1.19二项式分布及其应用

1.19二项分布及其应用

一、知识结构

⎧概念⎧概念⎪1. 条件概率⎪

⎨性质

2. 事件的相互独立性⎪⎪⎨

判断方法

⎩

应用⎪相互独立事件概率的求法⎪⎩

独立性的实际应用⎧⎪⎪概念3. n 次独立重复试验⎪

⎨恰好发生k 次的概率

⎪

⎪二项分布⎧概念⎪⎩

⎨⎩利用二项分布的公式解题二、重难点

1. 条件概率的概念；

2. 两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件；

3. 相互独立事件同时发生的概率计算公式，能应用该公式计算相关问题的概率； 4. 理解n 次独立重复试验的模型及其意义；

5. 二项分布及其概率公式，能利用这一公式解决一些简单的实际问题；

6. 在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率公式P k

k

n -k

n (k )=C n p (1-p )与二项式定理的联系.

知识点1 条件概率

1. 定义：一般地，设A,B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )=

P (AB )P A 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率.

例1.1求简单的条件概率

（1）市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个甲厂生产的合格灯泡的概率是（ ） A.0.665 B.0.56 C.0.24 D.0.285

（2）如图，四边形EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则P (B |A )=___________.

练习：从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于（ ）

A. 18 B. 1214 C. 5 D. 2

例1.2（条件概率与概率性质的结合）

现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： （1）第1次抽到舞蹈节目的概率；

（2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；

（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.

练习：在某次考试中，要从20道题中随机地抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀，已知某考生能答对20道题中的10道题，并且知道他在这次考试中已知通过，求他获得优秀的概率.

知识点2 独立事件及其概率

1. 独立事件的概念：设A , B 为两个事件，若P （AB ）=P (A ) P (B ) ，则称事件A 与事件B 相互独立. 2. 两个时间相互独立与互斥的区别

（1）两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生，两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。

例2.1（独立事件的判断）

一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令事件A ={一个家庭中既有男孩又有女孩}，

B ={一个家庭中最多有一个女孩}，对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：

（1）家庭中有两个小孩； （2）家庭中有三个小孩.

例2.2（独立事件的概率）

甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球。约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束。设甲每次投篮投中的概率为

13，乙每次投篮投中的概率为1

2

，且各次投篮互不影响. （1）求乙获胜的概率；

（2）求投篮结束时乙只投了2个球的概率.

练习：甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是

一等品的概率为

14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为1

12

，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为2

9

.

（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率； （2）从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，；求至少有一个一等品的概率.

知识点3独立重复试验与二项分布 1. 独立重复试验的特征: ①试验必须能够重复进行；

②每次试验的条件都完全相同，有关事件的概率保持不变； ③各次试验的结果互不影响，即各次试验互相独立； ④每次试验只有两个可能的结果，事件发生或不发生.

2.n 次独立重复试验事件A 恰有k 次发生的概率：P -k

n (k )=C k

k

n p (1-p )

n

3. 二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X =k )=C k

k

n -k

n p (1-p )

，k =0, 1, 2, ⋯，n ，此时称随机变量X 服从二项式分布，记作X ~B (n , p )，

并称p 为成功的概率.

例3.1 （n 次独立重复试验） 某气象站天气预报的准确率为0.8.

（1）求5次预报中恰有2次准确的概率；（结果保留两个有效数字） （2）求5次预报中至少有2次准确的概率. （结果保留两个有效数字）

练习：甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第5局甲队获胜的概率是

12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是2

3

. 假设各局比赛结果相互独立. （1）分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率；

（2）若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分，对方得1分. 求乙队得分X 不超过2分的概率.

例3.2（二项分布及其应用）

某射手每次射击击中目标的概率是

2

3

，且各次射击的结果互不影响。 （1）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；

（2）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；

（3）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次的总得分，求ξ的分布列.

练习：张师傅驾车从公司开往火车站，途径4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个时段，每个时段的驾车时间都是3 min，如果遇到红灯要停留1 min。假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是

13

. （1）求张师傅此行程时间不小于16 min的概率；

（2）记张师傅此行程所需时间为Y min ，求Y 的分布列.

专题一 概率最值问题

例4.1十层电梯从底层到顶层运行，假设电梯在每层电梯口停和不停是等可能的. （1）停不少于3次的概率是多少？ （2）停几次的概率最大？

专题二 利用递推关系式求概率

例4.2设正四面体的四个顶点是A , B , C , D ，各棱的长度均为1 cm，有一个小虫从点A 开始按以下规则前进：在每一顶点处用同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一，并一直爬到棱的尽头，求它爬了7 cm之后又回到A 点的概率.

专题三 几何分布

例4.3已知患色盲者占0.25%，试求：

（1）为发现一例患色盲者至少要检查25个人的概率；

（2）为使发现患色盲者的概率不小于0.9，至少要对多少个人的辨色能力进行检查？

课堂练习

1.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312

2. 某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球（重3 kg）测试，成绩在6.9米以上的为合格. 把所得数据进行整理后，分成5组画出频率分布直3. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自有下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋中或B 袋中。已知小球每次遇到障碍物时，向左和向右两边下落的概率都是（1）分别求出小球落入A 袋的概率，B 袋的概率；

（2）在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B 袋中的小球个数．求ξ的分布列.

1. 2

方图的一部分，已知成绩在[9. 9, 11. 4) 的频数是

4.