⎨ ⎨2
y =4y =0x +(y -2) =8⎩⎩1⎩2
M (-2, 0) 或M (2,0) ∴
当M (-2, 4) 时,设抛物线解析式为y =a (x +2) 2+4,∵抛物线过(0,2) 点,
11∴a =-,∴y =-x 2-2x +2
22
当M (2,0) 时,设抛物线解析式为y =a (x -2) 2
11
∵抛物线过(0,2) 点,∴a =,∴y =x 2-2x +2
22
11
∴所求抛物线为:y =-x 2-2x +2 或y =x 2-2x +2
22
(2)∵抛物线与x 轴有两个交点,
1∴y =x 2-2x +2不合题意,舍去。
2
1
∴抛物线应为:y =-x 2-2x +2
2
1
抛物线与x 轴有两个交点且点A 在B 的左侧,∴由-x 2-2x +2=0,得
2
AB =x 1-x 2=
(3)∵AB 是⊙N 的直径,∴
r =, N (-2,0),又∵M (-2,4),∴MN = 4 设直线y =-x +2与x 轴交于点D ,则D (2,0),∴DN = 4,可得MN = DN,∴ ∠MDN =45︒,作NG ⊥NG =DN ⋅sin 45︒= CM 于G ,在Rt ∆
NGD 中,即圆心到直线CM 的距离等于⊙N 的半径.∴直线CM 与⊙N 相切
【例3】 已知:在平面直角坐标系xOy 中,一次函数y =kx -4k 的图象与x 轴交于点A ,抛物线y =ax 2+bx +c 经过O ,
A 两点. ⑴试用含a 的代数式表示b ; ⑵设抛物线的顶点为D ,以D 为圆心,DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两部分.若将劣弧沿x 轴翻折,翻折后的劣弧落在⊙D 内,它所在的圆恰与OD 相切,求⊙D 半径的长及抛物线的解析式; ⑶设点B 是满足(2) 中条件的优弧上的一个动点,抛物线在x 轴上方的部分上是否存在这样的点P ,使得
4
∠POA =∠OBA ?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.
3
B
【解析】⑴解法一:∵一次函数y =kx -4k 的图象与x 轴交于点A
∴点A 的坐标为(4,0) ∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过O 、A 两点 c =0,16a +4b =0,∴b =-4a ∴
解法二:∵一次函数y =kx -4k 的图象与x 轴交于点A ∴点A 的坐标为(4,0)
∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过O 、A 两点 ∴抛物线的对称轴为直线x =2
b
b =-4a ∴x =-=2,∴
2a ⑵由抛物线的对称性可知,DO =DA ∴点O 在⊙D 上,且∠DOA =∠DAO
又由(1) 知抛物线的解析式为y =ax 2-4ax
-4a ) ∴点D 的坐标为(2,
①当a >0时,
如图1,设⊙D 被x 轴分得的劣弧为OmA ,它沿x 轴翻折后所得劣弧为OnA ,显然OnA 所在的圆与⊙D 关于x 轴对称,设它的圆心为D ' ∴点D ' 与点D 也关于x 轴对称 ∵点O 在⊙D ' 上,且OD 与⊙D ' 相切 ∴点O 为切点,∴D ' O ⊥OD ∠DOA =∠D ' OA =45︒ ∴
∆ADO 为等腰直角三角形,
∴OD =∴
-4a =-2 ∴点D 的纵坐标为-2,∴
1∴a =,b =-4a =-2
2
1
∴抛物线的解析式为y =x 2-2x
2
②当a
同理可得:OD =
1
抛物线的解析式为y =-x 2+2x
2
121
x -2x 或y =-x 2+2x 224
⑶ 抛物线在x 轴上方的部分上存在点P ,使得∠POA =∠OBA
3
设点P 的坐标为(x , y ) ,且y >0
1
①当点P 在抛物线y =x 2-2x 上时(如图2)
2
∵点B 是⊙D 的优弧上的一点
14
∴∠OBA =∠ADO =45︒,∴∠POA =∠OBA =60︒
23
EP
过点P 作PE ⊥x 轴于点E ,∴, tan ∠POE =
OE
y
=tan 60︒,
∴y =
x
⎧y =⎧⎪x 1=4+⎧x 2=0⎪
⎨由⎨解得:(舍去) ⎨12
y =0⎪⎪y =x -2x ⎩y 1=6+⎩2
⎩
2综上,⊙D
半径的长为y =+ ∴点P
的坐标为4+(1②当点P 在抛物线y =-x 2+2x 上时(如图3)
,同理可得,y
2
⎧y =⎧⎧x 2=0⎪⎪x 1=4-由⎨解得:(舍去) ⎨⎨12
y =0y =-x +2x ⎪⎪⎩y 1=-6+⎩2
⎩
2-6+ ∴点P
的坐标为4-+或4--6+ 综上,存在满足条件的点P ,点P
的坐标为:4+
((
(点评:本题是一道二次函数与圆的综合题,解决本题的关键是:作出将劣弧沿x 轴翻折后的弧所在圆⊙D ' ,并充分利用轴对称的性质.本题考点:1.直线与圆的位置关系(切线的性质) ;2.轴对称;3.等腰直角三角形的性质,4.三角函数;5.二次函数解析式的确定.
【例4】 如图,在平面直角坐标系中,以点C (0,4) 为圆心,半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ,
AB 是⊙C 的切线.动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动,点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动,且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发,设运动时间为t (秒) .
⑴当t =1时,得到P 1、Q 1两点,求经过A 、P 1、Q 1三点的抛物线解析式及对称轴l ; ⑵当t 为何值时,直线PQ 与⊙C 相切?并写出此时点P 和点Q 的坐标; ⑶在⑵的条件下,抛物线对称轴l 上存在一点N ,使NP +NQ 最小,求出点N 的坐标并说明理由.
8) ,P 【解析】⑴ 由题意得A ,P 1,Q 1的坐标分别为A (0,8) ,Q 1(4,0) . 1(1,
⎧8=c ⎪
设抛物线解析式为y =ax 2+bx +c ,则⎨8=a +b +c
⎪0=16a +4b +c ⎩
22∴a =-,b =,c =8.
33
22
∴所求抛物线为y =-x 2+x +8.
331
对称轴为直线l :x =.
2
C 切于点M . ⑵ 设t =a 时,PQ 与⊙
连结CP ,CM ,CQ ,则PA =PM =a ,QO =OM =4a . 又CP ,CQ 分别平分∠APQ 和∠OQP 而∠APQ +∠OQP =180︒,
∠PCQ =90︒ ∠CPQ +∠CQP =90︒,∴∴
Rt ∆CMP ∽CM ⊥PQ ,∴Rt ∆QMC ∵
CM QM 44a
a =±2 即=,∴=
PM CM a 4
由于时间a 只能取正数,所以a =2
C 相切 即当运动时间t =2时,PQ 与⊙
此时:P (2,8) ,Q (8,0) ⑶ 点P 关于直线l 的对称点为P '(-1,8)
864
则直线P ' Q 的解析式为:y =-x +
99120120
∴直线P ' Q 交直线l 于N (,) ,此时NP +NQ 最小,∴N (,)
2233
1
【例5】 如图,点M (4,0),以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A ,B .已知抛物y =x 2+bx +c 过点A 和B ,
6
与y 轴交于点C . ⑴ 求点C 的坐标,并画出抛物线的大致图象.
1
⑵ 点Q (8,m )在抛物线y =x 2+bx +c 上,点P 为此抛物线对称轴上一个动点,求PQ +PB 最小值.
6
⑶ CE 是过点C 的⊙M 的切线,点E 是切点,求OE 所在直线的解析式.
【解析】⑴由已知,得A (2,0),B (6,0),
1
∵抛物线y =x 2+bx +c 过点A 和B ,
6
⎧12
4⨯2+2b +c =0, ⎧⎪⎪6⎪b =-,
则⎨,解得⎨3
1⎪⨯62+6b +c =0, ⎪⎩c =2. ⎪6⎩
14
则抛物线的解析式为y =x 2-x +2,故C (0,2).
63
(说明:抛物线的大致图象要过点A 、B 、C ,其开口方向、顶点和对称轴相对准确) ⑵如图①,抛物线对称轴l 是 x =4.
m =2. Q (8,m ) 抛物线上,∴∵
过点Q 作QR ⊥x 轴于点K ,则K (8,0),QK =2,AK =
6, AQ
=∴
=
又∵B (6,0与A 2,0)关于对称轴l 对称,
PQ +PB 的最小值=AQ = ∴
⑵当E 在第四象限时,如图②,连结EM 和CM .
由已知,得 EM =OC =2. CE 是⊙M 的切线,∴∠DEM =90︒,则∠DEM =∠DOC .
∠ODC =∠EDM ,∴∆DEM ≌∆DOC . 又∵
OD =DE ,CD =MD . ∴
又在∆DOE 和∆MDC 中, ∠ODE =∠MDC ,∠DOE =∠DEO =∠DCM =∠DMC ,则OE ∥CM .
2),M (4,0), 设CM 所在直线的解析式为y =kx +b ,CM 过点C (0,
1⎧
⎧4k +b =0, ⎪k =-∴,解得⎨2 ⎨b =2, ⎩⎪⎩b =2
1
直线CM 的解析式为y =-x +2.
2
1
又∵直线OE 过原点O ,且OE ∥CM ,则OE 的解析式为y =-x .
2
当E 在第一象限时,易得四边形COME 为矩形,此时E (4,2)
1
∴直线OE 的解析式为y =x
2
点评:本题难度不大,第⑵问中,求距离和最短问题是我们在学习轴对称时的一个典型问题;第⑶问需注意,过圆外一点引圆的切线有两条.考点:1.二次函数解析式的确定;2.轴对称;3.切线的性质;4.一次函数解析式的确定.
⎛
【例6】 在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 1经过点A (-2,0)和
点B 0,直线l 2的函数表达式
为
⎝
+l 1与l 2相交于点P .⊙C 是一个动圆,圆心C 在直线l 1上运动,设圆心C 的横坐标是a .过点C 作CM ⊥x 轴,垂足是点M . ⑴ 填空:直线l 1的函数表达式是P 的坐标是∠FPB 的度数是; y =⑵ 当⊙C 和直线l 2相切时,请证明点P 到直线CM 的距离等于⊙C 的半径R
,并写出R =2 时a 的值. ⑶ 当⊙C 和直线l 2不相离时,已知⊙
C 的半径R =2,记四边形NMOB 的面积为S (其中点N 是直线CM 与
l 2的交点) .S 是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时a 的值;若不存在,请说明理由.
【解析】⑴ y =
+P 1,60︒ ⑵ 设⊙C 和直线l 2相切时的一种情况如图甲所示,D 是切点,连接CD ,则CD ⊥PD
.
过点P 作CM 的垂线PG ,垂足为G ,
CP =PC ), 所以PG =CD =R . 则Rt ∆CDP ≌Rt ∆PGC (∠PCD =
∠CPG =30︒,
(当点C 在射线PA 上,⊙C 和直线l 2相切时,同理可证.
取R =2时,a =1+R =
1,或a =-
(R -1)=3-
⑶
当⊙C 和直线l 2
不相离时,则3-a ≤1,由⑵知,分两种情况讨论:
①
如图乙,当0≤a ≤1时,
12
S
=+(+⋅a =
+,
2当a ==3时,(
满足a ≤1) ,S 有最大值.
此时S 最大值
=. =
② 当3-a
2
S =显然⊙C 和直线l 2相切,即a =3-S 最大.
1--+⋅3-=此时S 最大值=
2 点评:本题共3问,这3问之间难度递增,且环环相扣,解决后面的问题时要注意应用前面的结论,解决第⑶问时要先确定a 的取值范围,然后分类讨论.考点:1.一次函数解析式的确定;2.等边三角形的判定及性质;3.直线与圆的位置关系;4.全等三角形;5.两函数图象交点坐标的确定;6.二次函数的最值.
+
P 1,60︒;【答案】(1
)y =(2
)a =
1或a =3-(3)当a =
3或a =3-S
【例7】 已知二次函数图象的顶点在原点O ,对称轴为y 轴.一次函数y =kx +1的图象与
综合以上①和②,当a =
3或a =3-S
(二次函数的图象交于A ,B 两点(A 在B 的左侧) ,且A 点坐标为(-4,4).平行于x 轴的直线l 过(0,-1)点. ⑴ 求一次函数与二次函数的解析式; ⑵ 判断以线段x =CA ⋅tan α为直径的圆与直线l 的位置关系,并给出证明; ⑶ 把二次函数的图象向右平移2个单位,再向下平移t 个单位(t >0),二次函数的图象与x 轴交于M ,N 两点,一次函数图象交y 轴于F 点.当t 为何值时,过F ,M ,N 三点的圆的面积最小?最小面积是多少?
l
【考点】二次函数与圆综合,直线与圆位置关系的确定,切线的性质及判定
【难度】5星 【题型】解答
【关键词】2006年,山东潍坊
3
【解析】⑴ 把A (-4,4) 代入y =kx +1得k =-,
4
3
∴一次函数的解析式为y =-x +1;
4
∵二次函数图象的顶点在原点,对称轴为y 轴,
∴设二次函数解析式为y =ax 2,
11
4) 代入y =ax 2得a =,∴∴把A (-4,二次函数解析式为y =x 2.
44
3⎧y =-x +1⎧x =1⎪⎧x =-4⎪1⎪4B (1⑵ 由⎨,解得⎨或⎨,∴,) , 1
1y =44y =⎩⎪y =x 2⎪⎩4⎪⎩4
过A ,B 点分别作直线l 的垂线,垂足为A ',B ',
15
则AA '=4+1=5,BB '=+1=,
44
5+
∴直角梯形AA 'B 'B 的中位线长为
5
=25, 28
过B 作BH 垂直于直线AA '于点H ,则BH =A 'B '=5,AH =4-
115
=,
44
25∴, AB =4∴AB 的长等于AB 中点到直线l 的距离的2倍, ∴以AB 为直径的圆与直线l 相切. ⑶ 平移后二次函数解析式为y =(x -2) 2-t ,
令y =0,得(x -2) 2-t =
0,x 1=2
,x 2=2 ∵过E 三点的圆的圆心一定在直线D 上,点C 为定点, ∴要使圆面积最小,圆半径应等于点F 到直线x =2的距离, 此时,半径为2,面积为4π,
设圆心为C ,MN 中点为E ,连CE ,CM ,则CE =1, 在三角形CEM
中,ME =
t =3 MN =
MN =x 2-x 1=,∴∴
∴当t =3时,过F ,M ,N 三点的圆面积最小,最小面积为4π
点评:本题综合了函数与圆的有关知识,题目设计比较新颖,本题亮点在第(2)(3)问,这两问都需要确定圆心位置,要求学生较好的掌握圆的有关性质,并能灵活运用.考点:1.一次函数,二次函数解析式的确定;2.直线与圆的位置关系,3.二次函数图象的平移;4.圆心的性质;5.点到直线垂线段最短.
31
【答案】(1)一次函数的解析式为y =-x +1;二次函数解析式为y =x 2.(2)以AB 为直径的圆与直线l 相切.(3)
44
当t =3时,过F ,M ,N 三点的圆面积最小,最小面积为4π
0),顶点D 在O 上运动. 【例8】 如图1,O 的半径为1,正方形ABCD 顶点B 坐标为(5,
⑴ 当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时,试证明直线CD 与O 相切;
⑵ 当直线CD 与O 相切时,求OD 所在直线对应的函数关系式; ⑶ 设点D 的横坐标为x ,正方形ABCD 的面积为S ,求S 与x 之间的函数关系式,并求出S 的最大值与最小值.
图1
图2
图3
【考点】二次函数与圆综合,切线的性质及判定,坐标与面积 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】2008年,江苏宿迁
AD ⊥CD 【解析】⑴ ∵四边形ABCD 为正方形,∴
∠ODC =90︒,∴∵直线CD 与O 相切; A 、O 、D 在同一条直线上,∴
⑵ 直线CD 与O 相切分两种情况:
①如图2, 设D 1点在第二象限时,过D 1作D 1E 1⊥x 轴于点E 1,设此时的正方形的边长为a ,则
(a -1)
2
+a 2=52,解得a =4或a =-3(舍去) .
OE 1D 1E 1OD 1
==
OA BA OB
由Rt ∆BOA ∽Rt ∆D 1OE 1得
34⎛34⎫
D 1 -⎪, ,D 1E 1=,∴
55⎝55⎭
4
故直线OD 的函数关系式为y =-x ;
3
②如图3,设D 2点在第四象限时,过D 2作D 2E 2⊥x 轴于点E 2,设此时的正方形的边长为b ,则∴OE 1=
(b +1)
2
+b 2=52,解得b =3或b =-4(舍去) .
由Rt ∆BOA ∽Rt ∆D 2OE 2得∴OE 2=
OE 2D 2E 2OD 2
==
OA BA OB
43
,D 2E 2=, 553⎫3⎛4
D 2 ,-⎪,故直线OD 的函数关系式为y =-x . ∴
5⎭4⎝5
⑶ 设D (x ,
y 0),则y 0=B (5,
0)得DB
11
∴S =BD 2=(26-10x )=13-5x
22-1≤x ≤1 ∵∴S 最大值=13+5=18,S 最小值=13-5=8.
43
【答案】(1)直线CD 与O 相切;(2)y =-x 或y =-x ;(3)S =13-5x ,S 最大值=18,S 最小值=8
34
【例9】 如图,已知点A 从(1,0)出发,以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向正方向运动,以O ,A 为顶点作菱形OABC ,
使点B ,C 在第一象限内,且∠AOC =60︒;以P (0,3)为圆心,PC 为半径作圆.设点A 运动了t 秒,求: ⑴ 点C 的坐标(用含t 的代数式表示);
⑵ 当点A 在运动过程中,所有使P 与菱形OABC 的边所在直线相切的t 的值.
图2
图3
【考点】二次函数与圆综合,动点与几何,切线的性质及判定 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】2008年,江苏无锡 【解析】⑴ 过C 作CD ⊥x 轴于D ,
OA =1+t ,∴OC =1+t , ∵
1+t
∴,DC =OC sin 60︒=,
OD
=OC cos60︒=
2
⎛1+t C ∴点的坐标为 2.
⎝⎭
⑵ ①当P 与OC 相切时(如图1),切点为C ,此时PC ⊥OC ,
OC =OP cos30
︒,∴1+t
=3∴
t =-1. ·∴··· (4分)
②当P 与OA ,即与x 轴相切时(如图2),则切点为O ,PC =OP ,
1
过P 作PE ⊥OC 于E ,则OE =OC ,
2
1+t =OP cos30︒=t =1. ,
∴2③当P 与AB 所在直线相切时(如图3),设切点为F ,PF 交OC 于G ,
FG =CD =则PF ⊥OC ,
∴
PC =PF =OP sin 30︒∴
过C 作CH ⊥y 轴于H ,则PH 2+CH 2=PC 2,
2
⎫⎛3⎛1+t ⎫∴,
+-3=⎪ ⎪⎪ 2⎝2⎭⎝⎭⎝⎭化简,得(t +1) 2-t +1) +27=0,
2
2
解得t +1=
t =1
∵
t =1. ∴
-
1,
1和1. ∴所求t
⎛1+t -
1,
1和1. 【答案】(1)点C
的坐标为 ;(2)所求t
2⎝⎭
【例10】 已知:抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0),顶点C (1,-3),与x 轴交于A 、B 两点,A (-1,0).
⑴ 求这条抛物线的解析式.
⑵ 如图,以AB 为直径作圆,与抛物线交于点D ,与抛物线对称轴交于点E ,依次连接A 、D 、B 、E ,点P 为线
PM PN
段AB 上一个动点(P 与A 、B 两点不重合) ,过点P 作PM ⊥AE 于M ,PN ⊥DB 于N ,请判断是否+
BE AD
为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由. ⑶ 在⑵的条件下,若点S 是线段EP 上一点,过点S 作FG ⊥EP ,FG 分别与边.AE 、BE 相交于点F 、G (F 与
A 、E 不重合,G 与E 、B 不重合) ,请判断
明理由.
PA EF
是否成立.若成立,请给出证明;若不成立,请说=
PB EG
【考点】二次函数与圆综合 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】2008年,山东济南 【解析】⑴ 设抛物线的解析式为y =a (x -1) 2-3
0)代入:0=a (-1-1)-3,∴将A (-1,a =
2
3
4
∴抛物线的解析式为y =⑵ 是定值,
33392
(x -1)-3,即:y =x 2-x - 4424
PM PN
+=1 BE AD
∠AEB =90︒,∵∵AB 为直径,∴PM ⊥AE ,∴PM ∥BE
PM AP
∴ ① =∆APM ∽∆ABE ,BE AB
PN PN
同理: ② =
AD AB
PM PN AP PB
① + ②:+=+=1
BE AD AB AB
⑶ ∵直线EC 为抛物线对称轴,∴ EC 垂直平分AB
∴EA =EB ∠AEB =90︒ ∵∴∆AEB 为等腰直角三角形.
∠EAB =∠EBA =45︒ . ......... 7分 ∴
如图,过点P 作PH ⊥BE 于H ,
由已知及作法可知,四边形PHEM 是矩形, ∴PH =ME 且PH ∥MEP 在∆APM 和∆PBH 中
∠AMP =∠PHB =90︒,∠EAB =∠BPH =45︒ ∵∴PH =BH
且∆APM ∽∆PBH PA PM = PB BH
PA PM PM = ① . ....... 8分 =PB PH ME
在∆M EP 和∆EGF 中, PE ⊥FG ,∴∠FGE +∠SEG =90︒ ∵
∠MEP +∠SEG =90︒,∴∠FGE =∠MEP ∵
AC AC AC 1
∠PME =∠FEG =90︒,∴∵sin ∠APC ====
AP OA 2AC 2
PM EF ② =ME EG
PA EF
由①、②知: =
PB EG
339PM PN
【答案】(1)y =x 2-x -;(2)是定值,(3)成立 +=1;
424BE AD
【例11】 如图,已知点A 的坐标是(-1,0),点B 的坐标是(9,0),以AB 为直径作O ',交y 轴的负半轴于点C ,连
接AC 、BC ,过A 、B 、C 三点作抛物线.
⑴ 求抛物线的解析式; ⑵ 点E 是AC 延长线上一点,∠BCE 的平分线CD 交O '于点D ,连结BD ,求直线BD 的解析式; ⑶ 在⑵的条件下,抛物线上是否存在点P ,使得∠PDB =∠CBD ?如果存在,请求出点P 的坐标;如果不存在,
请说明理由.
E
E
5星
2008年,四川资阳 ⑴ ∵以AB 为直径作O ',交y 轴的负半轴于点C ,
∴
∠OCA +∠OCB =90︒, 又∵
∠OCB +∠OBC =90︒, ∴
∠OCA =∠OBC , 又∵
∠AOC =∠COB =90︒, ∴
∆AOC ∽∆COB , OA OC OC =OB . 又∵A (-1,0),B (9,0),
1OC =OC 9,解得OC =3 (负值舍去) . ∴C (0,-3), 3分 设抛物线解析式为y =a (x +1)(x -9),
∴
-3=a (0+1)(0-9),解得a =13, ∴二次函数的解析式为y =13(x +1)(x -9),即y =18
3x 2-3
x -3.
⑵ ∵AB 为O '的直径,且A (-1,0),B (9,
0), ∴
OO '=4,O '(4,0), ∵点E 是AC 延长线上一点,∠BCE 的平分线CD 交O '于点D ,
∴∠BCD =12∠BCE =1
2
⨯90︒=45︒,
E
E
【考点】二次函数与圆综合【难度】【题型】解答【关键词】【解析】
连结O 'D 交BC 于点M ,则∠BO 'D =2∠BCD =2⨯45︒=90︒,OO '=4,O 'D =∴D (4,-5).
∴设直线BD 的解析式为y =kx +b (k ≠0) ⎧9k +b =0∴ ⎨6k +b =-5⎩
⎧k =1,解得⎨
⎩b =-9.
1
AB =5. 2
∴直线BD 的解析式为y =x -9. ⑶ 假设在抛物线上存在点P ,使得∠PDB =∠CBD ,
方法一:设射线DP 交O '于点Q ,则BQ =CD .
分两种情况(如答案图1所示) : ①∵O '(4,0),D (4,-5),B (9,0),C (0,-3).
∴把点C 、D 绕点O '逆时针旋转90︒,使点D 与点B 重合,则点C 与点Q 1重合, 因此,点Q 1(7,-4)符合BQ =CD , ∵D (4,-5),Q 1(7,-4),
119∴用待定系数法可求出直线DQ 1解析式为y =x -.
33
⎧⎧119⎧
y =x -,
x =x =⎪⎪⎪⎪⎪1⎪233解方程组⎨得⎨
⎨
182⎪y =x -x -3. ⎪⎪y 1y =12⎪⎪⎪33⎩⎩⎩
∴点P
1坐标为,[
坐标为不符合题意,舍去]. ⎝⎭⎝⎭Q 1(7,-4), ②∵
∴点Q 1关于x 轴对称的点的坐标为Q 2(7,4)也符合BQ =CD . D (4,-5),Q 2(7,4). ∵
∴用待定系数法可求出直线DQ 2解析式为y =3x -17.
⎧y =3x -17,
⎧x 1=3,⎧x 2=14,⎪
解方程组⎨得 ⎨⎨128
y =-8; y =25. y =x -x -3. ⎩1⎪ ⎩233⎩
25),[坐标为(3,-8)不符合题意,舍去]. ∴点P 2坐标为(14,
∴符合条件的点P
有两个:P 25). 1,P 2(14,⎝⎭方法二:分两种情况(如答案图2所示) :
∠PDB =∠CBD . ①当DP 1∥CB 时,能使B (9,0),C (0,-3). ∵
1
∴用待定系数法可求出直线BC 解析式为y =x -3.
31
DP 又∵设直线DP x +n . 1∥CB ,∴1的解析式为y =
3
19
-5)代入可求n =-, 把D (4,
3119
∴直线DP x -. 1解析式为y =
33
119⎧y =x -,⎪⎪33
解方程组⎨
182⎪y =x -x -3. ⎪33⎩
⎧⎧99x =⎪1⎪x 2=⎪⎪22得⎨
⎨ ⎪y ⎪y =112⎪⎪⎩⎩
∴点P
1坐标为,[
坐标为不符合题意,舍去]. ⎝⎭⎝⎭
∠NDB =∠CBD . ②在线段O 'B 上取一点N ,使BN =DM 时,得∆NBD ≌∆MDB (SAS ),∴
1
由①知,直线BC 解析式为y =x -3.
35⎫55⎛⎛17⎫
M 4,-⎪,∴N ,0⎪, 取x =4,得y =-,∴O 'N =O 'M =,∴
3⎭33⎝⎝3⎭
又∵D (4,-5), ∴直线DN 解析式为y =3x -17.
⎧y =3x -17,
⎧x 1=3,⎧x 2=14,⎪
解方程组⎨得 ⎨ ⎨128
y =-8; y =25. y =x -x -3. ⎩1⎩2⎪33⎩
∴点P 2坐标为(14,25),[坐标为(3,-8)不符合题意,舍去]. ∴符合条件的点P
有两个:P 25). 1,P 2(14,⎝⎭方法三:分两种情况(如答案图3所示) : ①求点P 1坐标同解法二. ②过C 点作BD 的平行线,交圆O '于G , 此时,∠GDB =∠GCB =∠CBD . 由⑵题知直线BD 的解析式为y =x -9, -3) 又∵ C (0,
∴可求得CG 的解析式为y =x -3, 设G (m ,m -3),作GH ⊥x 轴交与x 轴与H ,
连结O 'G ,在Rt ∆O 'GH 中,利用勾股定理可得,m =7,
-5)与G (7,4)可得, 由D (4,
DG 的解析式为y =3x -17,
⎧y =3x -17,
⎧x 1=3,⎧x 2=14,⎪
解方程组⎨得 ⎨ ⎨128
y =-8; y =25. y =x -x -3. ⎩1⎩2⎪33⎩
25),[坐标为(3,-8)不符合题意,舍去]. ∴点P 2坐标为(14,
⎛9+-2925). ∴符合条件的点P
有两个:P 1 ,P 2(14,26⎝⎭
18
25) 【答案】(1)y =x 2-x -3;(2)y =x -9;(3)符合条件的点P
有两个:P ,P 2(14,133⎝⎭
1+m 与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于C 点,∠ACB =90︒ 【例12】 已
知:如图,抛物线y =x 2-
3
⑴ 求m 的值及抛物线顶点坐标; ⑵ 过A ,B ,C 的三点的⊙M 交y 轴于另一点D ,连结DM 并延长交⊙M 于点E ,过E 点的⊙M 的切线分别交
x 轴、y 轴于点F ,G ,求直线FG 的解析式; ⑶ 在条件⑵下,设P 为CBD 上的动点(P 不与C ,D 重合) ,连结PA 交y 轴于点H ,问是否存在一个常数k ,始
终满足AH ⋅AP =k ,如果存在,请写出求解过程;如果不存在,请说明理由.
5星
2005年,荆门 ⑴ 由抛物线可知,点C 的坐标为(0,m )
,且m
设A (x 1,0) ,B (x 2,0) .则有x 1⋅x 2=3m
又OC 是Rt ∆ABC 的斜边上的高,∴∆AOC ∽∆COB OA OC
OC =
OB
-x 1-m =-m x ,即x 1⋅x 2=-m 2 2∴
-m 2=3m ,解得m =0或m =-3,而m
3 这时,y =1x
23-
-3=1
3
(x -2-4 故抛物线的顶点坐标为
-4)
⑵
解法一:由已知得:M
0),
A (0),B (0)
,C (0,-3),D (0,3)∵抛物线的对称轴是x =⊙M 的对称轴,连结CE
∵DE 是⊙
M 的直径,∴
∠DCE =90︒ ∴直线
x CE , ∴E 点的坐标为(-3)
OA OM OC =OD =
且∠AOC =∠DOM =90︒, ∴
∠ACO =∠MDO =30︒,∴AC ∥DE ∵
AC ⊥CB ,∴CB ⊥DE 又
FG ⊥DE ,∴
FG ∥CB 由B (0)
,
C (0,-3
)两点的坐标易求直线CB 的解析式为:y =-3
可设直线FG
的解析式为y =x +n ,把(
-3)
代入求得n =-5 故直线FG 的解析式为y
-5 解法二:令y =0,解1x
2
3-
-3=0得x 1=x 2=
【考点】二次函数与圆综合,【难度】【题型】解答【关键词】【解析】
即A
0,B 0
根据圆的对称性,易知:⊙
M 半径为
,M
()
()
)
在Rt ∆
BOC 中,∠BOC =90︒,OB =OC =3 ∠CBO =30︒,同理,∠ODM =30︒. ∴
DE ⊥BC ∠DOM =90︒,∴而∆BME =∠DMO ,
DE ⊥FG , ∴BC ∥FG ∵
∠EFM =∠CBO =30︒ ∴
在Rt ∆EFM 中,∠MEF =90︒
,ME =∠FEM =30︒,
MF =,
∴OF =OM +MF = ∴
∴F
点的坐标为0
在Rt ∆
OFG 中,OG =OF ⋅tan 30︒=G 点的坐标为(0,∴-5)
()
=5 ∴直线FG
的解析式为y =
-5 ⑶ 解法一:
存在常数k =12,满足AH ⋅AP =12 连结CP
∠P =∠ACH 由垂径定理可知AD =AC ,∴
(或利用∠P =∠ABC =∠ACO )
∠CAH =∠PAC ,∴∆ACH ∽∆APC 又∵
AC AP 即AC 2=AH ⋅AP =AH AC
在Rt ∆
AOC 中,AC 2=AO 2+OC 2=
2
+32=12
(
或利用AC 2=AO ⋅AB ==12 ∴AH ⋅AP =12 解法二:
存在常数k =12,满足AH ⋅AP =12 设AH =x ,AP =y
由相交弦定理得HD ⋅HC =AH ⋅
HP ,即(3=x (y -x ) 化简得:xy =12,即AH ⋅AP =12
【答案】(1)m =-
3,
【例13】 已知二次函数y =
-4;(2
)y =
)
-5;(3)存在常数k =12,满足AH ⋅AP =12 12
0)和点C ,顶点为P . x +bx +c 的图象经过点A (-3,6),并与x 轴交于点B (-1,
2
⑴ 求这个二次函数的解析式,并在直角坐标系中画出该二次函数的图象; ⑵ 设D 为线段OC 上的一点,满足∠DPC =∠BAC ,求点D 的坐标; ⑶ 在x 轴上是否存在一点M ,使以M 为圆心的圆与AC ,PC 所在的直线及y 轴都相切?如果存在,请求出点M
的坐标;若不存在,请说明理由.
5星
2004年,山西
⑴ ∵二次函数y =1
2
x 2+bx +c 的图象过点A (-3,6),B (-1,0)
⎧9
-3b +c =6得⎪⎪⎧b =-1⎨2 ⎪⎪1,解得⎨⎪⎩2
-b +c =0⎪⎩c =-3
2∴这个二次函数的解析式为:y =13
2x 2-x -2
由解析式可求P (1,-2),C (3,0)
画出二次函数的图象 ⑵ 解法一:易证:∠ACB =∠PCD =45︒
又已知:∠DPC =∠BAC
∴∆
DPC ∽∆BAC ,
DC BC =
PC
AC
易求AC =PC =BC =4
∴DC =
4453,∴OD =3-3=3,∴
D ⎛ 5⎫
⎝3,0⎪⎭
解法二:过A 作AE ⊥x 轴,垂足为E .
设抛物线的对称轴交x 轴于F .
亦可证∆AEB ∽∆PFD ,AE PF =EB
FD
.
易求:AE =6,EB =2,PF =2
∴FD =23,∴OD =255
3+1=3,∴D (3
,0)
⑶ 存在.
①过M 作MH ⊥AC ,MG ⊥PC 垂足分别为H ,
G , 设AC 交y 轴于S ,CP 的延长线交y 轴于T
∵
∆SCT 是等腰直角三角形,M 是
∆SCT 的内切圆圆心, ∴
MG =MH =OM 又
∵
MC =且OM +MC =OC
+OM =
3,得OM =3,∴
M (3,0)
②在x 轴的负半轴上,存在一点
M ′
同理OM ' +OC =
M ' C ,OM '+OC ',得OM '=3
【考点】二次函数与圆综合,切线的性质及判定【难度】【题型】解答【关键词】【解析】
∴M '
-3,0
即在x 轴上存在满足条件的两个点.
点评:本题综合了二次函数,圆与相似等知识,解决第(2)问时需注意∆SCT 为等腰直角三角形,于是∠OCS =∠OCT ,从而利用相似可以求解;第(3)问需注意分类讨论.考点:1.二次函数解析式的确定;2.抛物线顶点坐标;3.直线与圆的位置关系;4.三角形内心.
13⎛5⎫
【答案】(1)y =x 2-x -;(2)D ,0⎪;(3)在x
轴上存在满足条件的两个点.M 3,0,M '
-3,0
322⎝⎭
O 的半径为1,以O 为原点,建立如图所示的直角坐标系.有一个正方形ABCD ,顶点B
的坐标为【例14】 已知⊙
()
()
()
(O 上运动. 0,顶点A 在x 轴上方,顶点D 在⊙
)
O 相切吗?如果相切,请说明理由,并求出OD 所在直线⑴ 当点D 运动到与点A 、O 在一条直线上时,CD 与⊙对应的函数表达式;如果不相切,也请说明理由; ⑵ 设点D 的横坐标为x ,正方形ABCD 的面积为S ,求出S 与x 的函数关系式,并求出S 的最大值和最小值.
【考点】二次函数与圆综合,坐标与面积 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】2005年,常州 【解析】⑴ CD 与⊙O 相切.
A ,D ,O 在一直线上,∠ADC =90︒, ∵
∠CDO =90︒,所以CD 是⊙O 的切线 ∴
CD 与⊙O 相切时,有两种情况: ①切点在第二象限时(如图①) ,
设正方形ABCD 的边长为a ,则a 2+(a +1) 2=13, 解得a =2
,或a =-3(舍去)
过点D 作
DE ⊥OB 于E ,则Rt ∆ODE ∽Rt ∆OBA ,
OD DE OE
DE ==,∴ =
OB OA
OE =D 1的坐标是(-)
2
OD 所在直线对应的函数表达式为y =-x . ∴
3
②切点在第四象限时(如图②) ,
设正方形ABCD 的边长为b ,则b 2+(b -1) 2=13, 解得b =-2
(舍去) ,或b =3
过点D 作
DF ⊥OB 于F ,则Rt ∆ODF ≌∆OBA ,
OD OF DF
OF ==,∴
,DF =, =
OB OA ∴点D 2的坐标是-3
OD 所在直线对应的函数表达式为y =-x ∴
2
⑵ 如图③,
OD , 过点D 作DG ⊥OB 于G ,连接BD ,
则BD 2=BG 2+DG 2=(BO -OG ) 2+OD 2-OG 2
=x S =
AB 2=∴
(
)
2
+1-x 2=14+
1
BD 2=7 2
-1≤x ≤1,∴S
的最大值为7+S
的最小值为7-∵
点评:本题是一道正方形,圆,函数的综合题,难度不大,第(1)问注意分类讨论,第(2)问应注意利用正方形的面积等于对角线平方的一半这个性质.考点:1.正方形的性质;2.切线的判定;3.相似三角形;4.一次函数解析式的确定;5.一次函数的最值;6.勾股定理.
2
【答案】(1)CD 与⊙O 相切.y =-x (2
)S =7,S
的最大值为7S
的最小值为73
【例15】 如图,将∆AOB 置于平面直角坐标系中,其中点O 为坐标原点,点A 的坐标为(3,0),∠ABO =60︒.
⑴ 若∆AOB 的外接圆与y 轴交于点D ,求D 点坐标.
⑵ 若点C 的坐标为(-1,0),试猜想过D ,C 的直线与∆AOB 的外接圆的位置关系,并加以说明. ⑶ 二次函数的图象经过点O 和A 且顶点在圆上,求此函数的解析式.
【考点】二次函数与圆综合,三角形的外接圆及外心,直线与圆位置关系的确定
【难度】5星 【题型】解答
【关键词】2008年,四川达州 【解析】⑴ 连结AD ,则∠ADO =∠B =60︒
在Rt ∆ADO 中,∠ADO =60︒
== 所以OD =所以D
点的坐标是0
⑵ 猜想是CD 与圆相切
∠AOD 是直角,所以AD 是圆的直径 ∵
CO tan ∠CDO ===,∠CDO =30︒ 又
∵
OD ∠CDA =∠CDO +∠ADO =Rt ∠即CD ⊥AD ∴
CD 切外接圆于点D ∴⑶ 依题意可设二次函数的解析式为:
y =α(x -0)(x -3)
(3a 3=; 2a 2
即顶点在OA 的垂直平分线上,作OA 的垂直平分线EF ,
1
则得∠EFA =∠B =30︒
2
⎛3得到EF ==
⎝2由此得顶点坐标的横坐标为:x =-
⎛3 同理可得另一个顶点坐标为 ,⎝2分别将两顶点代入y =α(x -0)(x -3)可解得α
的值分别为
则得到二次函数的解析式是y =
(x -
3)或y =(x -3) (x -
3)或y =(x -3) 【答案】(1
)0;(2)CD 切外接圆于点D ;(3
)y =
【例16】 如图,直角坐标系中,已知两点O (0,0),A (2,0),点B 在第一象限且∆OAB 为正三角形,∆OAB 的外接圆
(交y 轴的正半轴于点C ,过点C 的圆的切线交x 轴于点D .
⑴ 求B ,C 两点的坐标; ⑵ 求直线CD 的函数解析式; ⑶ 设E ,F 分别是线段AB ,AD 上的两个动点,且EF 平分四边形ABCD 的周长.试探究:∆AEF 的最大面积?
【难度】5星 【题型】解答
【关键词】2008,浙江嘉兴
OA =2. 【解析】⑴ ∵A (2,0),∴
作BG ⊥OA 于G ,
∆OAB 为正三角形, ∵
OG =
1,BG
∴
B 1. ∴
∠AOC =90︒,∠ACO =∠ABO =60︒,
连AC ,∵
OC =OA tan 30︒=∴
⎛∴ C 0. ⎝⎭
AC 是圆的直径, y =α(x -0)(x -3),∴⑵ ∵
CD 是圆的切线,∴CD ⊥AC . 又∵
2
∠OCD =30︒,OD =OC tan30︒=. ∴
3
⎛2⎫D -,0⎪. ∴
⎝3⎭
设直线CD 的函数解析式为y =kx +b (k ≠0) ,
(
⎧⎧k =b =⎪⎪⎪则⎨,解得⎨.
⎪b =⎪0=-2k +b
⎩⎪3⎩
∴直线CD
的函数解析式为y =AB =OA =2,OD =⑶ ∵
24
,CD =2OD =
,BC =OC =,
33
∴四边形ABCD
的周长6+
设AE =t ,∆AEF 的面积为S ,
1⎛⎫
t ,S =AF ⋅AE sin 60︒则AF =3+ 3+t ⎪⎪.
2 ⎝⎭
2
⎛⎫⎛7t -S 3+t ⎪∵⎪=⎢- +3+⎥. ⎝⎭⎭⎣⎝⎦
3
+. ∴
当t =
时,S max =
8
∵点E ,F 分别在线段AB ,AD 上,
⎧0≤t ≤2
⎪
t ≤2.
∴⎨2
0≤3+-t ≤
2+⎪
3⎩
3+. t ≤2,∴∆
AEF 8⎛3t =+ y =+【答案】(1
)B 1
,C ;(2
);(3
)当时,0∆
AEF 8⎭⎝
t =
∵
(