函数性质之函数的奇偶性
数学专题之函数的奇偶性
一、知识回顾:
1、函数的奇偶性:
(1)对于函数f (x ) ,其定义域关于原点对称:
如果 ,那么函数f (x ) 为奇函数;
如果 ,那么函数f (x ) 为偶函数。
(2)奇函数的图象关于_________对称,偶函数的图象关于_________对称。
(3)奇函数在对称区间的增减性 ;若x =0在定义域中,则f (0) = ; 偶函数在对称区间的增减性 。
二、基本训练:
1、以下五个函数:(1)y =
(5)y =log 2(x +
_________。
2、函数y =ax +bx +c 是偶函数的充要条件是___________。
7533、已知f (x ) =ax +bx +cx +dx +5,其中a , b , c , d 为常数,若f (-7) =-7, 214x (x ≠0) ;(2)y =x +1;(3)y =2;(4)y =log 2x ; x x 2+1) ,其中奇函数是______,偶函数是______,非奇非偶函数是
则f (7) = 。
4、若函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数,则函数F (x ) =f (x ) +f (x ) 的图象关于( )
A .x 轴对称 B.y 轴对称 C.原点对称 D.以上均不对
5、函数F (x ) =(1+2) f (x )(x ≠0) 是偶函数,且f (x ) 不恒等于零,则f (x ) ( ) 2x -1
A .是奇函数 B.是偶函数
C .可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数
三、例题分析:
例1、(1)如果定义在区间[3-a , 5]上的函数f (x ) 为奇函数,则a = ;
(2)若f (x ) =2-2x -x lg a 为奇函数,则实数a = ;
(3)若函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数,且当x ∈(0, +∞) 时,f (x ) =x (1+x ) ,那么当
x ∈(-∞, 0) 时,f (x )
(4)设f (x ) 是(-∞, +∞) 上的奇函数,f (x +2) =-f (x ) ,当0≤x ≤1时,f (x ) =x ,则f (47. 5) 等于( )
A .0.5 B.-0. 5 C.1.5 D.-1. 5
例2、判断下列函数的奇偶性
1-x 2
(1)f (x ) =x -; (2)f (x ) =; ; x |x +2|-2
例3、设f (x ) 是定义在R 上的奇函数,且f (x +2) =-f (x ) ,又当-1≤x ≤1时,f (x ) =x 3,当x ∈[1, 5]时,求f (x ) 的解析式。
例4、已知函数f (x ) 满足f (x +y ) +f (x -y ) =2f (x ) f (y )(x , y ∈R ) ,且f (0) ≠0,试证:f (x ) 是偶函数.
四、巩固练习
1、若y =f (x ) 在x ≥0上的表达式为y =x (1-x ) ,且y =f (x ) 为奇函数,则x ≤0时y =f (x ) 等于 ( )
A 、-x (1-x ) B、x (1+x ) C、-x (1+x ) D、x (x -1)
2、已知奇函数f (x ) 在区间[3,7]上是增函数,且最小值是5,那么f (x ) 在区间[-7, -3]上是 ( )
A 、增函数且最小值是-5; B、增函数且最大值是-5;
C 、减函数且最小值是-5; D、减函数且最大值是-5.
3、若q (x ), g (x ) 均为奇函数,f (x ) =aq (x ) +bg (x ) +1在(0, +∞) 上有最大值5,则在(-∞, 0) 上f (x ) 有 ( )
A 、最小值-5 B、最小值-2 C、最小值-3 D、最大值-5
4、已知y =f (x ) 是偶函数,y =f (x -2) 在[0,2]上单减,则 ( )
A 、f (0)
C 、f (-1)
5、若f (x ) 是偶函数,在x 0, 且|x 1|
A 、f (-x 1) >f (-x 2) B、f (-x 1)
C 、f (-x 1) =f (-x 2) D、f (-x 1) ≥f (-x 2)
6、若f (x ) =1+a (x ∈R 且x ≠0为奇函数,则a =_______________. 2x -1
27、已知f (x ) =ax +bx +3a +b 是偶函数,且定义域为[a -1, 2a ],则a =__________,
b =__________.
8、若f (x ) 是偶函数,当x ≥0时,f (x ) =x -1,则f (x -1)
9、定义在(-1, 1) 上的奇函数f (x ) =
x +m ,则常数m =____,n =_____ x 2+nx +1
10、 定义在[-2, 2]上的偶函数g (x ) ,当x ≥0时,g (x ) 为减函数,若g (1-m )
11、已知f (x ) =x (11+) 2x -12
(1)判断f (x ) 的奇偶性; (2)证明:f (x ) >0
2,1]上的函数y =f (x ) 是减函数, 12、定义在[-1且是奇函数,若f (a -a -1) +f (4a -5) >0,
求实数a 的范围。