二次函数题型分类总结
二次函数题型分类练习
二次函数的定义
(考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式) 1、下列函数中,是二次函数的是 .
①y=x2-4x+1; ②y=2x2; ③y=2x2+4x; ④y=-3x ; ⑤y=-2x -1; ⑥y=mx2+nx+p; ⑦y =(4,x) ; ⑧y=-5x 。
2、在一定条件下,若物体运动的路程s (米)与时间t (秒)的关系式为s=5t2+2t,则t =4秒时,该物体所经过的路程为 。
22
3、若函数y=(m+2m-7)x +4x+5是关于x 的二次函数,则m 的取值范围为 。
m -2
4、若函数y=(m-2)x +5x+1是关于x 的二次函数,则m 的值为 。 6、已知函数y=(m-1) x
m2 +1
+5x-3是二次函数,求m 的值。
二次函数的对称轴、顶点、最值
4ac-b
(技法:如果解析式为顶点式y=a(x-h) +k,则最值为k ;如果解析式为一般式y=ax+bx+c
4a
1.抛物线y=2x2+4x+m2-m 经过坐标原点,则m 的值为 。 2.抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为(1,3),则b =c =
2
3.抛物线y =x +3x 的顶点在( )
A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.若抛物线y =ax 2-6x 经过点(2,0) ,则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )
B.
5.若直线y =ax +b 不经过二、四象限,则抛物线y =ax 2+bx +c( ) A. 开口向上,对称轴是y 轴 B.开口向下,对称轴是y 轴 C.开口向下,对称轴平行于y 轴 D.开口向上,对称轴平行于y 轴
1
6.已知抛物线y =x 2+(m-1)x -的顶点的横坐标是2,则m 的值是_ .
4
2
7.抛物线y=x+2x-3的对称轴是。
8.若二次函数y=3x2+mx-3的对称轴是直线x =1,则m =
9.当n =______,m =______时,函数y =(m+n)x n +(m-n)x 的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口________.
10.已知二次函数y=x2-2ax+2a+3,当a= 时,该函数y 的最小值为0. 11.已知二次函数y=mx2+(m-1)x+m-1有最小值为0,则m = 12.已知二次函数y=x2-4x+m-3的最小值为3,则m = 。
函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.抛物线y=x2+4x+9的对称轴是 。
2.抛物线y=2x2-12x+25的开口方向是 ,顶点坐标是 。
3.试写出一个开口方向向上,对称轴为直线x =-2,且与y 轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式 。
4.通过配方,写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标:
12122
(1)y= x-2x+1 ; (2)y=-3x +8x-2; (3)y=-+x-4
24
2
5.把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位,在向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,试求b 、c 的值。
6.把抛物线y=-2x 2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位,再向上平移3个单位,问所得的抛物线有没有最大值,若有,求出该最大值;若没有,说明理由。
7.某商场以每台2500元进口一批彩电。如每台售价定为2700元,可卖出400台,以每100元为一个价格单位,若将每台提高一个单位价格,则会少卖出50台,那么每台定价为多少元即可获得最大利润?最大利润是多少元?
2
2
2
函数y=a(x-h) 2的图象与性质
1.填表:
2
2.已知函数y=2x,y=2(x-(1)分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。
222
(2)分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线y=2x得到抛物线y=2(x-4) 和y=2(x+1)?
2
3.试写出抛物线y=3x经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。
2
(1)右移2个单位;(2个单位;(3)先左移1个单位,再右移4个单位。
3
1
4.试说明函数y=-3) 2 的图象特点及性质(开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值)。
2
12
5.二次函数y=a(x-h) 的图象如图:已知 ,OA =OC ,试求该抛物线的解析式。
2
二次函数的增减性
1. 二次函数y=3x2-6x+5,当x>1时,y 随x 的增大而 ;当x
2
2. 已知函数y=4x-mx+5,当x> -2时,y 随x 的增大而增大;当x
2
3. 已知二次函数y=x-(m+1)x+1,当x ≥1时,y 随x 的增大而增大,则m 的取值范围是 .
125
4. 已知二次函数y=-x +3x+的图象上有三点A(x1,y 1),B(x2,y 2),C(x3,y 3) 且3
22
为 .
二次函数的平移
技法:只要两个函数的a 相同,就可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式y=a(x-h) 2+k,平移规律:左加右减,对x ;上加下减,直接加减
3
6. 抛物线y= x 2向左平移3个单位,再向下平移4个单位,所得到的抛物线的关系式为 。
22
7. 抛物线y= 2x, ,可以得到y=2(x+4}2-3。 8. 将抛物线y=x2+1向左平移2个单位,再向下平移3个单位,所得到的抛物线的关系式为。
2
9. 如果将抛物线y=2x-1的图象向右平移3个单位,所得到的抛物线的关系式为 。 10. 将抛物线y=ax2+bx+c向上平移1个单位,再向右平移1个单位,得到y=2x2-4x -1则a = ,b = ,c = .
11. 将抛物线y =ax 2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,移动后的抛物线经过点(3,-1) ,那么移动后的抛物线的关系式为 _.
函数的交点
11. 抛物线y=x2
+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 12. 直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有 个交点。
函数的的对称
13. 抛物线y=2x-4x 关于y 轴对称的抛物线的关系式为 。 14. 抛物线y=ax2+bx+c关于x 轴对称的抛物线为y=2x2-4x+3,则 a= b= c=
2
函数的图象特征与a 、b 、c 的关系
1. 已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示,则a 、b 、c 的符号为( ) A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0
C.a>0,b
D.a>0,b
2. 已知抛物线y=ax2
+bx+c的图象2如图所示,则下列结论正确的是( ) A .a+b+c> 0 B .b> -2a C .a-b+c> 0 D .c
3. 抛物线y=ax2
+bx+c中,b =4a ,它的图象如图3,有以下结论:
①c>0; ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b 2-4ac
A .①② B .①④ C .①②③ D .①③⑤
4. 当b
+bx+c在同一坐标系内的图象可能是( )
5. 已知二次函数y =ax 2+bx +c ,如果a>b>c,且a +b +c =0,则它的图象可能是图所示的( )
C 6.二次函数y =ax 2+bx +c
的图象如图5所示,那么abc ,b 2-4ac , 2a+b ,a
+b +c 四个代数式中,值为正数的有( )
A.4个 B.3个 C.2个
D.1
个
7.
在同一坐标系中,函数
y= ax
2
+c
与
y=
c
x
图象可能是图所示的( )
A B C D
8. 反比例函数y = k
的图象在一、三象限,则二次函数y =kx 2x
-k 2x-1c 的图象大致为图中的( )
A B C D
9. 反比例函数y = k
x
中,当x> 0时,y 随x 的增大而增大,则二次函数y =kx 2+2kx的图象大致为图中的(
A B C D 10. 已知抛物线y =ax 2+bx +c(a≠0) 的图象如图所示,则下列结论:
)
①a ,b 同号; ②当x =1和x =3时,函数值相同; ③4a +b =0; ④当y =-2时,x 的值只能取0; 其中正确的个数是( ) A .1 B.2 C.3 D .4 11. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 经过一、三、四象限(不经过原点和第二象限)则直线y =ax +bc 不经过( ) A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
二次函数与x 轴、y 轴的交点(二次函数与一元二次方程的关系)
1. 如果二次函数y =x 2+4x +c 图象与x 轴没有交点,其中c 为整数,则c = (写一个即可)
2
2. 二次函数y =x -2x-3图象与x 轴交点之间的距离为
2
3. 抛物线y =-3x +2x -1的图象与x 轴交点的个数是( )
A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点
2
4. 如图所示,二次函数y =x -4x +3的图象交x 轴于A 、B 两点, 交y 轴于点C , 则△ABC 的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.1
49
5. 已知抛物线y =5x 2+(m-1)x +m 与x 轴的两个交点在y 轴同侧,它们的距离平方等于为 ,则m 的值为( )
25
A. -2 B.12 C.24 D.48
2
6. 若二次函数y =(m+5)x+2(m+1)x+m的图象全部在x 轴的上方,则m 的取值范围是
2
7. 已知抛物线y =x -2x-8,
(1)求证:该抛物线与x 轴一定有两个交点;
(2)若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ,且它的顶点为P ,求△ABP 的面积。
函数解析式的求法
一、已知抛物线上任意三点时,通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c,然后解三元方程组求解; 1.已知二次函数的图象经过A (0,3)、B (1,3)、C (-1,1)三点,求该二次函数的解析式。
2.已知抛物线过A (1,0)和B (4,0)两点,交y 轴于C 点且BC =5,求该二次函数的解析式。
二、已知抛物线的顶点坐标,或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时,通常设解析式为顶点式y=a(x-h) 2+k求解。
3.已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,-6),且经过点(2,-8),求该二次函数的解析式。 4.已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,-3),且经过点P (2,0)点,求二次函数的解析式。
三、已知抛物线与轴的交点的坐标时,通常设解析式为交点式y=a(x-x 1)(x-x 2) 。 5.二次函数的图象经过A (-1,0),B (3,0),函数有最小值-8,求该二次函数的解析式。 6.已知x =1时,函数有最大值5,且图形经过点(0,-3),则该二次函数的解析式 。
2
7.抛物线y=2x+bx+c与x 轴交于(2,0)、(-3,0),则该二次函数的解析式 。 8.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,3),且与y=2x2的开口大小相同,方向相反,则该二次函数的解析式 。
9.抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于(-1,0)、(3,0),则b = ,c = . 10.若抛物线与x 轴交于(2,0) 、(3,0),与y 轴交于(0,-4) ,则该二次函数的解析式 。 11.根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 (1)当x=3时,y 最小值=-1,且图象过(0,7)
3
(2)图象过点(0,-2)(1,2)且对称轴为直线x=
2
(3)图象经过(0,1)(1,0)(3,0)
(4)当x=1时,y=0; x=0时,y= -2,x=2 时,y=3
(5)抛物线顶点坐标为(-1,-2)且通过点(1,10)
11.当二次函数图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1= -3,x 2=1时,且与y 轴交点为(0,-2),求这个二次函数的解析式
12.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于(2,0) 、(4,0),顶点到x 轴的距离为3,求函数的解析式。
111
13.知二次函数图象顶点坐标(-3, )且图象过点(2,),求二次函数解析式及图象与y 轴的交点坐标。
22
14.已知二次函数图象与x 轴交点(2,0), (-1,0) 与y 轴交点是(0,-1) 求解析式及顶点坐标。
1
15.若二次函数y=ax2+bx+c经过(1,0)且图象关于直线x= 对称,那么图象还必定经过哪一点?
2
22
16.y= -x +2(k-1)x+2k-k ,它的图象经过原点,求①解析式 ②与x 轴交点O 、A 及顶点C 组成的△OAC 面积。
1
17.抛物线y= (k2-2)x 2+m-4kx 的对称轴是直线x=2,且它的最低点在直线y= - +2上,求函数解析式。
2
二次函数应用
(一)经济策略性
1. 某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格。经检验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件。假定每月销售件数y(件)是价格X 的一次函数. (1)试求y 与x 的之间的关系式.
(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润,每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本)
2. 有一种螃蟹,从海上捕获后不放养最多只能活两天,如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去,假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是放养一天需各种费用支出400元,且平均每天还有10千克蟹死去,假定死蟹均于当天全部售出,售价都是每千克20元。 (1)设X 天后每千克活蟹的市场价为P 元,写出P 关于X 的函数关系式。
(2)如果放养X 天后将活蟹一次性出售,并记1000千克蟹的销售额为Q 元,写出Q 关于X 的函数关系式。 (2)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润(利润=销售总额—收购成本—费用),最大利润是多少?
3. 某商场批单价为25元的旅游鞋。为确定 一个最佳的销售价格,在试销期采用多种价格进性销售,经试验发现:按每双30元的价格销售时,每天能卖出60双;按每双32元的价格销售时,每天能卖出52双,假定每天售出鞋的数量Y (双)是销售单位X 的一次函数。 (1)求Y 与X 之间的函数关系式;
(2)在鞋不积压,且不考虑其它因素的情况下,求出每天的销售利润W (元)与销售单价X 之间的函数关系式; (3)销售价格定为多少元时,每天获得的销售利润最多?是多少?