事故树概率分析
顶上事件发生概率的计算
有了各基本事件的发生概率,就可计算顶上事件的发生概率。 1 利用最小割集计算顶上事件的发生概率。
(1) 在事故树的定性分析中,给出了最小割集的求法,以及用最小割集表示的事故树等效图。等效图的标准结构形式是顶上事件T 与最小割集Ei 的连接为或门,每个最小割集Ei 与其基本事件Xi 的连接为与门。如下图:
如果各最小割集中没有重复的基本事件,则顶上事件g 的概率可按下式计算:
k
g = ∏ · ∏q i r=1 x i ∈k r
式中 i — 基本事件的序数; r — 最小割集的序数; k — 最
小割集的个数
xi ∈k r — 第i 个基本事件属于第r 个最小割集;
∏ — 求概率积; ∏ — 求概率和。 此事故树4个最小割集彼此没有重复事件,故可用上式计算顶上事件发生的概率: k
g = ∏ · ∏q i = 1-(1-q 1q 2)(1-q 3q 4)(1-q 5q 6)(1-q 7q 8) r=1 x i ∈kr
式中,q 1……q 8,分别为各基本事件X 1……X 8的发生概率。
由此,我们得出结论,在事故树各最小割集没有重复事件的情况下,顶上事件的发生概率等于各最小割集的概率和,即: g = 1-(1-qk 1)(1-qk 2)(1-qk 3)(1-qk 4) 式中,qk 1……qk 4,分别为各最小割集的发生概率。
(2)如果事故树各最小割集有重复事件,则应这样计算。 例 某事故树有3个最小割集:K 1={X 1,X 3},K 2={X 2,X 3},K 3={X 3,X 4},则该事故树的结构函数式为:T = K1 + K2 + K3,则概率
g=1-(1-qk 1)(1-qk 2)(1-qk 3)=qk 1+qk2+qk3 -(qk 1qk 2+qk1qk 3+qk2qk 3)+ qk1qk 2qk 3
对于qk 1qk 2,它是K 1、K 2交集的概率,即X 1·X 3·X 2·X 3,根据布尔代数幂等律,
X1·X 3·X 2·X 3 = X1·X 2·X 3,
故 qk 1qk 2 = qk1qk 2qk 3,同理qk 2qk 3 = qk2qk 3qk 3,qk 1qk 3= qk1qk 3qk 4,
qk 1qk 2qk 3= qk1qk 2qk 3qk 4
因此,遇到有最小割集彼此有重复事件时,就必须消去每个概率积的重复因子,按下式计算:
k k
g = ∑ ∏q i - ∑∏q i + … + (-1)k-1 ∏q i
r=1 x i ∈k r 1≤r
例 设某事故的最小割集为{X 1,X 2},{X 1,X 3},{X 2,X 4,X 5},其发生概率分别为:q 1=0.01,
q 2 = 0.02,q 3 = 0.03,q 4 = 0.04,q 5 = 0.05,求 顶上事件的发生概率。
解 K1 = {X 1,X 2},K 2 = {X 1,X 3},K 3 = {X 2,X 4, X5}
g = 1-(1-qk 1)(1-qk 2)(1-qk 3)= qk 1+qk2+qk3 -(qk 1qk 2+qk1qk 3+qk2qk 3)+ qk1qk 2qk 3
=(q 1q 2+ q1q 3+ q2q 4q 5)-(q 1q 2q 3+q1q 2q 4q 5+q1q 2q 3q 4q 5)+ q1q 2q 3q 4q 5 = q 1q 2 + q1q 3 + q2q4q 5 - q1q 2q 3 - q1q 2q 4q 5 = 0.0005336
事故树概率重要度分析
结构重要度是从事故树的结构上分析各基本事件的重要程度。如果进一步考虑各基本事件发生概率的变化会给顶上事件发生概率以多大影响,就要分析基本事件的概率重要度。我们利用顶上事件发生
概率g 函数是一个多重线性函数这一性质,只要对自变量q i 求一次偏导,就可得到该基本事件的概率重要系数,即:
Ig (i )= δg/δq i
当我们利用上式求出各基本事件的概率重要系数后,就可以了解,诸多基本事件,减少哪个基本事件的发生概率可以有效地降低顶上事件的发生概率。
例 设某事故树最小割集为{X1,X 3},{X1,X 5},{X3,X 4},{X2,X 4,X 5},各基本事件发生概率分别为,q 1=0.01, q2=0.02, q3=0.03, q 4=0.04, q5=0.05。求各基本事件达到概率重要系数。
解:顶上事件发生概率g 函数为: g=
(
q 1q 3+q1q 5+q3q 4+q2q 4q 5
)
-
(q 1q 3q 4+q1q 3q 5+q1q 2q 3q 4q 5+q1q 3q 4q 5+q1q 2q 4q 5+q2q 3q 4q 5)
+ (q 1q 3q 4q 5+q1q 2q 3q 4q 5+q1q 2q 3q 4q 5+q1q 2q 3q 4q 5)- q1q 2q 3q 4q 5 = q1q 3 + q1q 5 + q3q 4 + q2q 4q 5 - q1q 3q 4 - q1q 3q 5 - q1q 2q 4q 5 - q2q 3q 4q 5
+ q1q 2q 3q 4q 5
这样,我们就可以计算出各基本事件的的概率:
Ig (1)= δg/δq 1 = q3 + q5 + 0 + 0 - q3q 4 - q3q 5 - q2q 4q 5 – 0 + q 2q 3q 4q 5 = 0.773
Ig (2)= δg/δq 2 = 0 + 0 + q 4q 5 - 0 - 0 - q 1q 4q 5 - q 3q 4q 5 + q 1q 3q 4q 5 = 0.0019
Ig (3)= δg/δq 3 = q 1+ 0 + q 4 + 0 - q 1q 4 - q 1q 5 - 0 - q 2q 4q 5 + q 1q 2q 4q 5
= 0.049
Ig (4)= δg/δq 4 = 0+ 0 + q3+ q2q 5 - q1q 3 - 0 - q1q 2q 5 - q2q 3q 5
+ q1q 2q 3q 5=0.031
Ig (5)= δg/δq 5 = 0 + q1+ 0 + q2q 4 - 0 - q1q 3 - q1q 2q 4 - q2q 3q 4
+ q1q 2q 3q 4=0.010
这就是说, 缩小基本事件X 1的发生概率, 能使顶上事件的发生概率下降速度较快, 它比以同样数值缩小其它任何基本事件的发生概率都有效. 其次是X 3、X 4、X 5,最不敏感的是X 2。
从概率重要系数的求取,可以看到这样的事实,一个基本事件的概率重要度大小,并不取决于它本身的概率值大小,而取决于它所在最小割集中其他基本事件的概率积的大小。