立体几何定理
立体几何公理和定理
公理1:
公理2:
公理3:
推论1: 推论2: 推论3:
公理4:
定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等。立几.gsp
一、两条直线的位置关系:
平行
相交 异面
异面直线: 角:空间任意事一点作两条异面直线的平行线,所成的锐角或直角.
距离:垂直且相交的公垂线段.
异面直线的证法:反证法或定理:
定理:平面外一点与平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线互为异面直线。
二、直线和平面的位置关系:
1.直线与平面平行的判定和性质:
⎧⎪定义:直线与平面无交点. ⎨判定: 定理:ab,a ⊄α,b ⊂α⇒a ⎪⎩
性质:
a , a ⊂β, α⋂β=l ⇒a l
2. 平面与平面位置关系:平行和相交
平行判
⎧定义:无交点. ⎪
⎪判定1:a ⊂β, b ⊂β, a ⋂b =O , a //α, b //α⎪则α//β⎪
定:⎨判定2:a ⊂β, b ⊂β, a ⋂b =O , ⎪a '⊂β, b '⊂β, a '⋂b '=O ', ⎪
⎪a //a ', b //'则α//β⎪
⎩判定3: a ⊥α, a ⊥β则α//β
平行的性
⎧性质1:α//β, a ⊂α则a //β质:⎪⎨性质2:α//β, α⋂γ=a , β⋂γ=b , 则a //b
⎪性质3:α//β, l ⊥α, 则l ⊥β⎩
3.直线与平面垂直的判定和性质:
判定:
⎧定义:直线与平面任意一条直线都垂直. ⎪
⎪定理1:ab,a ⊥α⇒b ⊥α
⎨
m ⊂αn , ⊂αm , ⋂n =A l ⊥, m l ⊥n , ⎪定理2:
⎪⇒l ⊥α⎩
性质:a ⊥α, b ⊥α⇒ b 3.过空间任意一点,作已知平面的垂线有且只有一条
过空间任意一点,作已知直线的垂面有且只有一个。 4.直线与平面斜交: 点在平面的射影: 直线在平面的射影:
垂
直
⎧定义:如果一条直线和平面α内的任意一条⎪
⎪直线都垂直. 记作l ⊥α⎪
. ⎨判定1:m⊂α, n ⊂α, m ⋂n =B , l ⊥m ,
⎪l ⊥n 则l ⊥α⎪⎪⎩判定2:a //b , a ⊥α则b ⊥α
垂直的性质:a ⊥α, b ⊥α则a b
面面垂直定:⎨质
⎧定义法:平面角为直角⎩判定:AB ⊥β, AB ⊂α则α⊥β
性:
面面垂直
⎧性质1:α⊥β, α⋂β=CD,AB⊂α,AB ⊥CD, 则AB ⎪
⎨性质2:α⊥β,P ∈α, P ∈α, a ⊥β则a ⊂α⎪性质3:α⊥γ, β⊥γ, α⋂β=a , 则a ⊥γ⎩
x 2y 2
解:∵椭圆+=1
259
∴A 、C 恰为椭圆之焦点(如图),由正弦定理,得 sin A +sin C =AB +BC
sin B
AC
又知椭圆定义AB+BC=2a,∴AB+BC=10,AC=2×4=8
∴sin A +sin C =AB +BC =10=5
sin B
AC
8
4
2
x 2y 2
如图把椭圆+=1的长轴
2516
AB
分成8等分,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P ,P 7七个点,F 是椭圆的一个1, P 2, ⋯焦点,则 P 1F +P 2F +
+P 7F =
x 2y 2 +=1∴a =52516
设
则七个点关于P i (x i , y i ) ,称,故∑x i
i =17
Y 轴分别对
=0
由焦半径公式得:
P i F =a +ex i
∴∑P i F =7a +e ∑x i =7a =7⨯5=35
i =1
i =1
7
7
注意:椭圆第二定义焦半径长公式,“∑”号的使用。
例4(06湖北-7) 设过点P(x,y)的直线分别与x 轴的正半轴,y 轴的正半轴交于A 、B 两点,点Q 与点P 关于y 轴对称,O 为坐标原点, 若=2且⋅=-1则P 点的轨迹方程是()
32
y =1(x >0, y >0) 23
B . 3x 2-y 2=1(x >0, y >0)
2
32
C . x -3y 2=1(x >0, y >0) 23
D . x 2+3y 2=1(x >0, y >0) 2A . 3x 2+
3
若P (x , y ), 则A (x , 0), B (0, 3y )
23
∴AB =(-x , 3y ), OQ =(-x , -y )
2
3
⋅=-1∴(-x , -y )(-x , 3y ) =1
2
3
∴x 2-3y 2=1 2
3
x 2y 2
若动点(x,y)在曲线+2=1(b >0)
4b
⎧b 2⎪
B . ⎨4+4(0
上变化,则x 2+2y 的最大值为()
⎧b 2
⎪
A . ⎨4+4(0
C . +4D . 2b 4
解:由题意:x 2+2y =-
42
y +2y +4, 求y ∈[-b 2b
42
y +2y +42b
42b 2b 22b 2
=-2[y -y +() ]+4+
244b
4b 22b 2
=-2(y -) +4+
44b x 2+2y =-
b 2
对称轴为y =(b >0已知)注意分类
4
b 2
Ⅰ)
b ≤, 即b ≥4时,x 2+2y
4
max
=f (b ) =2b
b 2
Ⅱ) -b
0
4
max
b 2=+4
b 2
Ⅲ)
4
x 2+2y
max
⎧b 2⎪
=⎨4+4(0
此题要注意分域讨论,求函数的最
值,把函数求解与解析几何巧妙地结合起来。
4若直线y=kx+1与圆x 2+y 2+kx +my -4=0相交于P 、Q 两点,且P 、Q 关于直线x+y=0
⎧kx -y +1≥0对称,则不等式组⎪⎨kx -m y ≤0
⎪y ≥0⎩
表示的平面区域的面积为
__________ 解:欲求不等式组表示的平面区域的面积,首先要确定不等式组中的k 值
∵直线y=kx+1与圆x 2+y 2+kx +my -4=0相交于P 、Q 两点
而P 、Q 又关于直线y=-x对称,
∴圆心O ' (-k , -m ) 应在直线y=-x上
2
2
∴
k m
=-, k =-m 22
y =kx +1⎫
又 2⎬
x +y 2+kx +my -4=0⎭x 2+k 2x 2+2kx +1+kx -k 2x -k -4=(1+k 2) x 2+(3k -k 2) x -k -3=0
⇒x 2+(kx +1) 2+kx -k (kx +1) -4=0
k 2-3k -(k +3)
设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2), 则x 1+x 2=, x ⋅x =12
1+k 21+k 2
k pq =1, ∴
y 2-y 1
=1, k (x 1-x 2) =x 1-x 2, ∴k =1, m =-1
x 2-x 1
⎧x -y
+1≥0⎪
则不等式式组为⎨x +y ≤0作出可行域
⎪y ≥0⎩
则S =
111⨯1⨯= 224
注意:待定系数法求k 、m
值,再求可行域的面积。
5设F 为抛物线y 2=4x 的焦点,A 、B 、C 为该抛物线上三点,
若FA +FB +FC =0, +=_______
设A (x A , y A ) 、B (x B , y B ) 、C (x C , y C ) 、F (1, 0)
=(x A -1, y A ) 、=(x b -1, y B ) 、=(x C -1, y C
++=0∴x A +x B +x C =3
++据抛物线定义:=x A +1+x B +1+x C +1
=x A +x B +x C +3=3+3=6
注意:向量与解析几何的综合,平面向量知识
13
6在△ABC
==,
2
2
又E 点在BC 边上且满足3=2,若以A 、B 为焦点的双曲线过C 、E 两点,求此双曲线的方程。
解:建立坐标如
图
作CD ⊥AB 于D ,由已知得:
=
13= 22
=AC AC 在AB 上的射影长!
=
13
+=2,则22
A(-1,0),B(1,0) 方
程
为
设双曲线
x 2y 21-=1, 又C (-, h ), E (x 0, y 0)
2a 2b 2
由3=2得
1
3(x 0-1, y 0) =2(--x 0, h -y 0)
2
2⎧x =⎧3x 0-3=-1-2x 0⎪0522
则⎨, ∴⎨, 即E (, h ) 255⎩3y 0=2h -2y 0⎪y 0=h
5⎩
∵E. 、C 均在双曲线上
⎧1h 2
-=1⎪1⎪4a 2b 22222
∴⎨得a =7, b =c -a =1-=2
44h 7⎪-=1⎪⎩25a 225b 2
故所求双曲线方程为
x 2y 27-=1, 即7x 2-y 2=1 16677
7设
x 2y 2
F 1、F 2分别是双曲线2-2=1
a b
的左右焦点,若双曲线上存
在点A ,使∠F 1 A F2=90°,且AF 1=3AF 2, 则双曲线的离心率为( ) A. C.
5
2 D.5 2
B.
2
解:如图所示:设AF 2=x , (x >0) 则AF 1=3x
又根据双曲线的定义AF 1-AF 2=2x =2a
△ABC 为直角三角形,∴x 2+(3x ) 2=4c 2
得c =
a
2
8设有一组圆C k :(x -k +1)2+(y -3k )2=2k 4(k ∈N +)下面四个命题:
A . 存在一条定直线与所有的圆相切;
B . 存在一条定直线与所有的圆相交;
C . 存在一条定直线与所有的圆均不相交;
D .所有的圆均不经过原点。 其中真命题的代号是( B ,D )(写出所有真命题的代号)
解:∵圆的方程为
2222
[x -(k -1)]+(y -3k )=2k )
∴圆心为(k -1, 3k ), 半径为r =2k 2。
可知圆心在直线:⎧⎨
x =k -1
(K
⎩y =3k
为参数)即y =3(x +1) 上运动。
故直线y =3(x +1) 一定与所有的圆相交, 故(B )正确
对于(A)可设存在直线
所以d =r 应Ax +By +C =0与圆相切,
与k无关
A (k -1)+B ⋅3k +C 可是k=2k 2中,22A +B
不可能消去。故A不正确
对于(D),将(0,0)点坐标代入圆的方程,得到
左=(1-k )+(-3k )=1-2k +k 2+9k 2
=10k 2-2k -1
右=2k 4
左≠右22
说明,所有的圆不经过原点,故(D)正确
因此本题的正确答案是B,D。 考查直线与圆的位置关系,和分析问题解决问题的能力,要注意对圆锥曲线中直线与圆锥曲线位置关系的复习。
9已知∆ABC 的一个顶点A(2,-4),
的平分线方程分别为
L 1:x +y -2=0; L 2:x -3y -6=0. 则BC 边的直线方程为x +7y -6=0 ∠B , ∠C
A‘A”B
l 2
分析:本题突出了图形分析法,充分注意到角平分线的性质
从图中可知 A 点关于角B 的平分线的对称点A ′
A 点关于角C 的平分线的对称点A ″
都在直线BC 上,所以求这A ′, A ″
点即可确定直线AB 的方程
设A (2,-4)关于x -3y -6=0的对称点A ' (x 0y 0)的坐标。则A A ′中点
⎛x +2y 0-4⎫M 0, ⎪ 22⎝⎭
又M (x 1y 1)在x -3y -6=0上 y 0-4⎧x 0+2-3⋅-6=0⎪2⎪2则点∴⎨()y --4⎪0-2=-3⎪x 1⎩
24⎫的坐标⎛ , ⎪ ⎝55⎭A ″∴根据两点式写直线可求得l BC :x +7y -6=0
注意:利用图形分析,抓住特点,特别注意,已知点关于直线对称点的常规求法。
10已知两点M(-2,0),N(2,0),点P 为坐标平面的动点。满足
:+⋅=0,则动点P 的轨迹方程为y 2=-8x
设P (x ,y )∴=(
4, 0)
2=(
x +2, y )=x +2+y 2
题意
24x +2+y 2+(4, 0)(x -2, y )=0
2∴4x +2+y 2+4(x -2)=0
x 2+4x +4+y 2=x 2-4x +4
∴y 2=-8x =4 据:注意:平面向量的坐标表示及运算。
11已知点M (-2,0),N (2,0),动点P 满足条件:PH -PN =22,记为点P 的轨迹方程为W 。
(Ⅰ)求W 方程;
(Ⅱ)若A ,B 是W 上的不同两点,O 为坐标原点,OA ⋅OB 的最小值。
解:(Ⅰ)由PH -PN =22知动
点P 的轨迹是以M ,N 为焦点的双曲线的右支 实半轴长a =2, c =2, ∴b =2
故W x 2y 2方程为:-=1x ≥222() (Ⅱ)设A ,B 的坐标分别为(x 1, y 1)(x 2y 2)
当AB ⊥x 轴时,x 1=x 2, y 1=-y 2,从而