中学数学概念教学的情景设计

教学情景设计

2005年第10期(总第140期)

中学数学概念教学的情景设计

濮安山

(哈尔滨师范大学数学与计算机科学学院, 黑龙江哈尔滨150080)

[摘 要]学生对数学概念认知的每个环节都体现着情景的因素, 包括有助于数学概念引入的情景(包括用观察的情景引入概念, 用实际问题的情景引入概念和用操作的情景引入概念) ; 有助于概念形成的情景; 有助于概念下定义的情景及有助于概念理解的情景。

[关键词]数学; 概念; 教学; 情景[中图分类号] G633 6

[文献标识码] A [文章编号] 1002-1477(2005) 10-0019-04

一、问题的提出

概念是认识的高级产物, 是反映客观对象一般本质属性的思维形式, 数学概念则是客观对象的数量关系和空间形式的本质属性的反映, 是反映一类对象本质属性的思维形式, 是人们通过实践, 从数学研究对象的许多属性中, 抽象出其本质属性, 做高度概括而成的。我们说无论初等概念还是高等概念都根植于客观世界, 有着很深的现实背景。但高等数学概念呈现给学生的基本上都是全新的概念, 多以运动的面貌呈现出来, 对概念的研究无论从内涵还是外延要求都很高, 而初等数学的概念多以其他概念为基础, 可以在现实生活中找到概念存在的背景, 并且对概念的要求是相对较低的。

所谓数学情景, 就是从事数学活动的环境, 产生数学行为的条件。它提供的信息, 通过联想、想象和反思, 发现数量关系与空间形式的内在联系, 进而提出问题、研究问题、解决问题的策略和方

法。同时伴随着一种积极的情感体验, 其表现为对新知识的渴求、对客观世界的探索欲望、对数学的热爱等。

所谓创设数学情景, 就是呈现给学生刺激性

数学信息, 引起学生学习数学的兴趣, 启迪思维, 激起学生的好奇心、发现欲, 产生认知冲突, 诱发质疑猜想, 唤起强烈的问题意识, 从而使其发现和提出数学问题, 分析和探讨数学问题, 运用所学知识解决数学问题。

所以在中学数学概念教学中应该注重数学情景设计, 让学生亲身经历知识的发现过程, 在感性材料中, 在实际背景中, 揭示出概念的本质, 完善概念体系的建立, 给出严格的形式化的定义。数学概念教学是数学教学中最重要的内容, 中学数学课堂教学怎样讲授概念也一直为众多学者所关注。一般认为需要四个环节:感知、理解、巩固、运用, 实际上每个环节中都体现着情景的因素, 所以在重视概念产生的背景、概念的引入、概念的定

[基金项目]黑龙江省新世纪教学改革工程项目。

[作者简介]濮安山(1965-) , 男, 黑龙江哈尔滨人, 副教授, 东北师范大学教育科学学院课程与教学论专业博士研究生。

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在什么位置内成锐角, 在什么范围内成钝角?

通过这样一个情景的设置, 同学们通过对实物的观察, 从而认识了直角、平角、周角、锐角、钝角的概念。再如立体几何中几何体的认识, 拿球的概念来说, 我们先让学生观察生活中的许多球状物体, 如乒乓球、篮球、排球, 然后让同学去掉那些诸如材料、大小、颜色等非本质性的东西, 抽取它的本质属性, 进而形成球的概念。这样的概念引入是非常好的, 抽象性是数学概念的特点, 但直观性也占据重要的地位, 特别是在中学数学概念教学中设置直观生动的教学情景, 对概念的引入是非常重要的。

2 用实际问题的情景来引入概念

例2 在学习方差概念时, 浙江省蘅州第二中学张大华老师是这样设计引入情景的:首先提出一个实际问题让学生思考, 蘅州市农科所培育了 一品红1号! 和 一品红2号! 两个柑橘新品种, 对试种的两种橘树各抽取10株进行统计, 结果如表1.

表1

品种一品红1号一品红2号

5050

4750

5149

5350

产量/kg 4749

5051

5350

5051

5350

4949

义、概念的理解、概念间的联系、概念的巩固和运用这些环节时, 更要注重有助于这些环节形成的情景。也就是说, 我们要创设有助于概念引入、概念形成、概念下定义、概念理解、概念识别、概念运用的情景。

二、设计有助于概念引入的情景

数学概念的引入, 是揭示数学概念发生过程的过程, 就是说要揭示概念发生的实际背景和基础, 数学概念的引入要和学生的认知水平、思维能力、教材的实际密切相联。概念的引入是学生获得概念的前奏, 极大地影响着学生对概念的理解和运用。因此, 数学概念的引入是数学概念教学的一个重要环节, 根据不同的教学内容从引入方式上看有概念形成式引入和概念同化式引入。对这两种引入方式从情景的创设上都可以从实际例子引入, 也可以在观察中引入、在对比中引入、在实际操作中引入。

1 用观察的情景来引入概念

例1 在学习 角的认识! 一节时, 我们拿来一个正常运转的时钟, 也可以让同学们观察手上的石英表或机械表, 通过观察考虑下面的问题:

(1) 几点整时针和分针成直角?

(2) 几点整分针和秒针成直角?

(3) 分针从12点起走了一圈, 走了多少度? 所成的是什么角?

(4) 假定时针在12点到1点之间, 那么分针

(1) 试求这两个新品种每株橘树的平均产量;

(2) 从高产、稳产考虑上述哪个品种优良? 为清楚地进行观察, 引导学生观察图1。

一品红1号 一品红2号

图1

通过观察, 发现两个品种稳定性不一, 说明只

用平均产量不能判定哪个品种更好, 为了了解产量的稳定性, 我们需要引入一个新的概念∀∀∀方差。徐利治先生也说过:在数学中, 我宁愿把 直观! 一词解释为借助于经验、观察、测试或类比联想, 所产生的是对事物直接的感知或认识。所以

通过实际例子设计生动直观的情景来引入概念是行之有效的办法。

3 用操作的情景来引入概念

我们说数学概念是在前人基础上的一个再认

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识, 那么概念教学也是在前人基础上的一个再发现, 是师生密切配合的一个创造性过程, 让学生在活动中, 在实际操作中体会概念的产生过程也是很重要的一种办法。

例3 二面角的概念的引入时先举生活中的例子:我们知道, 山坡与水平面, 每天开关的门所在平面与门框的平面都形成一定角度, 教师让学生把教科书随意打开成两个平面, 随着张合的程度的不同, 让学生可以感受到两个平面是成一定角度的, 并且成角的大小是不一样的, 让学生从感觉上认识到两个平面成角是有大小的, 但怎样来界定呢? 老师让一组学生把书立成直角, 另一组把书立成锐角, 再一组把书立成钝角, 在书脊上任取一点, 在两个面上用铅笔分别引直线a , b , 分与书脊这条棱垂直和不垂直两种情形, 让学生用三角尺、量角器自己动手操作, 比较不同情况下a, b 所夹角能否来表示二面角的大小, 通过同学分组

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讨论、交流, 发现只有a , b 与棱都垂直时角是不变的和所选点无关, 且这个平面角的大小就是二面角的大小, 从而引入二面角的概念。类似地,

圆、椭圆、双曲线、抛物线、平角、周角等都可以按这种方式来引入。

三、设计有助于概念形成的情景

数学概念的形成过程大致都是对一类事物的多个对象进行观察、比较分析, 综合抽象出每个对象的各种属性, 再通过归纳概括各个对象的共同属性, 从而使概念得以形成, 并且经历了概念的整个学习过程, 所以我们必须设置具有现实背景和丰富寓意的数学情景, 返璞归真, 这也是符合人的认识的心理品质的。

例4 函数的概念是学生最早碰到的难点概念之一, 在函数概念的学习中我是这样设置概念形成情景的, 首先给出初中学过的对应例子(如图2)

。

我们总结到, 给定两个集合A , B 按照某种对应法则f , 对集合A 中的每个元素在集合B 中都有元素和它对应, 我们发现构成对应的要素是:集合A , B , 对应法则f , 对应的特点有 一对一! 、 多对一! 、 一对多! 几种情况, 对上面的(2) (3) (4) 我们再用对应的概念来解释一下, 构成要素依然是:集合A , B 和对应法则f , 但对应的特点是 多对一! 或 一对一! 了。所以可以归结为:对给定的集合A , B , 如果按照某种对应法则f , 对于集合A 中的每个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应, 这样的对应叫映射。现在把集合A , B 改为非空数集, 对照(2) (3) (4) 图能否加强一下映射的概念呢? 通过同学的讨论, 分析得到函数的定义:设A , B 为非空数集, 如果按照某种

对应法则f , 使对于集合A 中的任意一个数x , 在集合B 中都有唯一确定的数f (x ) 和它对应, 那么就称:A #B 是从A 到B 的函数, 记作y =f (x ) 。学生的叙述中有些不是很规范, 但能用浅显的语言揭示出概念的内涵来, 这样从具体到抽象、从感性到理性的变化中, 学生容易接受, 概念得以形成。

四、设计有助于概念下定义的情景

揭示概念的内涵就是给概念下定义, 也就是指出它所能反映的对象所具有的本质属性, 揭示出概念的内涵, 实际就是总结研究的结果。给概念下定义是严密的, 学生通过所设置的情景去观察、比较、概括、归纳、整理, 经过这一系列过程, 再在教师引导下, 尝试修改补充, 师生一同归纳, 便

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近发展区! 和 未知区! , 人的认识水平实际上就是在这三个层次上循环往复不断内化的, 当一个概念诞生后, 就进入了 已知区! , 那么对概念的理解和拓展就是寻求 最近发展区! 。要找到 已知区! 与 最近发展区! 的结合点, 教师必须抓住概念中的关键词句进行解剖分析, 揭示每一个词、句、符号实质的内在含义, 并以此来设置情景, 就会激起学习的热情, 加深对概念的理解。概念理解的情景可以以实际例子为依托, 对例子进行抽象、概括、分析, 反复修正, 以加深理解; 也可以通过实际例子, 进行辨别, 进一步理解概念的内涵和外延, 当然也可以建立知识框架图表等来加深对概念的理解。

例6 在学完正棱锥的概念后, 对正棱锥概念的理解可设置如下问题情景:

(1) 侧棱相等的棱锥是否一定是正棱锥? (一定)

(2) 侧面与底面所成角相等的棱锥是否一定是正棱锥? (不一定)

(3) 底面是正多边形的棱锥是否一定是正棱锥? (不一定)

(4) 侧棱相等, 侧面与底面所成角相等的棱锥是正棱锥? (一定)

(5) 侧棱相等, 底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥? (一定)

(6) 侧面是全等的等腰三角形的棱锥一定是正棱锥? (一定)

数学情景的创设有助于激发学生的求知欲, 有助于数学问题的提出, 有助于学生对数学概念和原理的理解, 有助于数学问题的解决。而在数学概念学习过程中, 创设适当的数学情景, 有利于学生理解和灵活运用数学概念, 使学生能系统、深刻、牢固地掌握数学概念。

[参考文献]

[1]曹才翰, 蔡金法. 数学教育学概论[M ]. 南京:江苏教育出

版社, 1989, 65-66.

[2]康纪权. 试论数学情景的创设[J]. 贵州师范大学学报(自

然科学版) , 2004, (1) :101.

[3]吕传汉, 汪秉彝. 再论中小学 数学情景与提出问题! 的

数学学习[J]. 数学教育学报, 2002, 11(4) :72-76.

可得到明晰简洁的定义。

例5 直线倾斜角! 的概念教学, 可以设置如下情景:

现有东西走向的A, B 两城, 在海上有一小岛C, 先从A, B 两城出发, 怎样才能快速到达小岛? 同学们说沿直线走最快, 教师接着问从A 到小岛的直线距离怎样确定, 同学已经感受到明确AC 相对AB 的倾斜程度即可, 再进一步说, 也就是知道A C 和AB 所成的角即可, 这时同学已能感受利用角来刻画直线的倾斜程度了, 现在教师用多媒体演示一条彩色直线绕它与x 轴交点旋转的几种位置情况, 让同学观察再回答, 同学们回答在不同位置倾斜程度不一样, 即角大小不同。老师问相对谁而言, 学生回答相对x 轴倾斜程度不一样, 也就是直线与x 轴的角大小不同,

老师:直线与x 轴成几个角? 学生:四个角。

老师:我们用直线与x 轴所成角来表示直线的倾斜程度严密吗? 想一想角的推广。

学生:不严密, 用一个角表示即可说明。老师:不妨设与x 轴正向成角为所找角。学生(即刻反应) :这也有两个角。老师:那怎么办?

学生:用直线向x 轴的方向与x 轴所成的角就唯一确定。

老师:这个分析非常精彩, 但这个角就一定唯一吗?

学生(思考后) :这个角不唯一, 因为终边也相同的角可以表示成2k + (k ∃Z ) 的形式, 这样的角有无数多。

老师:角怎样才能唯一确定呢?

学生讨论:要是界定直线的正方向与x 轴正向所成的最小正角即可唯一确定了。这样师生再一同归纳补充, 就给倾斜角下了一个完整的定义。

五、设计有助于概念理解的情景

准确地理解数学概念是学好数学概念的关键, 理解一个概念是掌握一个概念的前提, 理解是在感知的基础上通过思维加工, 把新的知识同化到已有的认知结构中, 这是一个复杂的心理过程。对概念的理解是和人的认识水平相关的, 人的认识水平可以划分为三个不同层次, 即 已知区! 最[责任编辑:陈学涛]