信号与信息处理基础课后习题参考答案
信号与信息处理基础
习题及题解
目录
第1章 绪论 .................................................................................................................... 3
第2章连续时间信号的时域分析....................................................................................... 3
第3章连续时间信号的频域分析....................................................................................... 8
第4章连续时间信号的复频域分析 ................................................................................. 15
第5章离散时间信号的时域分析..................................................................................... 19
第6章离散傅里叶变换................................................................................................... 22
第7章离散时间信号的复频域分析 ................................................................................. 27
第一章
1.1 结合具体实例，分析信息、消息和信号的联系与区别。 答：具体实例略。
信息、消息和信号三者既有区别又有联系，具体体现在：
⑴信息的基本特点在于其不确定性，而通信的主要任务就是消除不确定性。受信者在接收到信息之前，不知道发送的内容是什么，是未知的、不确定性事件。受信者接收到信息后，可以减少或者消除不确定性。
⑵消息是信息的载体。可以由消息得到信息，以映射的方式将消息与信息联系起来，如果不能建立映射关系就不能从消息中得到信息。例如，一个不懂得中文的人看到一篇中文文章，就不能从中获取信息。
⑶信号是消息的具体物理体现，将消息转换为信号才能够在信道（传输信号的物理媒质，如空气、双绞线、同轴电缆、光缆等）中传输。
1.2 说明连续时间信号与模拟信号、离散时间信号与数字信号间的联系和区别。 答：按照时间函数取值的连续性与离散性可将信号划分为连续时间信号与离散时间信号，简称连续信号与离散信号。
幅值连续
连续时间信号
幅值离散
模拟信号
幅值连续
离散时间信号
幅值离散
数字信号
第二章
2.2 试写出题2.2图示各波形的表达式。
题2.2图
解：左图：f
(t )=2[u (t )-u (t -1)]-(t -3)[u (t -1)-u (t -3)]
=2u (t )-(t -1)u (t -1)+(t -3)u (t -3)
中图：f (t )=u (t )+u (t -1)-u (t -2)-u (t -3) 右图：f (t )=u (t )+u (t -1)-2u (t -2)
2.3 试画出时间t 在（-4，6）内以下信号的波形图。
⑴ sin 2π t ；
⑵sin 2π (t -1)；
⑶u (t -1)sin 2π t ；
⑷ u (t )sin 2π t ； ⑸u (t )sin 2π (t -1)； ⑹u (t -1)sin 2π (t -1)。
解：
2.5 试画出如下复合信号的波形图。
⑴ f (t )=u (t -1)；
2
2
⑵ f (t )=sgn (sin π t )；
⑶ f (t )=sgn (t -9)； ⑷ f (t )=sin [πsgn (t )]； ⑸ f (t )=δ(sin πt )
⑵
⑶
⑷
⑸
d d
2.7已知信号f (t )=t [u (t )-u (t -2)]，试画出f (t )f (t )的波形图，并写出f (t )的表达式。
dt dt
解：f '(t )=[u (t )-u (t -2)]+t [δ(t )-δ(t -2)]=[u (t )-u (t -2)]-2δ(t -2)
2.8 已知信号f (t )=u (t +1)-u (t -2)，试画出f (t )及以下各信号的波形：
⑴
d dt
f (t )；
t
⑵ ⎰
t
-∞
f (τ)d τ；
d ⑶ ⎡f (t )⎤⋅
⎢⎥⎣dt ⎦
[⎰
-∞
f (τ)d τ；
]
⑷ 3f (
)d τ
]
t
积分：-∞ t -1，⎰
-1 t 2，⎰2
t ∞，⎰
t -∞
-∞
f (τ)d τ=
⎰
t
-∞
0d τ=0
f (τ)d τ=f (τ)d τ=
⎰⎰
-1
-∞
0d τ+
⎰⎰
t
-
1
d τ=t +1
t -1
-∞-∞
0d τ+
2
-1
d τ+
⎰
t
2
0d τ=3
1⎫
t +1⎪
⎭2
2.9
已知信号f (t )的波形如题2.9图所示，试画出f (t +3)、f ⎛ -
⎝
d
的波形。
dt
f (t )、⎰
t
-∞
f (τ)d τ
题2.9图
解：f (t )=2[u (t )-u (t -1)]-(t -3)[u (t -1)-u (t -3)]=2u (t )-(t -1)u (t -1)+(t -3)u (t -3)
⎧2
⎪
=⎨ -t +3⎪0⎩
03
⎧2⎪
f (t +3)=⎨ -(t +3)+3
⎪0⎩
⎧2⎪
1≤t +3≤3=⎨ -t t +33⎪⎩00
-30
⎧
2⎪⎪
⎛1⎫⎪⎛1⎫f -t +1⎪=⎨ - -t +1⎪+3⎝2⎭⎪⎝2⎭
⎪0⎪⎩f '(t )=
d dt
0
12
12
t +1
12t +1>3
t +1
⎧2⎪1
=⎨ t +2⎪2⎩0
02 , t
[2u (t )-(t -1)u (t -1)+(t -3)u (t -3)]
=2δ(t )-u (t -1)-(t -1)δ(t -1)+u (t -3)+(t -3)δ(t -3)=2δ(t )-[u (t -1)-u (t -3)]
⎰-∞
t
f (τ)d τ=
⎰-∞[2u (τ)-(τ
t
t
1
t
-1)u (τ-1)+(τ-3)u (τ-3)]d τ
=2⎰d τ⋅u (t )-⎰(τ-1)d τ⋅u (t -1)+1⎫⎛12
=2tu (t )- t -t +⎪u (t -1)+
⎝22⎭
⎰3(τ
t
-3)d τ⋅u (t -3)
9⎫⎛12
t -3t +⎪u (t -3)⎝22⎭
1⎫⎛12
=2t [u (t )-u (t -1)]- t -3t +⎪[u (t -1)-u (t -3)]+4u (t -3)
⎝22⎭
。
2.14利用冲激信号的抽样性求下列积分值。
⑴ ⑶
∞
⎛t -π()1-cos t δ ⎰-∞
⎝2
∞
⎫dt ；
⎪⎭
⑵ ⑷
⎰-2π(1+t )δ(cos ⎰-∞(t
2
2π
t )dt ；
⎰-∞
∞
-t
e [δ(t )+δ'(t )]dt
+2t +3)δ(t -2)dt
解：⑴ ⎰(1-cos t )δ⎛ t -
-∞
⎝
π⎫
⎪dt =
2⎭π⎫⎛π⎫⎛
1-cos δt - ⎪ ⎪dt =⎰-∞⎝
2⎭⎝2⎭
∞
⎰
∞
-∞
δ⎛ t -
⎝
π⎫
⎪dt =1
2⎭
⑵ ⎰
2π
-2π
(1+t )δ(cos t )dt =
⎰-2π
+
-π
(1+t )δ(cos t )dt +
π
⎰-π(1+t )δ(cos t )dt + ⎰π
2π
⎰0
(1+t )δ(cos t )dt +(1+t )δ(cos t )dt
3⎫-π1⎫01⎫π⎛⎛⎛
= 1-π⎪⎰δ(cos t )dt + 1-π⎪⎰δ(cos t )dt + 1+π⎪⎰δ(cos t )dt + ⎝2⎭-2π⎝2⎭-π⎝2⎭0
3⎫2π⎛
+ 1+π⎪⎰δ(cos t )dt =4
⎝2⎭π
⑶ ⎰e -t [δ(t )+δ'(t )]dt =
-∞ ∞
⎰
∞
-∞
e δ(t )dt +
-t
⎰
∞
-∞
e δ'(t )dt =e
-t -t
t =0
-
d dt
(e -t )
t =0
=2
⑷ ⎰
-∞
(t 2+2t +3)δ(t -2)dt =0
2.15 试计算下列卷积积分。
⑴[e -2t u (t )]*δ(t -2)； ⑶[e -2t u (t )]*[e -3t u (t )]；
⑵[e -3t u (t )]*u (t )； ⑷[sin t ]*δ'(t -3)；
⑹[e -3t u (t )]*[u (t -1)-u (t -3)]。
⑸[u (t +1)-u (t -1)]*[δ(t +5)+δ(t -5)]；
解：⑴ [e -2t u (t )]*δ(t -2)=e -2(t -2)u (t -2)
⑵[e -3t u (t )]*u (t )=
[⎰
t
e
-3τ
-∞
u (τ)d τ*δ(t )=
-2τ
]
⎰
t
e
-3τ
d τ⋅u (t )=
13
(1-e -3t )u (t )；
⑶[e -2t u (t )]*[e -3t u (t )]=
=
⎰[e
-∞t 0
∞
u (τ)]⋅[e
-3(t -τ)
-3(t -τ)
u (t -τ)]d τ
-3t
⎰
e
-2τ
⋅e d τ⋅u (t )=e
-2t
⎰
t
e d τ⋅u (t )
τ
=e
-3t
(e t -1)u (t )=(e
-e
-3t
)u (t )；
⑷[sin t ]*δ'(t -3)=cos t *δ(t -3)=cos (t -3)； ⑸[u (t +1)-u (t -1)]*[δ(t +5)+δ(t -5)]
=[u (t +1)-u (t -1)]*δ(t +5)+[u (t +1)-u (t -1)]*δ(t -5) =u (t +6)-u (t +4)+u (t -4)-u (t -6)； ⑹ 由⑵题可得
1
1
[e -3t u (t )]*[u (t -1)-u (t -3)]=[1-e -3(t -1)]u (t -1)-[1-e -3(t -3)]u (t -3)。
3
3
2.17 已知f 1(t )、f 2(t )、f 3(t )的波形如题2.17图所示，试计算如下卷积积分：
题2.17图
⑵y 2(t )=f 1(t )*f 3(t )； 解：⑵f 3(t )=δ(t +1)+δ(t -1)
y 2(t )=f 1(t )*f 3(t )=f 1(t +1)+f 1(t -1)=[u (t +2)-u (t )]+[u (t )-u (t -2)]
=u (t +2)-u (t -2)
⑷y 4(t )=f 1(t )*f 3(t )*f 3(t )；
⑷ f 3(t )*f 3(t )=[δ(t +1)+δ(t -1)]*[δ(t +1)+δ(t -1)]=δ(t +2)+2δ(t )+δ(t -2)
y 4(t )=f 1(t )*f 3(t )*f 3(t )=f 1(t )*[δ(t +2)+2δ(t )+δ(t -2)]
=f 1(t +2)+2f 1(t )+f 1(t -2)
=[u (t +3)-u (t +1)]+2[u (t +1)-u (t -1)]+[u (t -1)-u (t -3)] =u (t +3)+u (t +1)-u (t -1)-u (t -3)
第三章
3.1周期信号的频谱有什么特点？
答：有三个特点：第一，离散性：周期信号的频谱是离散频谱（二根谱线间的距离是
ω0=
2πT
（角频率）或
1T
（频率），可见与信号周期成反比）；第二，谐波性：在n ω0处，
A τT
对应着不同振幅的不同谐波（其频谱的各次谐波的振幅F n =
与信号的幅度A 、信号的
持续时间τ成正比，而与信号的周期T 成反比）；第三，收敛性：随着频率n ω0的增加，周 期信号频谱的总的趋势是下降的（从而可以定义出信号的有效频带宽度，其与信号的持续时间成反比）。
3.2周期信号的周期T 、持续时间τ及幅度A 对该信号的频谱都有什么影响？ 答：周期T 的变化会改变谱线间的距离（反比）、谐波的幅度（反比），持续时间τ的变化会改变谐波的幅度（正比）、信号的有效频带宽度（反比），幅度A 的变化会改变谐波的幅度（正比）。
3.3非周期信号的频谱与周期信号的频谱相比有什么相同点与不同点？
答：非周期信号的频谱与周期信号的频谱相比相同点是非周期信号的频谱与周期信号的频谱的包络线有相同的形状、相同的有效频带宽度；不同点是非周期信号的频谱是连续的、幅度为无穷小的频谱，周期信号的频谱是离散的、幅度为有限值的频谱。
3.4傅里叶变换的时频展缩特性对信号处理有什么重要意义？
答：该特性对信号传输速率的提高具有非常重要的指导意义：要在相同的时间内传输更多的信号，或快速传输某信号，那么该信号的频带宽度就会加宽，相应的就会对系统提出更高的要求（增加投资）。
3.5傅里叶变换的频移特性在通信领域的什么应用中具有重要的理论基础？ 答：在通信领域的“幅度调制、频分复用”的应用中具有重要的理论基础。 3.6傅里叶变换的时域微分特性在通信领域有何实际应用？
答：典型的就是可以作为调频信号解调器一部分：将频率的变化改变为幅度的变化。 3.7请叙述时域抽样定理，并说明实际抽样与理想抽样区别，如何减少实际抽样带来的信号失真，时域抽样定理有何实际应用？
答：设一个频带有限为ωm （或f m ）信号f (t )，如果对其以频率ωs ≥2ωm （或f s ≥2f m ，称为Nyquist 频率，奈奎斯特频率，简称奈氏频率）或以间隔T s =
1f s
≤
12f m
=
πωm
（称为
Nyquist 间隔，奈奎斯特间隔，简称奈氏间隔）进行周期性抽样，那么得到抽样信号f s (t )就 包含原信号f (t )的全部信息；令f s (t )通过一个理想低通滤波器，其截止频率为ωc （ωc ωm ，且ωc ωs -ωm ），就能完满地恢复出原信号f (t )，这就是著名的时域抽样定理，又称香农（Shannon ，或称山农）定理。
实际抽样与理想抽样区别主要在三个方面：第一，抽样脉冲不是周期冲激序列而是有一定宽度（即持续时间τ≠0）周期方波信号；第二，信号f (t )的带宽不是有限的；第三，低通滤波器特性也不是理想的。要减少实际抽样带来的信号失真，也就必须从这三个方面入手：减小周期方波的持续时间，考虑更宽一些信号带宽，使用性能更好的滤波器。
时域抽样定理的实际应用主要体现在其第一部分，它告诉我们由模拟信号向数字信号转换最基本的要求，否则其转换是无实际意义的
3.8定义信号的有效频带宽度有什么实际意义？
答：因为系统的带宽要适应信号的带宽，系统的带宽如果小于信号的带宽，那么经这个系统处理的信号就会失真，如果系统的带宽比信号的带宽大的多，那么就会造成很大的浪费，所以只有确定了信号的带宽，才能既能够不失真的处理信号，又不至于投资浪费。
3.9若信号f (t )的最高频率是300Hz ，求如下信号的最高频率，如果对其进行无失真的抽样，那么最小抽样频率是多少，对应的抽样间隔是多少？
解：f (t )的带宽f m =300Hz
⑴ f (2t )，f (2t )+f (t )，f (2t )*f (t )；
由傅里叶变换的时频展缩特性可知：当f (t )压缩为f (2t )，则其频宽为2f m =600Hz ，对其最小的抽样频率为f s =2⨯600=1200Hz ，抽样间隔为T s =1/1200≈833μs ；由傅里叶变换线性特性可知：信号f (2t )+f (t )的频谱应为f (t )的频谱加上f (2t )的频谱，显然
f (2t )+f (t )的频谱宽度与f (2t )的频谱宽度一致，即2f m =600Hz ，这样对其的最小的抽
样频率也为f s =1200Hz ，抽样间隔为T s ≈833μs ；由傅里叶变换的时域卷特积性可知：信号f (2t )*f (t )的频谱应为f (t )的频谱乘以f (2t )的频谱，显然f (2t )*f (t )的频谱宽度与
f (t )的频谱宽度一致，即f m =300Hz ，所以对f (2t )*f (t )最小的抽样频率为f s =2⨯300=600Hz ，抽样间隔为T s =1/600≈1. 67ms 。
⑵ f 3(t )，f 3(t )+f (t )，f 3(t )*f (t )；
由傅里叶变换的乘积特性或三角积化和差公式可知：f 3(t )的频宽为3f m =900Hz ，那么对其最小的抽样频率为f s =2⨯900=1800Hz ，抽样间隔为T s =1/1800≈556μs ；由傅里叶变换线性特性可知：信号f 3(t )+f (t )的频谱应为f (t )的频谱加上f 3(t )的频谱，显然
f (t )+f (t )的频谱宽度与f (t )的频谱宽度一致，即3f m =900Hz ，这样对其的最小的抽样
3
3
频率也为f s =1800Hz ，抽样间隔为T s ≈556μs ；由傅里叶变换的时域卷特积性可知：信号
f (t )*f (t )的频谱应为f (t )的频谱乘以f (t )的频谱，显然f (t )*f (t )的频谱宽度与f (t )
3
3
3
的频谱宽度一致，即f m =300Hz ，所以对f 3(t )*f (t )最小的抽样频率为f s =2⨯300=600Hz ，抽样间隔为T s =1/600≈1. 67ms 。
⑶ f 3(t )+f (2t )，f 3(t )*f (2t )
由傅里叶变换线性特性可知：信号f 3(t )+f (2t )的频谱应为f (2t )的频谱加上f 3(t )的
频谱，显然f 3(t )+f (2t )的频谱宽度与f 3(t )的频谱宽度一致，即3f m =900Hz ，这样对其的最小的抽样频率为f s =1800Hz ，抽样间隔为T s ≈556μs ；由傅里叶变换的时域卷特积性可知：信号f 3(t )*f (2t )的频谱应为f (2t )的频谱乘以f 3(t )的频谱，显然f 3(t )*f (2t )的频谱宽度与f (2t )的频谱宽度一致，即2f m =600Hz ，所以对f 3(t )*f (2t )最小的抽样频率为
f s =1200Hz ，抽样间隔为T s ≈833μs 。
3.10求题3.10图所示周期信号的傅里叶级数。 解：⑴ 信号f 1(t )=⎨ 角频率ω01=
2πT 1
⎧sin (t +π)⎩sin t
-π/2
-π/2
的周期T 1=πs ，
=2rad/s，由于是偶函数，所以b n =0
题3.10图
a 01=
1T 1
T 1
⎰
-
2T 12
f 1(t )dt =
2T 1
T 1
⎰
2
f 1(t )dt =
2
π
π
π
T 12
⎰
2
(sin t )dt =-
2
π
cos t
20
=
2
π
a n 1=
2T 1
2
T 1
⎰-
π
2T 12
f 1(t )cos (n ω01t )dt =
4T 1
⎰0
f 1(t )cos (n ω01t )dt =
4
π
π
⎰02(sin t )cos (2nt )dt
π20
=
π
⎰
2
[sin (1+2n )t +sin (1-2n )t ]dt =-
2⎡11⎤
cos (1+2n )t +cos (1-2n )t
⎥π⎢⎣1+2n 1-2n ⎦
=
2⎛11⎫4
+ ⎪=
π⎝1+2n 1-2n ⎭π(1-4n 2)
∴f 1(t )=
2
π
+
4
∞
π
∑
n =1
11-4n
2
cos (2nt )
2πT 2
π
⎧0()f t =⑵ 信号2⎨
⎩sin t
-π
的周期T 2=2πs ，角频率ω02=
12π
T 22
=1
rad/s
a 02=
1T 22T 212π
T 2
⎰-
2T 22T 2
f 2(t )dt =
1T 2
T 2
⎰0
2
f 2(t )dt =
2T 2
π
⎰0
π
(sin t )dt =-
12π
cos t
=
1
π
n =1时，a 12=
⎰-⎰
2T 22
f 2(t )cos (n ω02t )dt =
14π
⎰0
f 2(t )cos (n ω02t )dt =
1
π
⎰0
π
(sin t )(cos t )dt
=
π
(sin 2t )dt =-cos 2t
=0
T 2
b 12=
2T 212π
T 2
⎰-
2T 22
f 2(t )sin (n ω02t )dt =
2T 2
⎰0
2
f 2(t )sin (n ω02t )dt =
π
1
π
2
⎰0(sin t )dt
π
=
⎰
π
1⎡1⎤
(1-cos 2t )dt =t -sin 2t
⎢⎥2π⎣2⎦
=
12
n ≠1时，a n 2=
2T 212π
T 2
⎰-⎰
π0
2T 22
f 2(t )cos (n ω02t )dt =
2T 2
T 2
⎰0
2
f 2(t )cos (n ω02t )dt =
1
π
⎰0
π
(sin t )(cos nt )dt
π
=
1⎡11⎤
[sin (1+n )t +sin (1-n )t ]dt =-cos (1+n )t +cos (1-n )t
⎥2π⎢⎣1+n 1-n ⎦
2⎧
1⎛1111⎪π(1-n 2)⎫⎪=+-cos (1+n )π-cos (1-n )π⎪=⎨
2π⎝1+n 1-n 1+n 1-n ⎭⎪
0⎪⎩
n =2, 4,
n =3, 5,
b n 2=
2T 2
T 2
⎰-
2
T 22
f 2(t )sin (n ω02t )dt =
2T 2
T 2
⎰0
2
f 2(t )sin (n ω02t )dt =
1
π
⎰0
π
(sin t )(sin nt )dt
π
=
-12π1
⎰
π
-1⎡11⎤
[cos (1+n )t +cos (1-n )t ]dt =sin (1+n )t +sin (1-n )t
⎥2π⎢⎣1+n 1-n ⎦12sin t +
2
∞
=0
∴
f 2(t )=
π
+
π
∑
n =2, 4, 6
11-n
2
cos nt
-π≤t ≤00
⑶ 信号f 3(t )=⎨
ω03=
2πT 3
=1rad/s
⎧si n (t +π)⎩0
-π≤t ≤00
=⎨ ⎩0
的周期T 3=2πs ，角频率
a 03=
1T 32T 3
T 3
⎰-
2T 32T 3
f 3(t )dt =
1T 3
⎰-T
3
f 3(t )dt =
2T 3
-12π
2
⎰-π
sin tdt =
12π
cos t
-π
=
1
π
n =1时，a 13=
⎰-
2T 32
f 3(t )cos (n ω03t )dt =
14π
⎰-T
3
f 3(t )cos (n ω03t )dt =
-1
2
π
⎰-πsin t (cos
t )dt
=
-12π
⎰πsin 2tdt
-
=cos 2t
-π
=0
b 13=
2T 3
T 3
⎰-
2T 320
f 3(t )sin (n ω03t )dt =
2T 3
⎰-
0T 32
f 3(t )sin (n ω03t )dt =
-1
π
2
⎰-π(sin t )dt
-1⎡1⎤
[]=1-cos 2t dt =t -sin 2t ⎰⎥2π-π2π⎢⎣2⎦
n ≠1时，a n 3=
-1
=-
-π
12
-1
2T 3-1
T 3
⎰-
2T 32
f 3(t )cos (n ω03t )dt =
2T 3
⎰-
0T 32
f 3(t )cos (n ω03t )dt =
π
⎰-πsin t (cos
nt )dt
1⎡11⎤
[]()()()=sin 1+n t +sin 1-n t dt =cos 1+n t +cos (1-n )t ⎰-π⎥2π2π⎢⎣1+n 1-n ⎦2⎧
⎪π(1-n 2)1⎛1111⎫⎪
=+-cos (1+n )π-cos (1-n )π⎪=⎨
2π⎝1+n 1-n 1+n 1-n ⎭⎪
0⎪⎩
-π
n =2, 4,
n =3, 5,
b n 3=
2T 2
T 3
⎰-
2
T 32
f 3(t )sin (n ω03t )dt =
2T 3
⎰-T
3
f 3(t )sin (n ω03t )dt =
-1
2
π
⎰-π(sin t )(sin nt )dt
1⎡11⎤
[]()()()=cos 1+n t -cos 1-n t dt =sin 1+n t -sin (1-n )t ⎰⎥2π-π2π⎢⎣1+n 1-n ⎦
1
=0
-π
∴
f 3(t )=
1
π
-
12
sin t +
2
∞
π
∑
n =2, 4, 6
11-n
2
cos nt
3.11求题3.11图所示信号的傅里叶变换。
题3.11图
解：信号f 1(t )=⎨
⎧1⎩0
0
f 2(t )=δ(t )-δ(t -1)+δ(t -2)-δ(t -3)
f 3(t )=δ(t )+2δ(t -1)+δ(t -2)，则对应的傅里叶变换分别为
∞
-j ωt
1-j ωt
F 1(j ω)=
⎰
-∞
f 1(t )e
-j
dt =
⎰e
dt =-
-j
1j ω
1
e
-j ωt
=
1j ω
(1-e
-j ω
)=
e
-j ⎛j 2⎫
e -e 2⎪ j ω⎝⎭
-j
ω2
ωω
ω2
=
2e
ω
⋅
e
j
ω2
-e 2j
-j
ω2
ω2
=
∞
2e
ω
⎛ω⎫
sin ⎪ ⎝2⎭
-j ωt
F 2(j ω)=
⎰-∞
∞
f 2(t )e
-j ω
-j ωt
dt =
⎰-∞[δ(t )-δ(t -1)+δ(t -2)-δ(t -3)]e
-j 3ω
dt
=1-e +e
-j 2ω
-e
=(1-e
-j
-j ω
)+e -j 2ω(1-e -j ω)
ω
ω
2
=(1-e
-j ω
)(1+e
e
j
-j 2ω
)=e
ω2
-j ⎛j 2⎫-j ωj ω-j ω
) e -e 2⎪e (e +e
⎝⎭
ω
ω2
=j 4e
∞
-j
3ω2
-e j 2
-j
⋅
∞
e
j ω
+e 2
-j ω
=j 4e
-j
3ω2
⎛ω⎫
sin ⎪cos ω ⎝2⎭
-j ωt
F 3(j ω)=
⎰-∞
f 3(t )e
-j ωt
dt =
⎰-∞[δ(t )+2δ(t -1)+δ(t -2)]e
=(1+e
-j ω
dt
=1+2e
-j ω
+e
-j 2ω
)
2
⎛-j ω e =4e
⎝
j
ω2
+e 2
-j
ω2
⎫⎪-j ω2⎛ω⎫=4e cos ⎪ ⎪
⎝2⎭⎪
⎭
2
3.12 以题3.11中f 1(t )的傅里叶变换为基础，利用傅里叶变换的性质求题3.12图所示信号的傅里叶变换。
题3.12图
1j ω
2e
-j
ω2
解：f 1(t )
(1-e -j ω)=
ω
⎛ω⎫sin ⎪ ⎝2⎭
1
⎛ω⎫F j ⎪a ⎝a ⎭
⑴f a (t )=2f 1(0. 5t )，根据傅里叶变换的时频展缩特性f (at )得：
f a (t )2
10. 5
⋅1j 2ω
-j ω
及线性特性可
(1-e
-j 2ω
)=
2j ω
(1-e
-j 2ω
)=
e
ω
sin ω
⑵f b (t )=f 1(t )-f 1(t +1)，根据傅里叶变换的时移特性f (t ±b )F (j ω)e ±jb ω及线性特性可得：
f b (t )
1j ω
(1-e
-j ω
)-
1j ω
(1-e
j
-j ω
)e
ω2
j ω
=
1j ω
e
-j
ω2
⎛ e ⎝
j
ω2
-e
-j
ω2
⎫⎛-j 2⎪-e ⎪ e ⎭⎝
ω
j
ω2
⎫⎪⎪e ⎭
j
ω2
⎛4 e = j ω ⎝
ω2
-e 2j
-j
⎫⎪42⎛ω⎫=sin ⎪⎪
j ω⎝2⎭⎪⎭
2
1
⎛ω⎫F j ⎪a ⎝a ⎭
或f b (t )=f 1(t )-f 1(-t )，根据傅里叶变换的时频展缩特性f (at )性可得：
f b (t )
2e
-j
及线性特
ω2
ω
⎛ω⎫2e
sin ⎪+⎝2⎭ω
j
ω2
⎛-ω⎫2⎛ω
sin sin ⎪=⎝2⎭ω⎝2
j
⎫⎛-j 2
-e ⎪ e
⎭⎝
ω
j
ω2
⎫⎪⎪⎭
⎛
4⎛ω⎫ e =sin ⎪ j ω⎝2⎭
⎝
ω2
-e 2j
-j
ω2
⎫⎪42⎛ω⎫==sin ⎪ ⎪
j ω⎝2⎭⎪⎭
1
⎛ω⎫
F j ⎪及线性特性可得： a ⎝a ⎭
-j 2ω
⑶f c (t )=f 1[0. 5(t -1)]+f 1(0. 25t )=f 1(0. 5t -0. 5)+f 1(0. 25t )，根据傅里叶变换的时移特性f (t ±b )F (j ω)e ±jb ω、时频展缩特性f (at )
2e
-j
ω
2
f 1(t -0. 5)f 1(0. 25t )
ω
-j 2ω
⎛ωsin ⎝22e ⎫-j 2
=⎪e ⎭ω
ω-j ω
2e ⎛ω⎫
sin ⎪，f 1(0. 5t -0. 5)
ω⎝2⎭
sin ω
2e
ω
sin (2ω) 2e
-j 2ω
∴f c (t )
2e
-j 2ω
ω
sin ω+
ω
sin (2ω)=
2e
-j 2ω
ω
[sin ω+sin (2ω)]=
2e
-j 2ω
ω
sin ω(1+2cos ω)
或 f c (t )=f 1(t )+2f 1(0. 5t -0. 5)+f 1(t -3)，可得：
f 1(t -3)
2e
-j
2e
ω
2
-j
ω
2
ω
⎛ω
sin ⎝22e ⎫-j 3ω=⎪e
⎭ω
-j 2ω
-j
7ω2
⎛ω⎫
sin ⎪ ⎝2⎭
-j 7ω2
∴f c (t )
ω
⎛ω⎫4e sin ⎪+⎝2⎭ω
=4e
-j 2ω
sin ω+
sin ω+
2e
2e
-j 2ω
ω
⎛ω⎫
sin ⎪ ⎝2⎭
⎫⎛-j 2ω
+e ⎪ e
⎭⎝
3
3j ω2
ω4e
-j 2ω
ω4e
-j 2ω
⎛ωsin ⎝2
⎫⎪⎪⎭
==
ω4e
-j 2ω
sin ω+sin ω+
ω2e
-j 2ω
⎛ω⎫⎛3⎫sin ⎪cos ω⎪ ⎝2⎭⎝2⎭
ωω
[sin (2ω)+sin (-ω)]
[sin ω+sin (2ω)] ω
3.13 以题3.11中f 1(t )的傅里叶变换为基础，利用傅里叶变换的性质求题3.13图所
=
2e
-j 2ω
示信号的傅里叶变换。
题3.13图
解：如右图f 1(t )=f '(t )，f 2(t )=f 1'(t )=f ''(t ) ∵f 2(t )=δ(t )-2δ(t -1)+δ(t -2) ∴ F 2(j ω)=1-2e
=(1-e
-j ω
f +e
2
-j 2ω
-j ω
)
2
2
由傅里叶变换的时域微分特性：f 2(t )F 2(j ω)=(j ω)F (j ω)f ''(t )
∴ F (j ω)=
1
(j ω)
2
F 2(j ω)=-
(1-e -j ω)
ω
2
3.14求题3.14图所示周期信号的傅里叶变换。 解：如图f 1(t )=f '(t )，f 2(t )=f 1'(t )=f ''(t ) ∵f 2(t )=2δ(t )-2δ(t -1)-2δ(t -3)+2δ(t -4) ∴ F 2(j ω)=2(1-e -j ω-e -j 3ω+e -j 4ω)
=2[(1-e =2(1-e =2e
-j 2ω
-j ω
)-e
ω
-j 3ω
(1-e
3
-j ω
)]
3
-j ω
)(1-e -j 3ω)
ω
-j ω⎫⎛j 2ω
-e 2⎪⎪ e
⎭⎝
-j ⎛j 2
-e 2 e ⎝⎫⎪⎪ ⎭
f ⎛-j 2ω e =-8e
⎝=-8e
-j 2ω
j
ω2
-e 2j
-j
ω2
⎫⎛⎪ e ⎪ ⎪ ⎭⎝
3j ω2
-e 2j
3-j ω2
⎫⎪⎪ ⎪⎭
-j 2ω⎛1⎫⎛3⎫
[cos (2ω)-cos ω] sin ω⎪sin ω⎪=4e
⎝2⎭⎝2⎭
2
由傅里叶变换的时域微分特性：f 2(t )F 2(j ω)=(j ω)F (j ω)f ''(t )
∴ F (j ω)=
1
(j ω)
2
F 2(j ω)=
4e
-j 2ω2
ω
[cos ω-cos (2ω)]
3.15 一个信号传输系统，输入信号f (t )的频谱F (j ω)、理想高通滤波器的频谱
H h (j ω)、理想低通滤波器的频谱H l (j ω)，均如题3.15图所示。试画出系统中A 、B 、C
各处的频谱图，以及输出y (t )的频谱图Y (j ω)。
信号与信息处理基础课后答案
解：⑴
由傅里叶变换的频移特性：f (t )e ±j ωt F (ω ω0)，可得：
f A (t )=f (t )cos 200t =F A (j ω)=
12
12f (t )e 12
j 200t
+
12
f (t )e
-j 200t
F (ω-200)+
F (ω+200)，得F A (j ω)图
⑵ 由傅里叶变换的时域卷积特性：f 1(t )*f 2(t )F 1(j ω)F 2(j ω)，可得：
f A (t )*h h (t )F A (j ω)H h (j ω)=F B (j ω)f B (t )，得F B (j ω)图
⑶ 同⑴，可得：
f C (t )=f B (t )cos 250t =F C (j ω)=
12
12f B (t )e 12
j 250t
+
12
f B (t )e
-j 250t
F B (ω-250)+
F B (ω+250)，得F B (j ω)图
⑵ 由傅里叶变换的时域卷积特性：f 1(t )*f 2(t )F 1(j ω)F 2(j ω)，可得：
f C (t )*h l (t )F C (j ω)H l (j ω)=Y (j ω)y (t )，得Y (j ω)图
第四章
4.1求题图4.1所示各信号的拉普拉斯变换。
题4.1图
解：F 1(s )=⎰0f 1(t )e
F 2(s )=
∞
-st
dt =2⎰e
2
-st
dt =-
2s
4
2
e
-st
=
2s
(1-e -2s )
⎰0
s
∞
f 2(t )e
-st
dt =
⎰0
1
e
-st
dt +2⎰e
1
3
-st
dt +
⎰3
e
-st
dt =-
1s
(e
-st 1
+2e
-st 3
1
+e
-st 4
3
)
=
1
(1-e -s
∞
+2e
-st
-s
-2e
1
-3s
+e
-3s
-e
-st
-4s
)=(1+e -s
s
3
-st
1
-e 1s
-3s
-e
-st 1
-4s
)
-st 2
1
F 3(s )=
=
⎰0
s
f 3(t )e
dt =
-s
⎰0
e
-st
dt +2⎰e
1
2
dt +3⎰e
2
-3s
dt =-
(e
+2e +3e
-st 3
2
)
1
(1-e -s
+2e -2e
-2s
+3e
-2s
-3e
)=(1+e -s
s
1
+e
-2s
-3e
-3s
)
4.2拉普拉斯变换的物理意义与傅里叶变换的物理意义有何不同？ 解：傅里叶变换的物理意义：任何信号f (t )=可表示为无穷多个幅度为
F (j ω)2π
d ω
12π
⎰-∞
∞
F (j ω)e
j ωt
d ω=
⎰-∞
∞
F (j ω)2π
d ω⋅e
j ωt
均
（无穷小、等幅）的谐振荡信号e j ωt 之和。
拉普拉斯变换的物理意义：任何信号f (t )=可表示为无穷多个幅度为
F (j ω)2π
d ω⋅e
σt
⎰2π j σ
1
σ+j ∞-j ∞
F (s )e ds =
st
⎰
∞
F (j ω)2π
-∞
d ωe
σt
⋅e
j ωt
均
（无穷小、变幅）的谐振荡信号e j ωt 之和。
它们的差别是：傅里叶变换是等幅的，拉普拉斯变换是变幅的。 4.3求题图4.3所示各信号的拉普拉斯变换。
题4.3图
解：f 1(t )=t [u (t )-u (t -2)]
F 1(s )=
⎰
∞
f 1(t )e
-st
dt =
⎰
2
te
-st
dt =-te
s
1
2-st
+
1s
⎰
2
e
-st
dt =-
2s
e
-2s
-
1s
2
2
e
-st
=
1s
2
(1-e -2s
-2se
-2s
)
1s
或f 1(t )=tu (t )-(t -2)u (t -2)-2u (t -2)，u (t )
，tu (t )
1s
2
F 1(s )=
1s
2
-
1s
2
e
-2s
-
2s
e
-2s
=
1s
2
(1-e -2s
1s =e
-2se
-2s
)
f 2(t )=f 1(t )+2u (t -2), u (t -2)F 2(s )=
1s
2
-2s
(1-e -2s
-2se
-2s
)+
2s
e
-2s
1s
2
(1-e -2s )
1s
2
或f 2(t )=tu (t )-(t -2)u (t -2)，F 2(s )=
-
1s
2
e
-2s
=
1s
2
(1-e -2s )
f 3(t )=tu (t )-2(t -2)u (t -2)+(t -4)u (t -4) F 3(s )=
1s
2
-
2s
2
e
-2s
+
1s
2
e
-4s
=
1s
2
(1-2e -2s
+e
-4s
)=
1s
2
(1-e -2s )
2
4.4求下列各信号的拉普拉斯变换。
⑴ tu (t )； ⑶ te -2t u (t )； 解：⑴tu (t )⑶ e
-2t
⑵ t 2u (t )； ⑷ t 2e -2t u (t )。
2s
3
1s
2
； ⑵ t 2u (t )；
d ⎛1⎫1
； ⎪=2
ds ⎝s +2⎭(s +2)
u (t )
1s +2
，由频域微分特性：te -2t u (t )-
⑷ t 2e -2t u (t )-
d ⎛12⎫
= ⎪23
ds ⎝(s +2)⎭(s +2)
4.5已知信号f (t )的拉氏变换是F (s )，试利用拉氏变换的性质求下列各信号的拉普拉斯变换。
⑴ f (t -2)； ⑶f (2t -3)；
⑵ f (2t )； ⑷ tf (t -2)；
⑸ (t -2)f (t -2)。
解：⑴ 由时移特性：f (t -2)e -2s F (s )； ⑵ 由展缩特性：f (2t )
1
⎛1⎫
F s ⎪； 2⎝2⎭
-3s
⑶ 由时移特性：f (t -3)e F (s )、由展缩特性：f (2t -3)
12
e
-
32
s
⎛1⎫
F s ⎪； ⎝2⎭
⑷ 由时移特性：f (t -2)e -2s F (s )、
由复频域微分特性：tf (t -2)-
d ds
[e
-2s
F (s )]=2e
-2s
F (s )-e
-2s
F '(s )
⑸ 由复频域微分特性：tf (t )-F '(s )、由时移特性：(t -2)f (t -2)-e -2s F '(s )
或(t -2)f (t -2)=tf (t -2)-2f (t -2)，由前面的结果及线性特性可得： (t -2)f (t -2)[2e -2s F (s )-e -2s F '(s )]-2e -2s F (s )=-e -2s F '(s )
4.6与4.3相同
4.7求题图4.7所示各信号的拉普拉斯变换。
题4. 7图
解：f 10(t )=sin t [u (t )-u (t -π)]=
F 10(s )=
12j
(e jt
-e
-e
-jt
-jt
)[u (t )-u (t -π)]，周期T
=
=π
⎰
∞
f 10(t )e
-st
dt =
(e jt ⎰2j 0
-(s +j )t
1
π
)e -st dt
-πs
(e
2j ⎰
1
π
(-s +j )t
-e
-(s +j )t
)dt
1⎡e e ⎤=-+⎢2j ⎣s -j s +j ⎥⎦
(-s +j )t
π
=
1+e
2
s +1
f 1(t )=f 10(t )+f 10(t -π)+f 10(t -2π)+
∴F 1(s )=(F 10(s )+F 10(s )e -πs +F 10(s )e -2πs + )=F 10(s )(1+e -πs +e -2πs + )
=
1+e
-πs
(1-e -πs )(s 2+1)
f 20(t )=f 10(t )=sin t [u (t )-u (t -π)]，周期T =2π F 20(s )=F 10(s )=
1+e
2
-πs
s +1+1)
=
1
∴F 2(s )=
1+e
-πs
(1-e -2πs )(s 2(1-e -πs )(s 2+1)
f 30(t )=f 10(t -π)，周期T =2π F 30(s )=F 10(s )e
-πs
=
1+e
2
-πs
s +1e
-πs
e =
-πs
e
-πs
∴F 3(s )=
1+e
-πs
(1-e -2πs )(s 2+1)(1-e -πs )(s 2+1)
4.8求下列拉普拉斯变换式的原函数。
⑴F 1(s )=解：⑴F 1(s )=
s +4s +4s +3
s +4s
2
2
； ⑵F 2(s )=
=
s +4
14
(s +2)(s +4)(s +7)
+4s +3
(s +1)(s +3)
=
A s +1
+32
B s +3
s +4s +1
s =-3
其中：A =F 1(s )(s +1)s =-1=∴f (t )=⑵F 2(s )=
12
s +4s +3
s =-1
=
，B =F 1(s )(s +3)s =-3=
=-
12
(3e -t
-e
-3t
)u (t )
=
A s +2
+
B s +4
+
C s +7
14
(s +2)(s +4)(s +7)
75
其中：A =F 2(s )(s +2)s =-2=
14
(s +4)(s +7)
=
s =-2
B =F 2(s )(s +4)
=
14
=-
s =-4
73
s =-4
(s +2)(s +7)
14
C =F 2(s )(s +7)
-2t
∴f (t )=⎛- e
s =-7
=
(s +2)(s +4)
e
-7t
=
s =-7
1415
773
⎝5
e
-4t
+
1415
⎫
⎪u (t ) ⎭
4.9 求下列拉普拉斯变换式的原函数。
⑴ F 1(s )=s +6s +3s +5s +3；⑵ F 2(s )=
5
4
2
s +5s +9s +4s +3s +2
2
32
解：⑴f 1(t )=δ(5)(t )+6δ(4)(t )+3δ''(t )+5δ'(t )+3δ(t ) ⑵F 2(s )=
s +5s +9s +4s +3s +2
23
2
=s +2+
-t
s s +3s +2
-2t 2
=s +2-
1s +1
+
2s +2
f 2(t )=δ'(t )+2δ(t )-e u (t )+2e
u (t )
4.10 求下列拉普拉斯变换式的原函数。
⑴ F 1(s )=解：⑴⑵
4
4s +4
2
4e
-4s
s +4
-4t
；⑵ F 2(s )=
4e
-4s
2
(s +4)
-4(t -4)
；⑶ F 3(s )=
e
-s
2
(s +1)
⋅
11-e
-2s
4e
u (t ), f 1(t )=4e
u (t -4)
-4(t -4)
(s +4)
e
-s
4te
-4t
u (t ), f 2(t )=4(t -4)e
u (t -4)
⑶
(s +1)
2
(t -1)e
-(t -1)
u (t -1)
-(t -3)
f 3(t )=(t -1)e
∞
-(t -1)
u (t -1)+(t -3)e
-(2i -1)
u (t -3)+(t -5)e
-(t -5)
u (t -5)+
=
∑(2i -1)e
i =1
u (2i -1)
第五章
5.2 给定信号:
⎧n +3, ⎪
x (n ) =⎨3,
⎪
, ⎩0
-4≤n ≤-10≤n ≤3其它
1. 画出序列x (n ) 的波形, 标出各序列值 2. 试用单位抽样序列δ(n ) 及其加权和表示x (n ) . 3. 令x 1(n ) =2x (n -2) , 试画出x 1(n ) 的波形 4. 令x 2(n ) =x (n +3) , 试画出x 2(n ) 的波形 5. 令x 3(n ) =x (3-n ) , 试画出x 3(n ) 的波形
解：（只需做1、5小题） 1.
2．x (n ) =-δ(n +4) +δ(n +2) +2δ(n +1) +3δ(n ) +3δ(n -1) +3δ(n -2) +3δ(n -3) 3． 4． 5．
x 3(n )
x (n )
x 1(n )
x 2(n )
5.3 已知序列如图所示
1. 画出x 1(n ) =x (2n ) 的波形, 并标出各序列值 2. 画出x 2(n ) =x (n ) u (2-n ) 的波形, 并标出各序列值 3. 画出x 3(n ) =x (n -1) δ(n -3) 的波形, 并标出各序列值 解： 1． 2． 3.
x 1(n )
x 2(n )
x 3(n )
5.4 判断下面序列是否是周期序列, 如是周期的, 确定其周期.
3π
1. x (n ) =A cos(πn -) ,A 是常数
1π6j(n -) 7842. x (n ) =e 解：1。
k =3时，N =14 ω0=∴
37
π
143k
N =2πk /ω0=
周期为14 2．
5.5 已知线性时不变系统的单位脉冲响应为h (n ) , 当输入为x (n ) 时，系统输出为y (n ) =x (n ) *h (n ) ，试分别求下面几种情形的系统输出y (n ) 。
ω0=
18
∴N =2πk /ω0=16k π
所以是非周期的
2. h (n ) =0.5n u (n ) , x (n ) =R 4(n )
3. h (n ) =-δ(n ) +2δ(n -1) +δ(n -2) , x (n ) =2δ(n ) -δ(n -1) 解：2.
∞
∞
y (n ) =
∑
m =-∞
h (m ) x (n -m ) =
∑0.5
m =0
m
R 4(n -m )
当n
当n ≥4时，
n -3
∞
y (n ) =
=
∑0.5
m =0n
m
[u (n -m ) -u (n -m -4)]=2-0.5
n
∑0.5
m =0
n
m
y (n ) =
∑0.5
m =n
m
=15*0.5
2
5．
∞
y (n ) =
∑
m =-∞
h (m ) x (n -m ) =
∑h (m ) x (n -m )
m =0
y (n ) =-2δ(n ) +5δ(n -1) -δ(n -3)
第六章
6.2试求如下序列的傅里叶变换:
2. x 2(n ) =δ(n +1) +2δ(n ) +δ(n -1) 4. x 4(n ) =u (n +3) -u (n -4) 解： 2． 4．
6.4 已知
j ω3
δ(n ) 1∴
X 2(e
j ω
) =e
j ω
+2+e
-j ω
=2+2cos ω
∞
X 4(e
j ω
) =
∑
n =-∞
[u (n +3) -u (n -4)]e
-j ωn
=
∑
n =-3
e
-j ωn
=
e
j ω3
-e
-j ω4
1-e
-j ω
7
sin(ω)
=
1sin(ω)
2
|ω|
) =⎨
ω0
2．X 2(e ) =1+2cos ω+3cos 2ω
1． X 1(e
解： 1． 2．
X 2(e
j ω
x (n ) =
12π
⎰ω
-
ω0
e
j ωn
d ω=
sin ω0n
πn
j ω
) =1+2cos ω+3cos 2ω=1+(e
32
+e
-j ω
) +32
32
(e
j 2ω
+e
-j 2ω
)
x 2(n ) =δ(n ) +δ(n +1) +δ(n -1) +
δ(n +2) +δ(n -2)
6.15 计算以下各序列的N 点DFT, 在变换区间0≤n ≤N -1内, 序列定义为 2.x (n ) =δ(n -n 0),
2π
m n ), 5. x (n ) =cos(N n
9. x (n ) =a R N (n ) 解： 2． 5．
N -1
0
0
X (k ) =
∑δ(n -n
n =0
) W N =W N 0,
j 2πN m n
nk kn
k=0, 1, , N-1
x (n ) =cos(
N -1
2πN e
j 2πN
m n ) =
m n
e +e 2
-j
2πN
m n
X (k ) =
∑
n =0
+e 2
-j
2πN
m n
e 12
-j
2πN
nk
=
12
N -1
∑e
n =0
-j
2πN
n (k -m )
N -1
+
∑e
n =0
-j
2πN
n (k +m )
考虑到k 的取值区间, 可得 9．
⎧N ⎪
X (k ) =⎨2
⎪0⎩
N -1
k =m , N -m 其他k , k ∈[0,N -1]
nk N
X (k ) =
∑a
n =0
n
W =
1-a W N 1-aW N
N kN
k
=
1-a
N k N
1-aW
, k=0, 1, , N -1
6.16 设x (n ) =R 6(n )
1．求X (e j ω) =FT [x (n )]，画出它的幅频特性和相频特性（标出主要坐标值）。 2．求X 1(K ) =D FT [x ((n )) 12R 12(n )]，并画出它的幅频特性 3．求X 2(K ) =D FT [(-1) n x ((n )) 12R 12(n )]，并画出它的幅频特性 解： 1． 2．
5
N -1
N -1N -1
-j ωn
X (e
j ω
) =
∑x (n ) e
n =0
=
∑
n =0
e
-j ωn
=
1-e
-j ωN -j ω
1-e
=e
-j 5ω/2
sin(3ω) sin ω/2
/π/π
X 1(K ) =D FT [x ((n )) 12R 12(n )]=
=
∑x (n ) W
n =0-jk π-jk π/6
nk
N
∑W
n =0-j
512
nk N
=
1-W N k πk π12
kN /2k N
1-W
)
=
1-e 1-e
=e
k π
sin(sin(
k =0,1, 11)
3. 令
6.26 已知有限长序列x (n ) =δ(n ) +2δ(n -2) +2δ(n -5) 1. 求它的10点离散傅里叶变换X (k )
3k
2. 已知序列y (n ) 的10点离散傅里叶变换为Y (k ) =W 10X (k ) ，求序列y (n )
x 1(n ) =x ((n )) 12R 12(n ) (-1) x ((n )) 12R 12(n ) =e
n
n
jn π
x 1(n ) =e
-j
2π12
n (-6)
x 1(n )
∴D FT [(-1) x ((n )) 12R 12(n )]=X 1((k -6)) R 12(k )
3. 已知序列z (n ) 的10点离散傅里叶变换为Z (k ) =X (k ) Y (k ) ，求序列z (n ) 。
2k 5k
解：1。X (k ) =1+2W 10+2W 10
k =0,1, , 9
2． 3k
Y (k ) =W 10X (k )
∴y (n ) =x ((n -3)) 10R 10(n ) =δ(n -3) +2δ(n -5) +2δ(n -8) 3．
6.30 长为12的序列，定义在0≤n ≤11上： x (n ) ={3,-1, 2, 3, 4, -3, -1, 0, 2, -4, 6, 3}
2k
5k
3k
5k
8k
Z (k ) =X (k ) Y (k ) =(1+2W 10+2W 10)(W 10+2W 10+2W 10)
=8+5W 10+4W 10+4W 10+4W 10
∴
3k
5k
7k
8k
z (n ) =8δ(n ) +5δ(n -3) +4δ(n -5) +4δ(n -7) +4δ(n -8)
该序列有一个12点的离散傅里叶变换，X (k ) =DFT[x(n)],0≤k ≤11，要求在不计算离散傅里叶变换的条件下，求出下面的值
11
1．X (0) 2. X (6) 3. ∑X (k )
11
4. ∑e 解： 2． 3．
11k =0
-j (4πk /6)
X (k ) 5. ∑
11
k =0
2
|X (k ) |
N -1
k =0
X (k ) =x (n ) =
N -1
∑
n =0
x (n ) W N
kn
1N
N -1
∑
k =0
X (k ) W N
-kn
1．X (0)=
X (6)=
∑
n =0N -1
x (n ) =14
N -1
∑
n =0
x (n ) W
nN /2N
=
∑
n =0
x (n )(-1) =18
n
N -1
∴
∑
k =0N -1
X (k ) W N
-kn
=N x (n )
∑
k =0
X (k ) =N x (0)=36
11
4．∑e
k =011
-j (4πk /6)
X (k ) =
11
∑
k =0
X (k ) e
-j
2π12
4k
11
=
∑
k =0
X (k ) e
j
2π12
8k
=N x (8)=24
5．∑
k =0
|X (k ) |=N ∑
n =0
2
|x (n ) |=1368
2
6.34两个有限长序列x (n ) 和y (n ) 的零值区间为
x (n ) =0, y (n ) =0,
n
对每个序列作15点DFT ，即
X (K ) =D FT [x (n )]Y (K ) =D FT [y (n )]F (k ) =X (k ) Y (k ) f (n ) =ID FT [F (k )]
k =0,1, ,14k =0,1, ,14k =0,1, ,14k =0,1, ,14
如果
试问在哪些点上f (n ) =x (n ) *y (n ) ？为什么？ 解：设f l (n ) =x (n ) *y (n )
∞
f (n ) =x (n ) ⊗y (n ) =[∑f l (n +15r )]R 15(n )
只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足f (n ) =f l (n )
f (n ) =f l (n ) =x (n ) *y (n )
当5≤n ≤14时
r =-∞
6.39 用微处理机对实数序列作谱分析，要求谱分辨率F ≤10H z ，信号最高频率为1kH z ，
试确定以下各参数：
1．最小记录时间Tp 2. 最大抽样间隔Tmax 3. 最少抽样点数Nmin 4 在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N 值。 解：
T pm in=N m in =
T pm in=T m ax =N m in =
1F
=0.1s 1
==
12f m ax
0.10.5*10
-3
fs m in T pm in T m ax
=0.5m s =200
因为频带宽度不变，所以Tp 要提高
15=0.2s
=
0.20.5*10
-3
T pm in T m ax
=400
第七章
7.1求序列f (n )=u (n )-(n -1)u (n -1)的z 变换。 解： ∵ u (n )
z z -1
d ⎛z ⎫z
⎪=2
dz ⎝z -1⎭(z -1)
z
=
1
由z 域微分特性可得：nu (n )-z
由序列移位特性可得：(n -1)u (n -1)z -1
(z -1)
z
2
(z -1)
1
2
=
z -z -1
2
∴由线性特性：f (n )=u (n )-(n -1)u (n -1)
1⎫
7.2求序列f (n )=⎛ ⎪
⎝3⎭
n n -1
z -1
-
(z -1)
2
(z -1)
2
u (n -1)的z 变换。
⎛1⎫
解： ∵ f (n )= ⎪u (n )
⎝3⎭
z z -
13
n -1
=
3z 3z -1
⎛1⎫
∴由序列移位特性：f (n )= ⎪
⎝3⎭
n
u (n -1)
3z 3z -1
⋅z
-1
=
33z -1
1⎫
7.3求序列f (n )=3u (n )+⎛ ⎪u (n )的z 变换。
⎝3⎭
n
⎛1⎫
解：∵ 3u (n )， ⎪u (n )
⎝3⎭z -3
n
z
n
z z -
13
=
3z 3z -1
z 3z ⎛1⎫
+∴由线性特性：f (n )=3u (n )+ ⎪u (n ) z -33z -1⎝3⎭
n
n
1⎫
7.4求序列f (n )=⎛ ⎪u (n )+δ(n )的z 变换。
⎝2⎭
n
1⎫
解： ∵ f (n )=⎛ ⎪u (n )
⎝2⎭
n
n
z z -
12
=
2z 2z -1
，δ(n )1
1⎫
∴由线性特性：f (n )=⎛ ⎪u (n )+δ(n )
⎝2⎭
n
2z 2z -1
+1
7.5求序列f (n )=0. 5u (n )+0. 5(-1)u (n )的z 变换。 解： ∵ u (n )∴由线性特性：
z z -1
，(-1)n u (n )
z z +1
n
2
z ⎫z ⎛z
f (n )=0. 5u (n )+0. 5(-1)u (n )0. 5 +⎪=2
⎝z -1z +1⎭z -1
n
7.6求序列f (n )=(-3)u (-n )的z 变换。 解： ∵ u (n )
z z -1
z z
-1-1
由n 域反转特性可得：u (-n )
-1
=
11-z
11-
z -3
=
3z +3
∴ z 域尺度变换特性：f (n )=(-3)u (-n )
n
7.7求序列f (n )=u (n -1)-u (n -5)的z 变换。 解：∵ u (n )
z z -1
，
z z -1
⋅z
-1
∴由序列移位特性：u (n -1)
=
1z -1
，u (n -5)
-4
z z -1
⋅z
-5
=
z
-4
z -1
由线性特性：f (n )=u (n -1)-u (n -5)
1+z
z -1
7.8求序列f (n )=( 23157 )的z 变换。
∞
解：由定义式可得：f (n )∑f (n )z -n =2+3z -1+z -2+5z -3++7z -4
n =-∞
1⎫
7.9求序列f (n )=n ⎛ ⎪u (n )的z 变换。
⎝3⎭
n
n
1⎫解： ∵ f (n )=⎛ ⎪u (n )
⎝3⎭
z z -
13
=
3z 3z -1
∴由z 域微分特性可得：
1⎛⎫
z ⎪d z ⎛1⎫3 ⎪=f (n )=n ⎪u (n )-z 2
1⎪⎛dz ⎝3⎭1⎫z - ⎪ z -⎪⎝3⎭⎝3⎭
n
1⎫
7.10求序列f (n )=n ⎛ ⎪u (n -1)的z 变换。
⎝3⎭1⎫
解： ∵ f (n )=(n -1)⎛ ⎪
3⎝3⎭
1
n -1
n
1⎛1⎫
u (n -1)+ ⎪
3⎝3⎭
n -1
n -1
u (n -1)
1
1
2
1⎫
由序列移位特性可得：(n -1)⎛ ⎪
⎝3⎭
u (n -1)z
-1
3
z
=
31⎫⎛
z -⎪
3⎭⎝
2
1⎫⎛
z -⎪
3⎭⎝
⎛1⎫
⎪⎝3⎭
n -1
u (n -1)z
-1
z z -
13
=
1z -
13
∴由线性特性：
⎡⎤11
z
1⎢1⎥⎛1⎫33⎥=f (n )=n ⎪u (n -1)⎢+22
13⎢⎛⎝3⎭1⎫1⎫⎥⎛z - z -⎪ z -⎪⎢3⎥⎣⎝⎦⎝3⎭3⎭
n
7.11求F (z )=
21-0. 5z
21-0. 5z
n
-1
（ z >0. 5）的原序列f (n )。
=
2z z -0. 5
解：∵ F (z )=
-1
∴f (n )=2(0. 5)u (n ) 7.12求F (z )=
z -21-2z
（ z >0. 5）的原序列f (n )。
=2-z 2z -1
=
1z -0. 5
n
解：∵ F (z )=
z -21-2z
n -1
-
0. 5z z -0. 5
=
0. 75z -0. 5
n -1
-0. 5
∴f (n )=(0. 5)
u (n -1)-0. 5(0. 5)u (n )=0. 75(0. 5)
n
u (n -1)-0. 5δ(n )
=3(0. 5)u (n -1)-0. 5δ(n )
7.13求F (z )=
z
2
2
z +3z +2
（ z >2）的原序列f (n )。
=-
z z +1
n
解：∵ F (z )=
z
2
2
z +3z +2
n
+
2z z +2
n +1
∴f (n )=-(-1)u (n )+2(-2)u (n )=[(-1)7.14求F (z )=
z
2
2
-(-2)
n +1
]u (n )
z +3z +2
（1
=-
z z +1
n
解：∵ F (z )=
z
2
2
z +3z +2
n
+
2z z +2
n +1
∴f (n )=-(-1)u (n )-2(-2)u (-n -1)=(-1)7.15求F (z )=
z
2
2
u (n )+(-2)
n +1
u (-n -1)
z +3z +2
（ z
=-
z z +1
+
n
解：∵ F (z )=
z
2
2
2z z +2
z +3z +2
n
n
n +1
∴f (n )=(-1)u (-n -1)-2(-2)u (-n -1)=[(-1)+(-2)
]u (-n -1)
7.16求F (z )=
z +z +1z +3z +2
2
2
（ z >2）的原序列f (n )。
+32
n
解：∵ F (z )=
∴f (n )=7.17求F (z )=解：∵
2z z +1
12
12
-
z z +1
⋅
z z +2
32
δ(n )-(-1)u (n )+2
(-2)u (n )
n
z +1
（ z >1）的原序列f (n )。
n
2(-1)u (n )
n -1
∴由位移特性可得f (n )=2(-1)7.18求F (z )=解：∵
2z z +1
2z +1
u (n -1)
（ z
n
-2(-1)u (-n -1)
n -1
n -1
∴f (n )=-2(-1)7.19求F (z )=
z
22
u (-(n -1)-1)=-2(-1)
u (-n )
z -1
（ z >1）的原序列f (n )。
解： ∵ F (z )=
∴f (n )=
7.20求F (z )=
12z
2
1⎡z z ⎤
+
2⎢⎣z -1z +1⎥⎦
[1+(-1)]u (n )
n
2
z -1
（ z
解：∵ F (z )=
∴f (n )=-
1⎡z z ⎤
+
2⎢⎣z -1z +1⎥⎦12
[1+(-1)]u (-n -1)
n