09 矩阵微分方程
第九讲 矩阵微分方程
一、矩阵的微分和积分
1. 矩阵导数定义：若矩阵A (t ) =(a ij (t )) m ⨯n 的每一个元素a ij (t ) 是变量t 的可微函数，则称A (t ) 可微，其导数定义为
dA
dt =A '(t ) =⎛ da ij ⎫⎝dt ⎪⎭
m ⨯n
由此出发，函数可以定义高阶导数，类似地，又可以定义偏导数。2. 矩阵导数性质：若A (t ) , B (t ) 是两个可进行相应运算的可微矩阵，则
（1）d dt [A (t ) ±B (t )]=dA dB
dt ±
dt （2）
d dt [A (t ) B (t )]=dA dt B +A
dB
dt
（3）d dt [a (t ) A (t )]=da dA dt A +a
dt （4）d (e tA
)=Ae tA =e tA A d
dt dt
(cos (tA ))=-A sin (tA )
d
dt
(sin (tA ))=A cos (tA ) (A 与t 无关) 此处仅对d dt
(e tA
) =Ae tA =e tA A 加以证明 证明：
d tA d 111
dt (e ) =dt (I +tA +2! t 2A 2+3! t 3A 3+ ) =A +tA 2+2! t 2A 3+ =A (I +tA +
12!
t 2A 2
+ ) =Ae tA
又=(I +tA +
122
t A + ) A =e tA A 2!
3. 矩阵积分定义：若矩阵A (t ) =(a ij (t )) m ⨯n 的每个元素a ij (t ) 都是区间[t 0, t 1]上的可积函数，则称A (t ) 在区间[t 0, t 1]上可积，并定义A (t ) 在[t 0, t 1]上的积分为
⎰
t 1
t 1t A (t ) dt =
(⎰t a (t ) dt 0
ij
)m ⨯n
4. 矩阵积分性质
（1）⎰t 1
[A (t ) ±B (t t 1
t 1
t )]dt =⎰A (t ) dt ±⎰t B (t ) dt
t 0
（2）⎰t 1
t [A (t ) B ]dt =
(⎰
t 1
t A (t ) dt )
B ,
⎰
t 1t [AB (t )]dt =A
(t ) dt 0
(⎰
t 1t B 0
)
（3）d dt ⎰t
a
A (t ') dt '=A (t ),
⎰
b
a
A '(t ) dt =A (b ) -A (a )
二、 一阶线性齐次常系数常微分方程组 设有一阶线性齐次常系数常微分方程组
⎧⎪dx 1
dt =a 11x 1(t ) +a 12x 2(t ) + +a 1n x n (t ) ⎪⎪⎪
dx 2⎨dt
=a 21x 1(t ) +a 22x 2(t ) + +a 2n x n (t ) ⎪⎪
⎪dx ⎪n ⎩dt
=a n 1x 1(t ) +a n 2x 2(t ) + +a nn x n (t )
式中t 是自变量，x i =x i (t ) 是t 的一元函数(i =1,2, , n ),
a ij (i , j =1,2, , n ) 是常系数。 令
⎡a 11a 12⎢a a 2221T ⎢ x (t ) =[x 1(t ), x 2(t ), , x n (t )]，A =⎢ ⎢
⎣a n 1a n 2 a 1n ⎤ a 2n ⎥⎥ ⎥
⎥
a nn ⎦
则原方程组变成如下矩阵方程
dx
=Ax (t ) dt
其解为
更一般的
→ x (t ) =e (t -t 0) A x (t 0) x (t ) =e tA x (0)=e tA c −−−−
对该解求导，可以验证
dx (t )
=Ae tA c =Ax (t ) 且t =0时，x (t ) =e 0A c =Ic =c =x (0) dt
表明x (t ) 确为方程的解，积分常数亦正确。
⎧dx 1
=x 2
⎪⎡x 1(0)⎤⎡r 1⎤⎪dt
例：求解微分方程组⎨， 初始条件为⎢⎥=⎢⎥
⎣x 2(0)⎦⎣r 2⎦⎪dx =-x
1
⎪⎩dt ⎡01⎤tA → f (λ) =e t λ f (A ) =e 解：A =⎢，⎥-10⎣⎦
λ-1
1求出A 的特征多项式，ϕ(λ) ==(λ2+1) =(λ-j )(λ+j ) ，
1λ
o
j =
λ1=j , m 1=1; λ2=-j , m 2=1 2o 定义待定系数的多项式 g (λ) =c 0+c 1λ
3解方程
o
g (λ1) =f λ(1=) e g (λ2) =f λ(2=) e
=
-jt
jt
c t o +s j =
c t o -s j
t s =i c n 0+jc t s =i c n 0-jc
1
1
⎧c 0=cos t ⎨
⎩c 1=sin t
4o
0⎤⎡0sin t ⎤⎡cos t sin t ⎤⎡cos t
g (A ) =c 0I +c 1A =⎢+⎢=⎢⎥⎥cos t ⎦⎣-sin t 0⎦⎣-sin t cos t ⎥⎣0⎦
=f (A ) =e tA
t ⎡c o s tA x (t ) =e x (0=) ⎢
t ⎣-s i n +r n t ⎡1x ⎤(t ) s t i ⎤n ⎡r 1⎤⎡r 1c o s t 2s i ⎤
⎢⎥=⎢⎥=⎢⎥ ⎥c o t ⎦s ⎣r 2⎦⎣r 2t c -o r s 1t ⎦s i ⎣n x 2t ⎦()
三、 一阶线性非齐次常系数常微分方程组
⎧dx ⎪dt =a 11x 1(t ) +a 12x 2(t ) + +a 1n x n (t ) +b 1(t ) ⎪dx 2⎪=a 21x 1(t ) +a 22x 2(t ) + +a 2n x n (t ) +b 2(t ) ⎪
⎨dt
⎪ ⎪
⎪dx n =a x (t ) +a x (t ) + +a x (t ) +b (t )
n 11n 22nn n n ⎪⎩dt
令
x (t ) =[x 1(t ), x 2(t ), , x n (t )]T b (t ) =[b 1(t ), b 2(t ), , b n (t )]T ⎡a 11a 12
⎢a a 2221⎢A =⎢ ⎢
⎣a n 1a n 2
a 1n ⎤ a 2n ⎥⎥ ⎥
⎥
a nn ⎦
方程组化为矩阵方程
dx
=Ax +b dt
采用常数变易法求解之；齐次方程组的解为e tA c ，可设非齐次方程组的解为e tA c (t ) ，
代入方程，得：
dx d tA dc tA dc tA dc →=(e ) c (t ) +e =) +e =b (t ) =e -tA b(t) dt dt dt dt dt
∴ c (t ) =⎰e -st b (s ) ds ← 由积分性质(3)可验证c (t ) 加上初始条件，有
t
⎡ x (t ) =e x (0)+⎰e -sA b (s ) ds ⎤ ⎢⎥0⎣⎦
tA
t
说明:高阶常微分方程常可以化为一阶常微分方程组来处理，
d 2y dy
如： a 2+b +cy =f
dt dt 令x 1=y , x 2=
dy
，则可得 dt
⎧dx =x 2
⎪⎪dt
⎨
⎪dx 2=1(f -cx -bx ) =-c x -b x +f
12
⎪a 1a 2a ⎩dt a
一般地，n 阶常微分方程可以化为n 个一阶常微分方程组成的方程组。
作业：p170-171 5、9
p177 3、4