速度关联类问题求解速度的合成与分解

速度关联类问题求解·速度的合成与分解

编辑 杨国兴

运动物体间速度关联关系，往往是有些高考命题的切入点. 而寻找这种关系则是考生普遍感觉的难点

●难点

1. （★★★）如图5-1所示，A 、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A 车以速度v 0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B 车的速度是多少？

2. ★★★★如图5-2所示，质量为m 的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮. 由地面上的人以恒定的速度v 0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人对物体所做的功为多少？

●案例探究

［例1］★★★如图5-3所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v 运动. 当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？

命题意图：考查分析综合及推理能力，B 级要求.

错解分析：弄不清合运动与分运动概念，将绳子收缩的速度按图5-4所示分解，从而得出错解v 物=v 1=v cos θ.

解题方法与技巧：解法一:应用微元法

设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BC ，如图5-5所示. 过C 点作CD ⊥AB ，当Δt →0时，∠BAC 极小，在△ACD 中，可以认为AC =AD ，在Δt 时间内，人拉绳子的长度为Δs 2=BD ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度.

由图可知：BC =

BD cos θ

由速度的定义：物体移动的速度为v 物=

∆s 2∆t v cos θ

BD ∆t

∆s 1∆t

=

BC ∆t

② ③

人拉绳子的速度v ==

由①②③解之：v 物=

解法二:应用合运动与分运动的关系

绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面

图

5-1

上运动的速度v 物是合速度，将v 物按如图5-6所示进行分解.

其中:v =v 物cos θ，使绳子收缩.

v ⊥=v 物sin θ, 使绳子绕定滑轮上的A 点转动. 所以v 物=

v cos θ

图5-6

解法三：应用能量转化及守恒定律

图

5-2

由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功.

人对绳子的拉力为F ，则对绳子做功的功率为P 1=Fv ；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为P 2=Fv 物cos θ，因为P 1=P 2所以v 物=

v

cos θ

图

5-3

图5-7

［例2］（★★★★★）一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠

图5-4

在一个质量为M ，高为h 的物块上，如图5-7所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球A 的线速度v A （此时杆与水平方向夹角为θ）.

命题意图：考查综合分析及推理能力.B 级要求.

①

图5-5

向.

错解分析：①不能恰当选取连结点B 来分析，题目无法切入. ②无法判断B 点参与的分运动方

解题方法与技巧：选取物与棒接触点B 为连结点. （不直接选A 点，因为A 点与物块速度的

v

的关系不明显）. 因为B 点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B 点的合速度（实际速度）也就是物块速度v ；B 点又在棒上，参与沿棒向A 点滑动的速度v 1和绕O 点转动的线速度v 2. 因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v 2=v sin θ.

设此时OB 长度为a ，则a =h /sinθ.

令棒绕O 点转动角速度为ω，则：ω=v 2/a =v sin θ/h . 故A 的线速度v A =ωL =vL sin θ/h . ●锦囊妙计

一、分运动与合运动的关系

1. 一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（v 分、s 分）互不干扰，即：独立性.

2. 合运动与分运动同时开始、进行、同时结束，即：同时性.

3. 合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代，即：等效性.

二、处理速度分解的思路

1. 选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）.

2. 确定该点合速度方向（通常以物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变.

3. 确定该点合速度（实际速度）的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向. 4. 作出速度分解的示意图，寻找速度关系. ●歼灭难点训练 一、选择题

1. （★★★）如图5-8所示，物体A 置于水平面上，A 前固定一滑轮B ，高台上有一定滑轮D ，一根轻绳一端固定在C 点，再绕过B 、D.BC 段水平，当以速度v 0拉绳子自由端时，A 沿水平面前进，求：当跨过B 的两段绳子夹角为α时A 的运动速度v .

图

5-8

2

2

图5-9 图5—10

3. （★★★★）一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m 1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m 2连接. 已知定滑轮到杆的距离为3m. 物体m 2由静止从AB 连线为水平位置开始下滑1 m时，m 1、m 2恰受力平衡如图5-10所示. 试求：

（1）m 2在下滑过程中的最大速度.

（2）m 2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离.

图

5-11

4. （★★★★）如图5-11所示，S 为一点光源，M 为一平面镜，光屏与平面镜平行放置. SO 是垂直照射在M 上的光线，已知SO =L ，若M 以角速度ω绕O 点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点 S ′在屏上移动的瞬时速度v 为多大？

5. （★★★★★）一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ 提升井中质量为m 的物体，如图5-12所示. 绳的P 端拴在车后的挂钩上，Q 端拴在物体上. 设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计. 开始时，车在A 点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H . 提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A 经B 驶向C. 设A 到B 的距离也为H ，车过B 点时的速度为v B . 求在车由A 移到B 的过程中，绳Q 端的拉力对物体做的功.

6. （★★★★★）如图5-13所示，斜劈B 的倾角为30°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个质量与斜劈质量相同、半径为r 的球A 放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，求此后运动中

（1）斜劈的最大速度.

（2）球触地后弹起的最大高度。（球与地面作用中机械能的损失忽略不计） 参考答案： ［难点］

图5-13 图

5-12

2. （★★★★★）如图5-9所示，均匀直杆上连着两个小球A 、B ，不计一切摩擦. 当杆滑到如图位置时，B 球水平速度为v B ，加速度为a B ，杆与竖直夹角为α，求此时A 球速度和加速度大小

.

1. v B =

cos αcos β

v 0 2. 略

h =2H-H=（2-1）H

［歼灭难点训练］ 1. v =

v 0

W G =-mgh =-mg （2-1）H

于是由动能定理得 W T +W G =ΔE k =E k2-E k1 即WT -mg （2-1）H =

14

mv B 2-0

14

1+cos α

2. v A =v B tan α; a A =a B tan α

3. （1）由图可知，随m 2的下滑，绳子拉力的竖直分量是逐渐增大的，m 2在C 点受力恰好平衡，因此m 2从B 到C 是加速过程，以后将做减速运动，所以m 2的最大速度即出现在图示位置. 对m 1、m 2组成的系统来说，在整个运动过程中只有重力和绳子拉力做功，但绳子拉力做功代数和为零，所以系统机械能守恒. ΔE 增=ΔE 减，即

1212

m 1v 1+m 2v 2+m 1g （A C -A B ）sin30°=m 2g ·B C 22

又由图示位置m 1、m 2受力平衡，应有： T cos ∠ACB =m 2g , T =m 1g sin30°

又由速度分解知识知v 1=v 2cos ∠ACB ，代入数值可解得v 2=2.15 m/s,

（2）m 2下滑距离最大时m 1、m 2速度为零，在整个过程中应用机械能守恒定律，得： ΔE 增′=ΔE 减′

所以绳子拉力对物体做功W T =

mv B 2+mg （2-1）H

6. （1）A 加速下落，B 加速后退，当A 落地时，B 速度最大，整大过程中，斜面与球之间弹力对球和斜面做功代数和为零，所以系统机械能守恒.

mg （h -r ）=2mv A +2mv B

2

2

①

由图中几何知识知：h =cot30°·r =3r ②

A 、 B 的运动均可分解为沿斜面和垂直斜面的运动，如图5′—3所示。

即:m 1g （H

2

+AB

2

-AB ）sin30°=m 2gH

43

利用（1）中质量关系可求得m 2下滑的最大距离H =3m=2.31 m

4. 由几何光学知识可知：当平面镜绕O 逆时针转过30°时，则：∠SOS ′=60°， OS ′=L /cos60°.

选取光点S ′为连结点，因为光点 S ′在屏上，该点运动方向不变，故该点实际速度（合速度）就是在光屏上移动速度v ；光点S ′又在反射光线OS ′上，它参与沿光线OS ′的运动. 速度v 1和绕O 点转动，线速度v 2；因此将这个合速度沿光线OS ′及垂直于光线 OS ′的两个方向分解，由速度矢量分解图5′—1可得：

v 1=v sin60°, v 2=v cos60°

又由圆周运动知识可得：当线OS ′绕O 转动角速度为2ω. 图5′—

1 则：v 2=2ωL /cos60°

vc os60°=2ωL /cos60°, v =8ωL .

5. 以物体为研究对象，开始时其动能E k1=0.随着车的加速运动，重物上升，同时速度也不断增加. 当车子运动到B 点时，重物获得一定的上升速度v Q ，这个速度也就是收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分量，如图5′-2，即

v Q =v B 1=v B c os45°=

22

图5′—3

由于两物体在垂直斜面方向不发生相对运动，所以v A 2=v B 2 即v A cos30°=v B sin30° ③ 解得v A =v B =

(3-1) gr

2

2

（2）A 球落地后反弹速度v A ′=v A 做竖直上抛运动的最大高度：H m =

v A

'

2

3(3-1) gr

2g

=

(3-1) r

4

v B

12

于是重物的动能增为 E k2 =

mv Q 2=

14

mv B 2

图5′—2

在这个提升过程中，重物受到绳的拉力T 、重力mg ，物体上升的高度和重力做的功分别为

卫星运行特点分析及应用

编辑 杨国兴

卫星运行问题与物理知识（如万有引力定律、匀速圆周运动、牛顿运动定律等）及地理知识有十分密切的相关性，是新高考突出学科内及跨学科间综合创新能力考查的命题热点，也是考生备考应试的难点.

●难点

1. （★★★★）用m 表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，h 表示它离地面的高度，R 0表示地球的半径，g 0表示地球表面处的重力加速度，ω0表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受地球对它的万有引力的大小

A. 等于0 C. 等于m 23R 02g 0ω04

B.

3

R 0g 0

2

ω

2

-R 0

020

B. 等于m 2

R 0g 0(R 0+h )

2

2

D. 以上结果都不对

-R 0 2

4π

D. 地球同步通信卫星的角速度虽已确定，但卫星离地面的高度可以选择. 高度增加，环绕速度增大，高度降低，环绕速度减小，仍能同步

命题意图：考查推导能力及综合分析能力.B 级要求. 错解分析：（1）把握不住解题的基本依据：地球对其表面物体的万有引力约等于物体所受重力，卫星圆周运动的向心力由万有引力提供，使问题难以切入. （2）思维缺乏开放性造成漏解. （3）推理缺乏严密性导致错解.

解题方法与技巧：（1）设地球同步卫星离地心的高度为r , 则r =R 0+h 则环绕速度v =ω0r =ω0（R 0+h ）. 同步卫星圆周运动由万有引力提供向心力：

即G

Mm r

2

C.

GMT

2. （★★★★★）俄罗斯“和平号”空间站在人类航天史上写下了辉煌的篇章，因不能保障其继续运行，3月23日坠入太平洋. 设空间站的总质量为m ，在离地面高度为h 的轨道上绕地球做匀速圆周运动. 坠落时地面指挥系统使空间站在极短时间内向前喷出部分高速气体，使其速度瞬间变小，在万有引力作用下下坠. 设喷出气体的质量为

1100

=m

v

2

r

得v =

2

GM r

=GM

GM R 0+h

2

m ，喷出速度为空间站原来速度的37倍，下又有G

Mm r

2

=m ω0, 所以r =GM

坠过程中外力对空间站做功为W . 求：

（1）空间站做圆周运动时的线速度.

（2）空间站落到太平洋表面时的速度. （设地球表面的重力加速度为g ，地球半径为R ） R

分别是引力常量、地球的质量和半径. 已知G =6.67×10N ·m /kg, c =2.9979×108 m/s.求下列问题：

（1）逃逸速度大于真空中光速的天体叫作黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量m =1.98×1030 kg ，求它的可能最大半径；

-273

（2）在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10 kg/m，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c ，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？

●案例探究 ［例1］（★★★★）用m 表示地球同步通信卫星的质量、h 表示卫星离地面的高度、M 表示地球的质量、R 0表示地球的半径、g 0表示地球表面处的重力加速度、T 0表示地球自转的周期、ω0表示地球自转的角速度，则：

（1）地球同步通信卫星的环绕速度v 为

-11

2

2

ω0

2πGM T

20

则v =ω0r =ω0ω0

2

=GM ω0=3

2

故选项A 、B 、C 、D 均正确.

R 0R 0+h

3. （★★★★★）已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v 2=

2Gm

, 其中G 、m 、R （2）地球同步卫星的重力加速度为g ′=（

R 0

2

2

）2·g 0，地球对它的万有引力大小可认为

R 0

2

2

等于同步卫星的重力mg 0

R 0g 0

2

(R 0+h )

来提供向心力：即mg 0

(R 0+h )

=m ω0（R 0+h ）

2

所以h =3

ω0

2

2

-R 0

4πT

202

F 向=m ω0（R 0+h ）=m

R 0g 0

2

(R 0+h ) =m 16πGM

T 0

4

4

故选项A 、B 、C 、D 均正确.

（3）因为h =2πT 0

A. ω0（R 0+h ） B.

GM R 0+h

C. 3GM ω0 D.

2πGM T 0

4

ω0

2

-R 0，式中R 0、g 0、ω0都是确定的，故h 被确定. R 0g 0T 0

4π

22

2

但ω0=

，所以h =

-R 0故选项A ，B ，C 正确.

（2）地球同步通信卫星所受的地球对它的万有引力F 的大小为 A. m

R 0g 0(R 0+h )

2

2

B. m ω0（R 0+h ） C. m R 0g 0ω

3

224

D. m 16πGM T 0

4

（3）地球同步通信卫星离地面的高度h 为

A. 因地球同步通信卫星和地球自转同步，则卫星离地面的高度就被确定

［例2］（★★★★★）1986年2月20日发射升空的“和平号”空间站，在服役15年后于2001年3月23日坠落在南太平洋. “和平号”风风雨雨15年铸就了辉煌业绩，已成为航天史上的永恒篇章. “和平号”空间站总质量137 t，工作容积超过400 m3，是迄今为止人类探索太空规模最大的航天器，有“人造天宫”之称. 在太空运行的这一“庞然大物”按照地面指令准确坠落在预定海域，这在人类历史上还是第一次. “和平号”空间站正常运行时，距离地面的平均高度大约为350 km.为

保证空间站最终安全坠毁，俄罗斯航天局地面控制中心对空间站的运行做了精心安排和控制. 在坠毁前空间站已经顺利进入指定的低空轨道，此时“和平号”距离地面的高度大约为240 km. 设“和平号”沿指定的低空轨道运行时，其轨道高度平均每昼夜降低2.7 km. 设“和平号”空间站正常运转时沿高度为350 km圆形轨道运行，在坠落前沿高度为240km 的指定圆形低空轨道运行，而且沿指定的低空轨道运行时，每运行一周空间站高度变化很小，因此计算时对空间站的每一周的运动都可以作为匀速圆周运动处理.

（1）简要说明，为什么空间站在沿圆轨道正常运行过程中，其运动速率是不变的.

（2）空间站沿正常轨道运行时的加速度与沿指定的低空轨道运行时加速度大小的比值多大？计算结果保留2位有效数字.

（3）空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均变化多大？计算中取地球半径R =6.4×103 km，计算结果保留1位有效数字.

命题意图：考查阅读摄取信息并结合原有知识解决新情景问题的创新能力，B 级要求. 解题方法与技巧：（1）空间站沿圆轨道运行过程中，仅受万有引力作用，所受到的万有引力与空间站运行方向垂直，引力对空间站不做功，因此空间站沿圆轨道运行过程中，其运动速率是不变的.

（2）不论空间站沿正常轨道运行，还是沿指定的低空轨道运行时，都是万有引力恰好提供空间站运行时所需要的向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有

G

Mm r

2

径就要发生变化，万有引力做功，我们将其称为不稳定运行即变轨运动；而当它所受万有引力刚好提供向心力时，它的运行速率就不再发生变化，轨道半径确定不变从而做匀速圆周运动，我们称为稳定运行.

对于稳定运行状态的卫星，①运行速率不变；②轨道半径不变；③万有引力提供向心力，即GMm /r 2=mv 2/r 成立. 其运行速度与其运行轨道处于一一对应关系，即每一轨道都有一确定速度相对应. 而不稳定运行的卫星则不具备上述关系，其运行速率和轨道半径都在发生着变化.

二、同步卫星的四定

地球同步卫星是相对地球表面静止的稳定运行卫星.

1. 地球同步卫星的轨道平面，非同步人造地球卫星其轨道平面可与地轴有任意夹角，而同步卫星一定位于赤道的正上方，不可能在与赤道平行的其他平面上.

2. 地球同步卫星的周期：地球同步卫星的运转周期与地球自转周期相同.

3. 地球同步卫星的轨道半径：据牛顿第二定律有GMm /r 2=m ω02r ，得r =3GM /ω0，ω0与地

2

=ma

M r

2

空间站运行时向心加速度是a =G

球自转角速度相同，所以地球同步卫星的轨道半径为r =4.24×104 km.其离地面高度也是一定的.

4. 地球同步卫星的线速度：地球同步卫星的线速度大小为v =ω0r =3.08×103 m/s，为定值，绕行方向与地球自转方向相同.

●歼灭难点训练

1. （★★★）设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比

A. 地球与月球间的万有引力将变大 B. 地球与月球间的万有引力将变小 C. 月球绕地球运动的周期将变长 D. 月球绕地球运动的周期将变短

2. （★★★★）地球同步卫星到地心的距离r 可由r =

2

3

空间站沿正常轨道运行时的加速度与在沿指定的低空轨道运动时加速度大小的比值是

a 1a 2

=r 2r 1

22

a b c 4π

2

222

求出. 已知式中a 的单位是m, b

=(

6. 646. 75

) =0.984=0.97

Mm r

2

22

（3）万有引力提供空间站运行时的向心力，有G 不计地球自转的影响，根据G T =2πr =

r GM

Mm R

2

=mr

4πT

2

2

=mg ，有G M =R g 则指定的低空轨道空间站运行的周期为 r g

2

=2πr

r R g

2

=

2πr R

=

2⨯3. 14⨯6. 64⨯10

6. 4⨯10

6

6

66. 4⨯10s ≈5.3×10s

t T

43

设一昼夜的时间t ，则每昼夜空间站在指定的低空轨道绕地球运行圈数为n =

空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均减小 Δh =2.7 km/n =2.7 km/17=0.2 km ●锦囊妙计

卫星问题贴近科技前沿，且蕴含丰富的中学物理知识，以此为背景的高考命题立意高、情景新、综合性强，对考生的理解能力、综合分析能力、信息提炼处理能力及空间想象能力提出了极高的要求，亦是考生备考应试的难点. 考生应试失误的原因主要表现在：（1）对卫星运行的过程及遵循的规律认识不清，理解不透，难以建立清晰的物理情景. （2）对卫星运行中力与运动量间，能量转化间的关系难以明晰，对诸多公式含义模糊不清.

一、卫星的运行及规律

一般情况下运行的卫星，其所受万有引力不刚好提供向心力，此时，卫星的运行速率及轨道半

的单位是s, c 的单位是m/s，则

A. a 是地球半径，b 是地球自转的周期，c 是地球表面处的重力加速度 B. a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，c 是同步卫星的加速度 C. a 是赤道周长，b 是地球自转的周期，c 是同步卫星的加速度

D. a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，c 是地球表面处的重力加速度 3. （★★★★★）（2000年全国，3）某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变. 每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动. 某次测量卫星的轨道半径为r 1，后来变为r 2, r 2＜r 1. 以E k1、E k2表示卫星在这两个轨道上的动能，T 1、T 2表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的周期，则

A. E k2＜E k1，T 2＜T 1 B. E k2＜E k1，T 2＞T 1 C. E k2＞E k1，T 2＜T 1 D. E k2＞E k1，T 2＞T 1 4. （★★★★）中子星是由密集的中子组成的星体，具有极大的密度. 通过观察已知某中子星的自转速度ω=60πrad/s，该中子星并没有因为自转而解体，根据这些事实人们可以推知中子星的密度. 试写出中子星的密度最小值的表达式为ρ=________，计算出该中子星的密度至少为_______kg/m3. （假设中子通过万有引力结合成球状星体，保留2位有效数字）

5. （★★★★★）假设站在赤道某地的人，恰能在日落后4小时的时候，观察到一颗自己头顶上空被阳光照亮的人造地球卫星，若该卫星是在赤道所在平面内做匀速圆周运动，又已知地球的同步卫星绕地球运行的轨道半径约为地球半径的6.6倍，试估算此人造地球卫星绕地球运行的周期为________s.

6. （★★★★★）（2000年全国，20）2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内. 若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α=40°，已知地球半径R 、地球自转周期T 、地球表面重力加速度g （视为常量）和光速c . 试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）.

7. （★★★★）经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离. 一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统来处理.

现根据对某一双星系统的光度学测量确定：该双星系统中每个星体的质量都是m ，两者相距L ，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动.

（1）试计算该双星系统的运动周期T 计算； （2）若实验上观测到的运动周期为T 观测，且T 观测：T 计算=1：N （N ＞1）. 为了解释 T 观测与T 计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质. 作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质. 若不考虑其他暗物质的影响，请根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度.

参考答案： ［难点］ 1.BC

2. （1）

gR

2

4π

设嘉峪关到同步卫星的距离为L ，如图7′-1所示，由余弦定理

L

得，L =r 2+R 2-2rR cos α所示时间为，t =（式中c 为光速）

c

由以上各式得

R

(R gT 4π

22

2

2

ω=

2πT

因G

Mm

2

=mg 得G M =gR ，r =（

2

R gT

2

22

）

13

)

3

+R -2R (

c

2

R gT 4π

2

22

1

图7′—

1

) cos α

3

t =

7. 解析：首先应明确此双星系统的结构模型，如图7′—2所示。由于每个星体的线度都小于两星体之间的距离，满足万有引力定律的使用条件.

（1）双星均绕它们连线的中点做圆周运动，设运动的速率为v ，得

2

m v =Gm

2

h +R

（2）喷出气体后，空间站的速度变为v 2，由动量守恒定律得一方程，设空间

49gR

2

① v =

Gm 2L

②

图7′—2

L 2

L

站落到太平洋表面时速度为v 3，由动能定理建立另一方程，解得v 3=

121(R +h )

+

200W 99m

T

2π

计算

L =πL

，其中m 、R

R 为天体的质量和半径. 对于黑洞模型来说，其逃逸速度大于真空中的光速 ，即 v 2＞c ，所以

R ＜

2Gm c

2

3. （1）由题目所提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度v 2=

2Gm

=

2⨯6. 7⨯10

-11

⨯1. 98⨯10

8

2

30

(2. 9979⨯10)

m=2.94×103 m

即质量为1.98×1030 kg的黑洞的最大半径为2.94×103 m. （2）把宇宙视为普通天体，则其质量m =ρ·V =ρ·

43

πR 3

①

2Gm R

③ Gm v

（2）根据观测结果，星体的运动周期

1

T 观测=T 计算＜T 计算 ④

N

这种差异是由双星内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量m ′, 位于中点O 处的质点的作用相同. 考虑暗物质作用后双星的速度即为观察到的速度v 观测，则有

m v 观测

L 2

2

=

2L

=

Gm L

2

2

+G

m m '(L 2)

2

⑤ v 观测=

G (m +4m ')

2L 1

1N

1v

⑥

其中R 为宇宙的半径，ρ为宇宙的密度，则宇宙的逃逸速度为v 2=由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c ，即v 2＞c 则由以上三式可得R ＞

10

②

③

10

因为在周长一定时，周期和速度成反比，由④式得把②⑥式代入⑦式得m ′=

N -14

3c

2

8πρG

=4.01×10 m, 合4.24×10光年. 即宇宙的半径至少为4.24×

26

v 观测

=· ⑦

m

10光年.

［歼灭难点训练］

1.BD 2.AD 3.C 4.3ω2/4πG ；1.3×1014 5.1.4×104

6. 解析：设m 为卫星质量，M 为地球质量，r 为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地心转动的角速度，由万有引力定律和牛顿定律有，

G

mM r

2

设所求暗物质的密度为ρ，则有

43

π(

L

故ρ=

243(N -1) m

2πL

3

) ρ=

3

N -1

m

.

=mr ω

2

式中G 为万有引力恒量，因同步卫星绕地心转动的角速度ω与地球自转的角速度相等，有