规律与数列
知识点及例题
寻找常见数列的排列规律可以从以下三个方面入手:
一、仔细观察数据的特征(对于一些特殊数要有一定的积累,如平方数、立方数),
根据数据特征极其相互之间的关系找规律。
二、对数列中相邻两个数作差或相除,根据差和商的情况找规律。
三、统筹考虑数列中相邻的三、四个数,根据它们之间的关系找规律。
一、等差数列
(一)定义:什么叫等差数列呢?我们先来看几个例子:
①l ,2,3,4,5,6,7,8,9,…
②1,3,5,7,9,11,13.
③ 2,4,6,8,10,12,14…
④ 3,6,9,12,15,18,21.
⑤100,95,90,85,80,75,70.
⑥20,18,16,14,12,10,8.
这六个数列有一个共同的特点,即相邻两项的差是一个固定的数,像这样的数列就称
为等差数列. 其中这个固定的数就称为公差,一般用字母d 表示,如:
数列①中,d=2-1=3-2=4-3=…=1;
数列②中,d=3-1=5-3=…=13-11=2;
数列⑤中,d=100-95=95-90=…=75-70=5;
数列⑥中,d=20-18=18-16=…=10-8=2.
一般地说,如果一个数列是等差数列,那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项,
或者每一项都大于前面的项,上述例1的数列⑥中,第1项大于第2项,第2项却又小于第3项,所以,显然不符合等差数列的定义.
为了叙述和书写的方便,通常,我们把数列的第1项记为a 1,第2项记为a 2,…,第n
项记为a n ,a n 。又称为数列的通项,a 1;又称为数列的首项,最后一项又称为数列的末项.
【例1】请找出下列各组数排列的规律,并根据规律在括号里填上适当的数。
(1)1,5,9,13,( ),21,25。
(2)3,6,12,24,( ),96,192。
(3)1,4,9,16,25,( ),49,64,81。
(4)2,3,5,8,12,17,( ),30,38。
(5)21,4,16,4,11,4,( ),()。
(6)1,6,5,10,9,14,13,( ),()。
随堂练习1、求值:
① 6+11+16+…+501.
②101+102+103+104+…+999.
(二)通项公式
对于公差为d 的等差数列a 1,a 2,…a n …来说,如果a 1小于a 2,
则显然a 2- a1= a3- a2= an - an-1=……=d,因此:
a 2= a1+d
a 3= a2+d=a1+2d
a n = a1+(n-1)d 公式(1)
若a 1大于a n ,同理可得a n = a1-(n-1)d 公式(2)
公式(1)(2)叫做等差数列的通项公式,利用通项公式,在已知首项和公差的情况下
可以求出等差数列中的任何一项.
【例 2】求等差数列1,6,11,16…的第20项.
随堂练习2、下面的算式是按一定规律排列的,那么,第100个算式的得数是多少?
4+2,5+8,6+14,7+20,…
一般地,如果知道了通项公式中的两个量就可以求出另外一个量,如:由通项公式,
可以得到项数公式:
【例 3】如果一等差数列的第4项为21,第6项为33,求它的第8项.
随堂练习3、11至18这8个连续自然数的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8个连续数的
和,这另外8个连续自然数中的最小数是多少?
(三)等差数列求和
若a 1 小于a 2,则公差为d 的等差数列a 1,a 2,a 3…an 可以写为
a 1,a 1+d,a1+d×2,…,a 1+d×(n-1). 所以,容易知道:
a 1+an =a2+an-1=a3+an-2
=a4+an -3=…=an-1+a2=an +a1.
设 Sn =a1+a2+a3+…+an
则 Sn =an +an-1+an-2+…+a1
两式相加可得:
2×Sn=(a 1+an )+(a2+an-1)+…+(an+a1)
即:2×Sn=n×(a 1+an ), 所以,
【例 4】计算 1+5+9+13+17+…+1993.
随堂练习4、300到400之间能被7整除的各数之和是多少?
【例 5】建筑工地有一批砖,码成如右图形状,最上层两块砖,第2层6块砖,第3层10块砖…,
依次每层都比其上面一层多4块砖,已知最下层2106块砖,问中间一层多少块砖?这堆砖共
有多少块?
随堂练习5、把100根小棒分成10堆,每堆小棒根数都是单数且一堆比一堆少两根,应如何分?
(四)等差数列的应用
【例 6】 把所有奇数排列成下面的数表,根据规律,
请指出:①197排在第几行的第几个数?
②第10行的第9个数是多少?
1
3 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31
33 35 37 39 43 45 47 49
… …
随堂练习6、 将自然数如下排列,
1 2 6 7 15 16 …
3 5 8 14 17 …
4 9 13 18 …
10 12 …
11 …
…
在这样的排列下,数字3排在第2行第1列,13排在第3行第3列,问:2011排在第几行第
几列?
二、有规律的数列
前一节里我们对一类特殊的数列——等差数列作了研究,找到了求其中第n 个数以及
求其中前面n 个数之和的计算规律。除了等差数列以外,还有各种不同的数列,如何找出相
应数列的组成规律?
【例7】找出以下各个数列的规律,在括号里填上适当的数。
(1)4,6,10,16,24,34,46,( ) ; (2)1,4,7,5,8,11,9,12,( );
(3)1,4,9,16,25,36,( ) ; (4)5,9,8,16,11,23,14,30,( )。
随堂练习7、找出以下各个数列的规律,在括号里填上适当的数。
(1)3,12,27,48,75,( );
(2)3,26,111,324,755,1518,2751,( );
(3)2,10,10,66,26,218,50,514,82,1002,( ),( );
(4)0.25,0.4,0.5,1.6,0.75,3.6,1,6.4,( ),( )
【例8】十个圆最多可以把整个平面分成几个部分?
随堂练习8、10条直线最多可以把平面分成几部分?
课后练习
1、观察分析下面各列数的变化规律,并填上合适的数.
(1)7,11,15,19,( ),…;
(2)1,4,3,6,5,( ),( ),…;
(3)1,4,9,16,( ),…;
(4)1,2,4,8,16,( ),….
。
2、 找规律填空.
(1)11,3,8,3,5,3,( ),( );
(2)15,6,13,7,11,8,( ),( );
(3)2,5,14,41,( );
(4)1,1,2,3,5,8,13,21,( ).
3、先找出规律,然后在括号里填上适当的数.
(1)3,8,18,33,53,78,( );
(2)0,1,3,8,21,( ).
4、下面一组数是按某种规律排列的,请你仔细观察,找出规律并在横线上填写适当的数:
2,97,1,4,98,3,6,99,5,____,____,7,10,101,____,12,102,11,…。 5 、找规律填数.
(1)0×9+( )=1;
(2)1×9+( )=11;
(3)12×9+( )=111;
(4)123×9+( )=( );
(5)1234×9+( )=( );
(6)12345×9+( )=( );
(7)123456×9+( )=( );
(8)1234567×9+( )=( );
(9)12345678×9+( )=( );
6、计算下列各题:
(1)1+3+5+…+99; (2)1+4+7+…+100;
(3)1949+1959+1969+1979+1989+1999+2009.
7、求所有3位偶数相加的和。
8、求所有被4除余2的两位数的和。
9、求从120到500的所有整数中被6除余5的那些整数的和。
10、把27枚棋子放到7个不同的空盒中,如果要求每个盒子都不空,且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多,问能否办到,若能,写出具体方案,若不能,说明理由.
11、从1到50这50个连续自然数中,取两数相加,使其和大于50,有多少种不同的取法?
12、下面的算式是按一定规律排列的,那么,第100个算式的得数是多少?
4+2,5+8,6+14,7+20,…
13、11至18这8个连续自然数的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8个连续数的和,这另外8个连续自然数中的最小数是多少?
14、把一堆苹果分给8个小朋友,要使每个人都能拿到苹果,而且每个人拿到苹果个数都不同的话,这堆苹果至少应该有几个?
15、下表是一个数字方阵,求表中所有数之和.
1,2,3,4,5,6…98,99,100
2,3,4,5,6,7…99,100,101
3,4,5,6,7,8…100,101,102
……
100,101,102,103,104,105…197,198,199