几类极限问题中的方法与技巧
几类极限问题中的方法与技巧
摘要: 本文主要研究极限中比较重要的两大类极限:数列极限和一元函数极限,
介绍它们所涉及的方法和技巧。
首先简略介绍了它们各自的定义,其次重点介绍它们各自求解的方法和技巧,例如:数列极限有单调有界准则求法、级数收敛必要性求法、Stolte公式求法以及归结原则求法;一元函数极限有洛必达法则求法、两个重要极限求法以及泰勒公式求法。不仅如此,在某些具体求解方法就其中要注意的细节、容易出错的地方以及求解技巧都做了说明。最后本文还涉及了它们各自在现实生活中的应用,以便我们更深入的了解它们,并对它们的重要性理解更透彻。
关键字:一元函数极限; 极限; 数列极限; 技巧
Abstract: This paper mainly studies the limit is important in two major types
of limit: a sequence limit and a unary function limit, introduce their involves the methods and skills.
The author briefly introduced the first of their respective definition, secondly introduced their own solution of the methods and skills, such as the criterion of monotone bounded solution, the series converges necessity method, Stolte formula method and Heine theorem; A unary function limit has L’Hospital method, two important limit method and Taylor formula is also given. Not only that, in some specific solution of should pay attention to detail, easy to make a mistake of the place and solution techniques are illustrated. Finally, this paper also involved in their respective application in real life, so that we more in-depth understanding of them, and of their importance to understand more thoroughly .
Key Words: a unary function limit; limit; a sequence limit; skills
目录
引言.........................................................................................................3 第一章 极限的概念...............................................................................4
1.1 数列极限的定义..................................................................................................4 1.2 函数极限的定义..................................................................................................4
第二章 数列极限问题的方法和技巧...................................................5
2.1单调有界准则.......................................................................................................5 2.2级数收敛的必要条件法.......................................................................................6 2.3 Stoltz公式法.....................................................................................................7 2.4归结原则法...........................................................................................................8
第三章 函数极限的问题方法和技巧...................................................9
3.1洛必达法则..........................................................................................................9 3.2两个重要极限.....................................................................................................11 3.3泰勒公式法.........................................................................................................12
第四章 极限的应用..............................................................................14
一、数列极限的应用..............................................................................................14
4.1市场经营中的稳定性问题.................................................................................14 4.2购房按揭贷款分期偿还....................................................................................15
二、函数极限的应用..............................................................................................16
第五章 结论.........................................................................................17 第六章 谢辞.........................................................................................18 参考文献...............................................................................................19
引言
众所周知,极限的概念和思想在整个基础数学中都非常重要。研究变量在无限变化中的变化趋势,从有限认识无限,从近似认识精确,从量变认识质变,都要用到极限。
在高等数学中,极限是研究微积分的重要工具,也是研究导数的基础,对于极限的计算,除常规方法外,还有许多方法与技巧。对于求解一些复杂数列或函数的极限,按照极限的定义解十分困难,不仅计算量大,而且不易求出结果,利用这些特殊方法可以达到巧妙求解的目的。极限是微积分中最基本、最主要的概念,它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势,而在无限变化过程中考察变量的变化趋势,从以上可以看出研究极限是具有一定的理论意义和现实意义。
掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。但极限定义并未直接提供如何去求极限。求极限的方法因题而异,变化多端,有时甚至感到变幻莫测无从下手,本文总结几种常用的求极限的方法以供参考。解题时要针对不同的数列极限和一元函数极限的特点采用相应的方法和技巧,同时注意每种解决问题方法的适用范围,当然,除常规方法外还有许多技巧,这些技巧隐含在一元函数论和数列的相关理论中,对于这些技巧进行归纳总结,不仅有教材建设现实意义,而且还有深刻的理解意义。
第一章 极限的概念
首先,在研究极限问题时,我们要时刻明确其中心问题就两个:一是证明极限存在性二是求极限的值。当然如果我们求出极限值,其自然极限的存在性也就被证明了。反之,证明极限的存在性,就是为了求极限铺平道路,两者相辅相成;其次,在讨论和研究各类极限方法和技巧时,我们还要弄清楚极限的概念,这是对数列极限做进一步深入研究的先决基础。
1.1数列极限的定义
定义(N语言):对一数列xn,若存在常数a,对于任意0,总存在正整数N,使得当n>N时,xn-a成立,那么就称a是数列xn的极限,或称xn收敛于a,记作limxna
n
1.2函数极限的定义
定义(N语言):设函数f(x),x大于某一正数时有定义,若存在常数A,对于任意0,总存在正整数X,使得当xX时,f(x)-A成立,那么就称
A
是函数f(x)在无穷大处的极限。
设函数f(x)在x0处的某一去心邻域内有定义,若存在常数A,对于任意
0,,总存在正数,使得当xx0时,f(x)-A成立,那么就称A是
函数f(x)在x0处的极限。
第二章 数列极限问题的方法和技巧
2.1 单调有界准则
知识储备:单调有界数列必有极限。
我们在使用单调有界准则时需要证明两个问题:一是数列的单调性,而是数列的有界性;求极限时,在等式的两边同时取极限,通过解方程求出合理的极限值。在使用单调有界准则的时候,往往为了证明其有界性,常常使用缩放的方法来寻找其上界或下界,当然,这个缩放要掌握一个度,缩放的好坏对问题的求解非常重要。因此,在求极限的有关问题中,这个技巧我们必须掌握。
例2.1.1:设数列xn满足xn1并求之。
证明:(1)存在性
xn1
1axn2xn
12(xn
axn
),且a0
,x10,求证limxn存在
n
所以xn0,即xn有下界; xn1
2
axn1a
xnxn
xn
2xn2xn
因为xn,即有xn2a,所以xn1xn0,即xn1xn,于是数列xn单调递减。
故数列xn为单调有界数列,必有极限。 (2)求极限
设limxnx(由极限性质知x0)
x
在等式xn1
1a
xn两边取极限可得: 2xn
x
1a
x,解这个方程可得x2x
故limxn
x
2.2级数收敛的必要条件法
知识储备:级数收敛的必要条件:若级数un收敛limun0,利用该条件,
n
n
可以求极限,而且利用此条件可以判断级数敛散性。对于级数收敛性有这样的一个推广定理:设数列xn,对n=1,2,3,„,及某一自然数p,满足:
ync1xnc2xnp,c1c2
,则:limynA的必要充分条件是:
n
limxn
n
Ac1c2
例2.2.1:求lim
n
c
n
n!
(c0)
解:考虑级数
c
n1
c
c
n
n!
,因为c0,故由正项级数的比式判别法可得
c
n
lim
n
(n1)!n!
/
c
n
lim
n
n1
,从而我们知道级数01,
n!
收敛,则其通项趋于
0(n),即lim
n
c
n
n!
0
例2.2.2:求极限lim
n
1a
2a
2
...
n
(a1)na
.
解:令x
un1un
1a
,所以0x1,考虑正项级数nxn,
(n1)x
nx
nn1
因为lim
n
lim
n
xlim
n1n
x
x
,且0x1,所以此级数收敛。
所求极限存在,现在问题转换为求正项级数的和函数
n
n1
故令s(x)nx,则s(x)xnx
n1
n1
,又令f(x)
nx
n
n1
,
x0
f(t)dt
x
nt
n1
dt
n1
n1
x0
nt
n1
dt
n1
x
n
x1x
所以
x(1x)
2
1x
f(x)2
(1x)1x
a
112
'
而s(x)xf(x)
(1a)
1
2na1
故所求极限lim2...ns(x) 12
na(1a)aa
2.3 Stoltz公式法
知识储备:Stoltz定理1:设有数列xn,yn,其中xn严格增,且
limxn
n
。如果lim
ynyn1xnxn1
n
a
,则lim
ynxn
n
alim
ynyn1xnxn1
n
如果lim
Stoltz定理2:设数列xn严格减,且limxn0,limyn0,
n
n
ynyn1xnxn1
n
a,则lim
ynxn
n
alim
ynyn1xnxn1
n
例2.3.1:求lim
k
k
12...n
n
kk1
kkk
.
n
解:lim
12...n
n
k1
n
=lim
nn
k1
k
k1
n
(n1)
(Stoltz公式)
k
=lim
1C
n
Ck1nCk1n
1
k
2
n
k1
...(1)
k1
=
1k1
=
1k1
2.4 归结原则法
知识储备:海涅定理:设f在U0(x0,)内有定义。limf(x)存在的充分必要
xx0
n
条件是:对于任何属于邻域U0(x0,)且以x0为极限的数列xn,极限limf(xn)都存在且相等。(该定理常被用于判断极限是否存在)
例2.4.1:
求lima0.
n
解:先求lim
x
lna
因为limlima
x
x
1/x
lime
x
x
e
lim
x
lnax
e1
再由归结原则可知lim1
n
说明:虽然数列极限与一元函数极限是分别独立定义的,但是两者是有联系的。海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系,从而给数列极限与一元函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁。它指出了一元函数极限可化为数列极限,反之亦然。因此,在极限理论中,海涅定理处于重要地位。有了海涅定理,我们就可以借助相关的一元函数极限理论来解决数列极限问题。
第三章 函数极限的问题方法和技巧
3.1洛必达法则
知识储备:定理:若函数f(x)和g(x)满足:
(1)limf(x)limg(x)0;
xx0
xx0
(2)在U(x0,)(点x0可以除外)内可导,且g'(x)0; (3)lim
f'(x)g'(x)
存在(或者为无穷大);
f'(x)g'(x)
xx0
则lim
f(x)g(x)
xx0
lim
xx0
若上述定理中的条件的(1)式变为limf(x)limg(x),这也是可以的。
xx0
xx0
对于xx0,xx0结论成立。如果x,将条件(2)改为在xX(X0)内可导,且g'(x)0。
例3.1.1:求lim
x0
1x
2
. xtanx
00
1
解:明显,本题为型未定式,那么首先我们将它化为型未定式,然
后再利用洛必达法则。
1tanxxtanxxx1
lim2limlimcosx x023x0x0xtanxxtanxxsinxx
=lim
secx13x
2
2
x0
lim
2secxtanx
6x
2
x0
lim
13
x0
tanxx
13
1
其中用到了等价无穷小,lim
1
sinxx
x0
1和lim
tanxx
x0
例3.1.2:求lim
x
lnx
arctanx 2
00
解:本例为00型,可以将其转化型或
型。
1
令y
lnx
arctanx2
lnarctanx
2
,则lny
lnx
,此时limlny已是
x
型,即有:
11x
2
lnarctanxarctanx2limlnylimlim
xxx1lnx
x
x1x
2
lim
x
1x2x(1x)
121x
2
2
22
=lim
x
2
lim
1x1x
22
=-1.
arctanx
x
所以,limye1,因此
x
1
lnx1
limarctanxe x
2
洛必达法则是求未定式的一种有效的方法,但是最好是能与其他求法一起
用,会使问题简化,达到事半功倍。
最后,我们在使用洛必达法则时经常出错而不自知,尤其是不注重检验洛必达法则适用条件的人,往往极限能求出一个结果,但最终还是错误的。 这里要注意两个问题:
第一,当lim
g(x)f(x)
不是型或
0
型,即不满足适用条件,不能使用洛必达
xx0
法则,否则会出现自己都很难检查出来的错误。
第二,洛必达法则只告诉我们对于型或
00
型,当lim
f'(x)g'(x)
存在时,它的
xcosx
x
xx0
值等于lim
f(x)g(x)
xx0
。当mil
f(')xg(')x
xx0
不存在时,lim
(xcosx)'
(x)'
f(x)g(x)
仍可能存在。如lim
xx0
x+
,
虽然是,但我们不能根据lim
xcosx
x
x
=lim(1sinx)的极限不存在,就错误
x
的认为lim
lim
x+
极限也不存在,事实上,我们显然有
cosxx
)1。故第二个问题就是lim
xcosx
x
x+
lim(1
x
f'(x)g'(x)
不存在并不表示
xx0
xx0
lim
f(x)g(x)
本身存在或不存在,它仅意味着此时不能使用洛必达法则而已。于是我
们就得到洛必达法则在什么情况下可以连续使用,只要满足下面两个条件就可以
了:
(1) 只有未定式才可以用; (2) 只有lim
例3.1.3:求lim
x3x2xxx1
6x6x2
lim
x1
3
23
f'(x)g'(x)
存在才可以使用。
x3x2xxx1
3
2
3
x1
lim
x1
lim66
3x33x2x1
2
2
x1
lim
x1
1
6x6x2
其错误的原因在于求解过程中,极限lim
正确解法:
lim
x3x2xxx1
6x6x2
64
3
23
已经不是未定式了。
x1
x1
lim
32
3x33x2x1
2
2
x1
= lim
x1
3.2 两个重要极限
知识储备:两个重要极限是指以下两个极限:
(1)lim1
x
1sinx
(2)elim1 x0xx
这两个就是数学分析中所说的两个重要极限,是众多极限的基础,其在极
限中的位置非常重要。在利用上述两个极限求解函数极限时,x即可以是一个变量也可以是一个代数式。下面是这两个极限的推广:
定理1:若limu(x)0,limv(x)且limu(x)v(x)k(k为一常数),则有
v(x)
lim1u(x)
e
k
推论:(1)若limux(),0limv(x),当limu(xv)(x)时,则
v(x)
lim1u(x)
(2)limu(x)v(x),则lim1u(x)
sint(x)
1
t(x)
v(x)
0
定理2:若t(x)0,则lim
1
2x
x
3
例3.2.1:求极限lim1
x
解:当x,
x
3
1x
2
0
3
,x3
limx
1
所以lim12
xx
limx
1x
2
e
x
ex
由于e
limx
x
,ex0,根据左右极
limx
限理论,这个极限是不存在的。
1
1
例3.2.2:求极限limex
x
x
x
1
解:因为当x时,有ex1
x
x
1x
(等价无穷小),所以
1
12
limexlim1 xxxx
1
1222x
limu(x)v(x)limx2,则limelim1e
xxxxxxx
x
x
3.3 泰勒公式法
泰勒公式适用于求解比较复杂的函数极限,使用时应灵活掌握,明确哪些项需要展开,而哪些项需要保留,这个方法具有很强的技巧性。但是运用得当,会使问题的解决变的简单,而且易于掌握。当然你要熟练掌握基本的初等函数的泰勒展开式,否则解题很麻烦。
例3.3.1:求lim
cosxe
x
4
12x
2
x0
解:由泰勒公式可得: cosx1
12
2
x
2
2!
x
4
4!
o(x)
4
e
x
1(
x
2
2
)
12!
(
x
2
2
)o(x)
24
即cosxe
12
x
2
1
112
4
xo(x)
4
4
于是原式=lim
xo(x)x
4
4
x0
112
第四章 极限的应用
一、数列极限的应用
4.1 市场经营中的稳定性问题
投资者的交易行为是影响市场稳定性的重要因素,以股票为例,
为尽量避免出现羊群行为,减少非理性投资,我们需要对股票的内在
价值(即未来收入现金流的现值)有较清晰的认识,从而决定是该购
买还是该售出,做出理性选择。现在我们来针对不同的模型确定股票
相应的内在价值。
4.1.1零增长模型
假定股利增长率为0,因其内在价值如下:
V
D11i1
D2(1i2)
2
D3(1i3)
3
...
Dt(1it)
t
(1i)
t1
t
Dt
t
(1)
(V-内在价值,D-股息(红利),i-贴现率)
现由假定知DD1D2...Dt,ii1i2...in,所以此时股票内在价值为
V
D1i
D(1i)
2
D(1i)
3
...
D(1i)
t
(1i)
t
t1
D
t
11ilim1t11i1
i1
D
D
(2) i
知道股票的内在价值后,就可以求出其净现值NPV,即内在价值减去市值,也就是:
当NVP0,该股票被低估,可买入;当NVP0,被高估,不宜购买。
例如:某公司在未来无限期支付股利为6元,现价70元,必要收益率10%,评价该股票。
解:利用上述(2)式结论可求该股票的内在价值:
NVPVP
V
Di
610%
60
,NVPVP6070100
故该股票被高估,不宜购买,应该出售。
4.1.2 不变增长模型
假定股利永远按不变增长率(g)增长,即DtDt1(1g)...D0(1g)t,代入(1)式得此时内在价值为
V
(1i)
i1
t
Dt
t
i1
D0(1g)
t
D0(1g)
1i
t
D0(1g)D11g (3) lim(1)t1gigig1i1
1i
t
例如:去年某公司支付每股股利2.0元。预计未来公司股票的股利按每年5%增长,假设必要收益率为10%,当每股股票价格40元,评价该股票。
解:首先得到D1=2.0(1+5%)=2.1,那么我们再利用上述(3)式结论可求该股票的内在价值 V
D1ig
2.110%5%
42,故
NVPVP424020,
从而我们知道该股票被低估,建议购买。
4.2购房按揭贷款分期偿还
如今,在购房、购车时选择分期贷款的人越来越多,而在购房时的消费贷款的还款(即按揭)大多为年金方式,故存在一些年金计算问题。下面主要对购房分期付款的基本计算问题做一些简单分析。
设P表示总的房款金额,k表示首次付款比例,i表示年利率,n表示分期付款(贷款)的总年数,R表示每月底的还款金额,则有如下的价值方程
(1k)P12Ran
12
,
进一步有:
R
其中 anvv...v论)
2
n
(1k)P12an
12
(1k)i
(12)
P
12ian
(4)
1vi
n
(知识储备来源于北大版的利息理
上述是针对有限期限付清的情况,如果考虑永久期末年金:在每个付款期末付款
1m
个货币单位,直至永远。若将该年金的现值记为a(m),则有计算公式
a
(m)
12
1m1(m)m
vv...limann(m)
mi
代入(4)式即可。
通过上述公式即可求出按不同还款方式每月底应还金额。
二、函数极限的应用
通过上述章节我们探讨了极限中比较重要的数列极限和一元函数极限的求法以及它们解法的各自技巧,并简要介绍了它们在现实生活中的应用。我们知道极限是数学分析的基石,是微积分学的基础,可见,掌握数列极限以及一元函数极限的概念、性质和计算是学好极限和微积分的前提和基础,灵活巧妙的应用它们,也可以使一些较为困难的实际问题迎刃而解。通过前面的例子我们知道求数列极限和一元函数极限的方法灵活多样,给一些数学问题的讨论和计算带来极大的方便。对它的研究也使数学分析在经济领域和数学领域中发挥更大的作用。这在数学分析关于极限和微积分学的研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。所以,国内外学者对数列极限和一元函数极限的求法及其在实际应用的研究一直未中断,同时仍存在很多内容等待我们新时期的学术爱好者去探讨,去解决,去突破。
当然,对于每种方法和技巧都有自身的局限性,都不是万能的,许多极限问题都是几个方法和技巧在一起运用求解的,还有,在求极限的过程中,我们必然要以相关的概念、定理及公式为依据,并借助一些重要的方法和技巧,故熟练掌握相关知识与技巧是非常重要的。对于某个具体的极限问题,我们应追求最简单的方法。
经过几个月的忙碌和工作,毕业论文的写作已经接近尾声,作为一个本科生,由于经验的匮乏,在写作过程中难免有许多考虑不周全的地方,如果没有导师的耐心指导,以及同学们的不断支持,想要完成这个论文是很难的。
这里我尤其要感谢老师,因为在论文写作过程中,多亏了老师的亲切关怀和耐心的指导。从论文题目的选择到毕业论文的最终完成,老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持。我除了敬佩老师的专业水平外,他的治学态度和科研精神更是我永远学习的榜样。老师在修改我的论文期间,就连每处细小的错字、符号、字体格式等都能一一指出。我们都知道要学好数学关键是要有这种“追求准确”的精神,老师就是这种精神的成功践行者,老师的这种做学问的态度必将积极影响我今后的学习和工作。在此谨向老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意,也祝老师身体健康,工作顺利,天天开心。
在论文即将完成之际,我的心情很激动。从开始选题到论文的顺利完成,师长、同学、朋友给了我许许多多的帮助,在这里请接受我诚挚的谢意!我还要感谢含辛茹苦养育我长大的父母,谢谢您们!
最后我还要感谢数理系和我的母校四年来对我的培养。
参考文献
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