专插本历年真题高数2012
广东省2012年普通高等学校本科插班生招生考试
《高等数学》试题
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分。每小题只有一个选项符合题目要求)
1.已经三个数列{an )、{bn )和{cn )满足a n ≤b n ≤c n (n ∈N +),且lim a n =a,lim c n =c(a、b
n →∞
n →∞
为常数,且a
A .有界 B .无界 C .收敛 D .发散
2.x=0是函数
f (x {) e 2+x , x ≥0
3
= x
1
x ,x
,的
A .连续点 B .可去间断点
C .跳跃间断点 D .第二类间断点 3.极限lim 2x sin
x →∞
A .0 B .2 C .3 D .6
x 2
4.如果曲线y=ax-的水平渐近线存在,则常数a= x +1
A .2 B .1 C .0 D .-1
π
5.设f(x,y) 为连续函数,将极坐标形式的二次积分I =⎰4d θ⎰f (r cos θ, r sin θ) rdr 化
00
为直角坐标形式,则I= A .
1
⎰
2
dx ⎰
1-x 2
x
f (x , y ) dy B .⎰
2
dx ⎰
-x 2
f (x , y ) dy
C .
⎰
22
dy ⎰
-y y
f (x , y ) dx D .⎰
22
dy ⎰
1-y 2
f (x , y ) dx
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 6.设f(x)在点x 0处可到,且f ’(x0)=3,则lim 7.若f (x ) =
∆x →0
f (x 0-2∆x ) -f (x 0)
=∆x
tan x
(π). ⎰x dx ,则f ”
8.若曲线y=x3+ax2 +bx+l有拐点(-l,0) ,则常数.
1
e x
dx = 9.广义积分⎰-∞1+e x
10.设函数f(u)可微,且f ’(o)=
1
,则z=f(4x 2一y 2)在点(1,2) 处的全微分dz 2
(1, 2)
=.
三、计算题(本大题共8小题,每小题6分,共48分)
1ln x
11.计算lim () .
x →+∞1+x
⎧dy ⎪x =+t 2+t )
12.设函数y=f(x)由参数方程⎨所确定,求(结果要化为最简形式).
2dx ⎪⎩y =3+t
π
1
13.确定函数f (x ) =(x -1)
e 4
+ar ctan x
的单调区间和极值.
2
14.求不定积分ln(1+x ) dx . .
⎰
1⎧3x 4+11
x e , -≤x ≤⎪2⎪22
15.设f (x ) =⎨,利用定积分的换元法求定积分1f (x -1) dx .
112⎪, x >⎪2⎩x 2
16.求微积分方程y ’’一4y'+13y=0满足初始条件y
x =0
=1, y '
x =0
=8特解.
∂2z
17. 已知二元函数z=x(2y+1),求
∂y ∂x
x
.
x =1y =2
18.计算二重积分
⎰⎰
D
y 2-x d σ,其中D 是由曲线y=x 及直线y=1,x=0围成的闭区域.
四、综合题(大题共2小题,第19小题12分,第20小题10分,共22分)
19.已知C 经过点M(1,0) ,且曲线C 上任意点P(x,y)(x≠0) 处的切线斜率与直线OP (O 为坐标原点)的斜率之差等于ax (常数a>0).
(1)求曲线C 的方程;
(2)诚确a 的值,使曲线C 与直线y=ax围成的平面图形的面积等于20.若当x →0,函数f (x ) =
3. 8
⎰
x
2t
3
-3t +a
dt 与x 是等价无穷小量;
(1)求常数a 的值;(2)证明:
1
≤f (2) ≤8. 2
2
广东省2012年普通高等学校本科插班生招生考试
《高等数学》参考答案及评分标准
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.A 2.C 3.D 4.B 5.C
二、填空题(本大题共5小题,每个空3分,共15分) 6.-6 7.
1
π
8.3 9.ln2 10.4dx - 2dy
三、计算题(本大题共8小题,每小题6分,共48分) -Wl+x) (2分) -ln(1+x ) 1l .解:原式=ln x
x lim →+∞
e
, lim
-ln(1+x )
-
1
x →+∞ln x
=x lim
→+∞1 x
∴原式=e -1
. 12.解:
dx =1
⎛ 11dt
+t 2+t 3+t 2+1⎫⎪=⎝⎪
⎭3+t
2
;
dy dt =t 3+t
2. ∴dy y '
t dx =x ' =t (结果没有化简扣2分). t
13.解:函数f (x ) 的定义域为(-∞, +∞) ,
π
f ' (x ) =e 4+arctan x
π
+(x -1) e 4
+arctan x
∙
1
1+x
2
π
x (1+x ) =e 4
+arctan x
1+x , 令f ' (x ) =0,解得x=0,x=-1
因为在区间(-∞,-1) 内,f ' (x ) >0;在区间(-l,0) 内,f ' (x ) 0,
3
2分)
4分) (6分)(3分) (6分)
(2分)( (
所以f (x ) 的递增区间是(-∞,-1) 及(0,+∞) ,递减区间是(-1,0), (4分)
π
f (x ) 的极大值是f (-1) =-2, f (x ) 的极小值f (0) =-e 4. (6分)
2x 2
dx (2分) , 14.解:⎰ln(1+n ) dx =x ln(1+x ) -⎰2
2
2
1+x
=x ln(1+x 2
) -2⎰
(1-
1
1+x 2
) dx =x ln(1+x 2) -2x +2arctan x +C 15.解:
2
1
f (x -1) dx x -1=t =2
⎰1
-1f (t ) dt 2
1 =
⎰21
1-1f (t ) dt +1f (t ) dt =2⎰2f (x ) dx +1
-11f (x ) dx
2
2
2
1 =⎰
2-1x 3e
x 4+1
dx +2
1
1
1
x 2
dx 2
=0-1
x 1=1. 2
16.解:由微分方程的特征方程r 2 - 4r +13=0解得r=2±3i , 所以此微分方程的通解为
y =e 2x
(C 1cos 3x +C 2sin 3x ) . 因为y ' =2e 2x (C 2x
1cos 3x +C 2sin 3x ) +e (-3C 1sin 3x +3C 2cos 3x ) , 由y
x =0
=C 1=1及y '
x =0
=2C 1+3C 2=8 解得C 1=1,C 2=2,
故所求特解为y =e 2x
(cos3x +2sin 3x ) . 17.解:
∂z
∂y
=2x 2(2y +1) x -1, ∴∂2 x
∂y ∂x
=4x (2y +1) x -1+2x 2(2y +1) x -1ln(2y +1) , 故
∂2z
∂y ∂x
=4+2ln 3 x y ==11
18.解:积分区域D 如图:
4
(6分) 2分)
4分) 6分)
2分)4分)
(6分) (2分) (4分)
(6分)
( ( ( ( (
⎰⎰y 2-xd σ=⎰dy ⎰
01
12
y 2-xdx
(3分)
32
y 22
]dy =⎰[-(y -x ) 2
030
2131 (6分) =⎰y dy = 306
四、综合题(本大题共2小题,第19小题12分,第20小题10分,共22分)
19.解:(1)设曲线C 的方程为y=厂O ),由题意知
y ' -y
x =ax , 且y x =1=0. 由y ' -y
x
=ax 得
1
1
y =e
⎰x dx
(⎰axe
-
⎰x dx
dx +C ) =e ln x (⎰axe -ln x dx +C ) =x (⎰
adx +C ) =x (ax +C ) , , 因为y
x =1
=a +C =0,解得C =-a
故曲线C 的方程为y =ax 2-ax =ax (x -1) . (2)如图,
由ax 2
-ax =ax 解得x=0,x=2, 即(ax 2-
a 3x 3) 20=4a -8a 8
3=3
,
解得a=2. 由题意知⎰
2
(ax -ax 2+ax ) dx =
8, 5
(2分) (4分)
(6分) 10分) 12分)
( (
⎰20.解:(1)解:由题意知lim
x →0
x
2t
3
-3t +a
dt
x
2
3
=lim 2x
x →0
3
-3x +a
=2a =1, (4分)
∴a =0. (2)证:f (2) = 设g (x ) =2x
3
⎰
2
2t
3
-3t
dt =⎰2x
-3x
dx ,
(3x 2-3) ln 2, (6分)
-3x
,则g ' (x ) =2x
3
-3x
令g ' (x ) =0,在区间(0,2) 内解得x=l, 因为g(0)=1,g(1)=
1
4
,g(2)=4, 所以g(x)在区间[0,2]上的最大值为4,最小值为
1
4
. 由定积分的估值定理可得12
≤⎰2x 3-3x 0e dx ≤8, 所以有1
2
≤f (2) ≤8. 6
8分) 10分)
( (