推理与证明题型全归纳(AB卷)

第五节合情推理与演绎推理

1．合情推理

(1)归纳推理： ①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理． ②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理．

(2)类比推理

①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理． ②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．

2．演绎推理

(1)模式：三段论

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

(2)

演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．

[试一试]

1．数列2,5,11,20，x, 47，„中的x 等于( )

A ．28

C ．33 B ．32 D ．27

解析：选B 由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9.

则x －20＝12，因此x ＝32.

1x ⎛12．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提) ，而y ＝⎛是指数函数(小前提) ，所以y ＝⎝3⎝3x 是增函数(结论) ”，上面推理的错误是( )

A ．大前提错导致结论错

B ．小前提错导致结论错

C ．推理形式错导致结论错

D ．大前提和小前提都导致结论错

解析：选A y ＝a x 是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误．

归纳推理与类比推理的步骤

(1)归纳推理的一般步骤：

①通过观察个别情况发现某些相同性质；

②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想) ；

③检验猜想． 实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论

(2)类比推理的一般步骤：

①找出两类事物之间的相似性或一致性；

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想) ；

③检验猜想．

观察、比较→联想、类推→猜想新结论

[练一练]

在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4. 类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 1h V 311⎛S h 111解析：＝＝⎝S ＝. V 2128

2h 24S 2h 23

答案：1∶8

1. ) ：

①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”；

②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋2⇒a ＝c ，b ＝d ”；

③“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”； ④“若x ∈R ，则|x |＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z |＜1⇒－1＜z ＜1”． 其中类比结论正确的个数为( )

A ．1

C ．3

解析：选B 类比结论正确的有①②. B ．2 D ．4

2．在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c 内切圆半径为r ，则三角形面

1积为S △ABC ＝(a ＋b ＋c ) r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体 ABCD 的四个面的面2

积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为____________”．

解析：三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，

11内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中V 23

＋S 2＋S 3＋S 4) r .

1答案：V 四面体ABCD ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 4) r 3

[类题通法]

类比推理的分类

类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法

(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；

(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；

(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．

四面体ABCD ＝1(S 31

[典例] (1＋1) ＝2×1

(2＋1)(2＋2) ＝22×1×3

(3＋1)(3＋2)(3＋3) ＝23×1×3×5 „

照此规律， 第n 个等式可为________．

(2)已知函数f (x ) ＝x (x ＞0) ．如下定义一列函数：f 1(x ) ＝f (x ) ，f 2(x ) ＝f (f 1(x )) ，f 3(x ) ＝x ＋2

f (f 2(x )) ，„，f n (x ) ＝f (f n －1(x )) ，„，n ∈N *，那么由归纳推理可得函数f n (x ) 的解析式是f n (x ) ＝________.

[解析] (1)观察规律可知，左边为n 项的积，最小项和最大项依次为(n ＋1) ，(n ＋n ) ，右边为连续奇数之积乘以2n ，则第n 个等式为：(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)·„·(n ＋n ) ＝

2n ×1×3×5ׄ×(2n －1) ．

(2)依题意得，f 1(x ) ＝x x ＋2

x

x ＋2x x f 2(x ) ＝＝， x 3x ＋4(2－1)x ＋2＋2x ＋2

x

3x ＋4x x f 3(x ) ＝，„， x 7x ＋8(2－1)x ＋2＋23x ＋4

x 由此归纳可得f n (x ) ＝(x ＞0) ． (2－1)x ＋2[答案] (1)(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)·„·(n ＋n ) ＝2n ×1×3×5ׄ×(2n －1)

x (2)(x ＞0) (2－1)x ＋2[类题通法]

归纳推理的分类

常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类

(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；

(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．

[针对训练]

下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是________．

解析：由图知第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋„＋n .

n (n ＋1)∴总个数为2

n (n ＋1)答案：

2

S n (n ∈N *) ．证明： n [典例] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝

⎧S ⎫(1)数列⎨n 是等比数列； ⎩⎭

(2)S n ＋1＝4a n .

n ＋2[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1S ， n n

∴(n ＋2) S n ＝n (S n ＋1－S n ) ，即nS n ＋1＝2(n ＋1) S n .

故S n ＋1S ＝，(小前提) n n ＋1

⎩⎭⎧S ⎫故⎨n ⎬是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)

(大前提是等比数列的定义)

(2)由(1)可知S n ＋1S n －1n ≥2) ， n ＋1n －1

S －n －1＋2∴S n ＋1＝4(n ＋S n －1＝4a n (n ≥2) ．(小前提) n －1n －1

又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提)

∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)

[类题通法]

演绎推理的结构特点

(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．

(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．

[针对训练]

如图所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，且DE

∥BA . 求证：ED ＝AF (要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终

把推理过程用简略的形式表示出来) ．

证明：(1)同位角相等，两条直线平行， (大前提)

∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ， (小前提)

所以DF ∥EA . (结论)

(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形， (大前提)

DE ∥BA 且DF ∥EA ， (小前提)

所以四边形AFDE 为平行四边形．(结论)

(3)平行四边形的对边相等， (大前提)

ED 和AF 为平行四边形的对边， (小前提)

所以ED ＝AF . (结论)

上面的证明可简略地写成：

∠BFD ＝∠A ⇒DF ∥EA ⎫⎪⎬⇒ ⎪ DE ∥BA ⎭

四边形AFDE 是平行四边形⇒ED ＝AF

.

[课堂练通考点]

1．(2018合肥模拟) 正弦函数是奇函数，f (x ) ＝sin(x 2＋1) 是正弦函数，因此f (x ) ＝sin(x 2＋

1) 是奇函数，以上推理( )

A ．结论正确

C ．小前提不正确 B ．大前提不正确 D ．全不正确

解析：选C 因为f (x ) ＝sin(x 2＋1) 不是正弦函数，所以小前提不正确.

2．给出下列三个类比结论．

①(ab ) n ＝a n b n 与(a ＋b ) n 类比，则有(a ＋b ) n ＝a n ＋b n ；

②log a (xy ) ＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β) 类比，则有sin(α＋β) ＝sin αsin β；

③(a ＋b ) 2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b ) 2类比，则有(a ＋b ) 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.

其中结论正确的个数是( )

A ．0

C ．2

解析：选B 只有③正确．

3．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，„，则a 10＋b 10＝( )

A ．28

C ．123 B ．76 D ．199 B ．1 D ．3

解析：选C 记a n ＋b n ＝f (n ) ，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11. 通过观察不难发现f (n ) ＝f (n －1) ＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3) ，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123. 所以a 10＋b 10＝123.

4．(2013·青岛期末) 如果函数f (x ) 在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，

f (x 1)＋f (x 2)＋„＋f (x n )⎛x 1＋x 2＋„＋x n x 2，„，x n ，都有f n n ⎝⎭. 若y ＝sin x 在区间(0，π) 上是凸函

数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．

解析：由题意知，凸函数满足

f (x 1)＋f (x 2)＋„＋f (x n )⎛x 1＋x 2＋„＋x n ⎫≤f n n ⎝⎭，

A ＋B ＋C πsin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin 3sin ＝. 332

3答案： 2

5．设等差数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类

T 比以上结论．设等比数列{a n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________ T 12

解析：对于等比数列，通过类比等差数列，有等比数列{a n }的前n 项积为T n ，则T 4＝

T T a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2„a 8，T 12＝a 1a 2„a 12，T 16＝a 1a 2„a 16，所以＝a 5a 6a 7a 8＝a 9a 10a 11a 12，T 4T 8

T T T T T T T a 13a 14a 15a 16，所以T 4，，，的公比为q 16，因此T 4，，，成等比数列． T 12T 4T 8T 12T 4T 8T 12

T T 答案： T 4T 8

14x x 46．(2014·山西四校联考) 已知x ∈(0，＋∞) ，观察下列各式：x ＋≥2，x ＋＋≥3，x x 22x

27x x x 27a x ＋＋＋4，„，类比得x ＋n ＋1(n ∈N *) ，则a ＝________. x 333x x

解析：第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .

答案：n n

[课下提升考能]

第Ⅰ组：全员必做题

1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )

A ．①

C ．③ B ．② D ．①和②

解析：选B 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B.

2．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：

①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；

②“(m ＋n ) t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b ) ·c ＝a·c ＋b·c ”；

③“(m ·n ) t ＝m (n ·t ) ”类比得到“(a·b ) ·c ＝a·(b·c ) ”；

④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”；

⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；

ac a a·c a ⑥“＝”类比得到“ bc b b·c b

以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( )

A ．1

C ．3 B ．2 D ．4

解析：选B ①②正确，③④⑤⑥错误．

3．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 11，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球S 24

V 体积为V 2( ) V 2

1A. 8

1C. 641 91 D. 27

V 1解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故＝. V 227

4．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )

A ．设数列{a n }的前n 项和为S n . 由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，„，推断：S n ＝n 2

B ．由f (x ) ＝x cos x 满足f (－x ) ＝－f (x ) 对∀x ∈R 都成立，推断：f (x ) ＝x cos x 为奇函数

x 2y 2

C ．由圆x ＋y ＝r 的面积S ＝πr ，推断：椭圆＝1(a ＞b ＞0) 的面积S ＝πab a b 2222

D ．由(1＋1) 2＞21，(2＋1) 2＞22，(3＋1) 2＞23，„，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1) 2＞2n 解析：选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，

n (1＋2n －1)2其前n 项和等于S n ＝n ，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确． 2

5．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )

1

3 5 7

9 11 13 15 17

19 21 23 25 27 29 31

„ „ „

A ．809

C ．786 B ．852 D ．893

解析：选A 前20行共有正奇数1＋3＋5＋„＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.

6．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2. 设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．

解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可

222得S 21＋S 2＋S 3＝S 4.

222答案：S 21＋S 2＋S 3＝S 4

7．若{a n }是等差数列，m ，n ，p 是互不相等的正整数，则有：(m －n ) a p ＋(n －p ) a m ＋(p －m ) a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，有__________________．

n n p p m 解析：设{b n }的首项为b 1，公比为q ，则b m ·b m ·b n p －－－

＝(b 1q p 1) m n ·(b 1q m 1) n p ·(b 1q n 1) p m －－－－－－

＝b 0q 0＝1. 1·

n n p p 答案：b m ·b m ·b n p －－－m ＝1

8．(2013·湖北高考) 在平面直角坐标系中，若点P (x ，y ) 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝

4.

(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是________；

(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答) ．

解析：(1)由定义知，四边形DEFG 由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内部格点有1个，边界上格点有6个，S 四边形DEFG ⎧⎪＝3.(2)由待定系数法可得，⎨1＝a ·0＋b ·4＋c ，⎪⎩3＝a ·1＋b ·6＋c ，1a ·0＋b ·3＋c ，2

a ＝1，⎧⎪1⇒⎨b ＝2，

⎪⎩c ＝－1， 1当N ＝71，L ＝18时，S ＝1×71＋×18－1＝79. 2

答案：(1)3,1,6 (2)79

9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角

1形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝(3)三角形的中位线平行于第三边2

1且等于第三边的 2

请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．

解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：

(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；

1(2)四面体的体积V ×底面积×高； 3

1(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的4

10．(2012·福建高考) 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

(1)sin213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；

(2)sin215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；

(3)sin218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；

(4)sin2(－18°) ＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；

(5)sin2(－25°) ＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.

(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

解：(1)选择(2)式，计算如下：

113sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1sin 30°＝1－244

3(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α) －sin α·cos(30°－α) ＝. 4

证明如下：

法一：sin 2α＋cos 2(30°－α) －sin αcos(30°－α)

＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) 2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)

33131＝sin 2α＋cos 2α＋αcos α＋sin 2αsin αcos α－2α 42422

333＝2α＋cos 2α＝. 444

法二：sin 2α＋cos 2(30°－α) －sin αcos(30°－α)

＝1－cos 2α1＋cos (60°－2α)－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) 22

111131＝cos 2α＋cos 2α＋sin 60°sin 2α) －αcos α－2α 222222

11111

＝cos 2α＋α＋αsin 2α－(1－cos 2α) [1**********]＝1－cos 2αα＝.

4444第Ⅱ组：重点选做题 1．观察下列算式： 13＝1， 23＝3＋5， 33＝7＋9＋11， 43＝13＋15＋17＋19， „„

若某数m 3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2 013”这个数，则m ＝________. 解析：某数m 3按上述规律展开后，等式右边为m 个连续奇数的和，观察可知每行的最后一个数为1＝12＋0,5＝22＋1,11＝32＋2,19＝42＋3，„，所以第m 行的最后一个数为m 2＋(m －1) ．因为当m ＝44时，m 2＋(m －1) ＝1 979，当m ＝45时，m 2＋(m －1) ＝2 069，所以要使等式右边含有“2 013”这个数，则m ＝45.

答案：45

2．(2018东北三校联考) 在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝(－1) n ·2a n －2(n ≥3，n ∈N *) ，其前n 项和为S n .

(1)a 2n ＋1关于n 的表达式为________；

(2)观察S 1，S 2，S 3，S 4，„S n ，在数列{S n }的前100项中相等的项有________对． a ＋a a 解析：(1)„2，又a 1＝1，从而a 2n ＋1＝(－2) n .

a 1a 3a 2n －1

(2)由(1)及条件知，数列{a n }为1,2，－2,22，(－2) 2, 23，(－2) 3, 24，„，从而可知S 1＝S 3，S 5＝S 7，S 9＝S 11，„，故在{S n }的前100项中相等的项有25对．

答案：(1)a 2n ＋1＝(－2) n (2)25

第六节

直接证明和间接证明

1．直接证明 (1)综合法：

利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所

要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．

(2)分析法：

从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等) 为止，这种证明方法叫做分析法．

2．间接证明

反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．

1．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证) „”“即要证„”“就要证„”等分析到一个明显成立的结论P ，再说明所要证明的数学问题成立．

2．利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．

[试一试]

13＋7

B ．分析法 D ．归纳法

解析：选B 要证明3＋7b ，那么a >b ”假设内容应是( ) A. a ＝b C. a ＝b 且a

B. a

D. a ＝b 或a

解析：选D 假设结论不成立，即a >b 的否定为a ≤

.

明晰三种证题的一般规律

(1)综合法证题的一般规律：

用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论．

(2)分析法证题的一般规律：

分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．

(3)反证法证题的一般规律：

反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A ，或者是非A . 即在同一讨论过程中，A 和非A 有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现．

[练一练]

在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足________．

b 2＋c 2－a 2

解析：由余弦定理cos A b 2＋c 2.

2bc 答案：a 2>b 2＋c 2

1.(2013·n ≠0) ，S n 是其前n 项的和．记b n ＝

nS n ∈N *，其中 c 为实数．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S n k n ＋c

＝n 2S k (k ，n ∈N *) ．

证明：由题意得，S n ＝na ＋

n (n －1)

d . 2

n －1d S 2

a ＋2由c ＝0，得b n ＝a ＋. 又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 2＝b 1b 4，即⎛⎝2n 23

a ＋⎫，化简得d 2－2ad ＝0. 因为d ≠0，所以d ＝2a . ＝a ⎛⎝2⎭

因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .

从而对于所有的k ，n ∈N *，有S n k ＝(nk ) 2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .

11

2．已知函数f (x ) ＝ln(1＋x ) ，g (x ) ＝a ＋bx －x 2＋x 3，函数y ＝f (x ) 与函数y ＝g (x ) 的图像

23在交点(0,0)处有公共切线．

(1)求a ，b ； (2)证明：f (x ) ≤g (x ) ． 1

解：(1)f ′(x )

1＋x g ′(x ) ＝b －x ＋x 2，

⎧⎪g (0)＝f (0)，

由题意得⎨解得a ＝0，b ＝1.

⎪f ′(0)＝g ′(0)，⎩

(2)证明：令h (x ) ＝f (x ) －g (x )

11

＝ln(x ＋1) －x 3＋2－x (x ＞－1) ．

32－x 312

h ′(x ) ＝－x ＋x －1＝.

x ＋1x ＋1

h (x ) 在(－1,0) 上为增函数，在(0，＋∞) 上为减函数． h (x ) max ＝h (0)＝0，h (x ) ≤h (0)＝0，即f (x ) ≤g (x ) ． [类题通法]

综合法证题的思路

ππ

0，，若x 1，x 2∈⎛0，⎫，且x 1≠x 2， [典例] 已知函数f (x ) ＝tan x ，x ∈⎛⎝2⎝2⎭x 1＋x 21

求证：[f (x 1) ＋f (x 2)]>f ⎛2⎝2. x ＋x 1

[证明] 要证[f (x 1) ＋f (x 2)]>f ⎛2⎝2， x 1＋x 21

即证明(tan x 1＋tan x 2)>tan，

22x 1＋x 21sin x sin x ，

2cos x 1cos x 22sin (x 1＋x 2)sin (x 1＋x 2)

>.

2cos x 1cos x 21＋cos (x 1＋x 2)π

0，，故x 1＋x 2∈(0，π) ． 由于x 1，x 2∈⎛⎝2∴cos x 1cos x 2>0，sin(x 1＋x 2)>0， 1＋cos(x 1＋x 2)>0，

故只需证明1＋cos(x 1＋x 2)>2cos x 1cos x 2， 即证1＋cos x 1cos x 2－sin x 1sin x 2>2cos x 1cos x 2， 即证：cos(x 1－x 2)

π

0，⎫，x 1≠x 2知上式显然成立， 由x 1，x 2∈⎛⎝2⎭x 1＋x 21

因此，[f (x 1) ＋f (x 2)]>f ⎛2⎝2.

若本例中f (x ) 变为f (x ) ＝3x －2x ，试证：对于任意的x 1，x 2∈R ，均有

f (x 1)＋f (x 2)⎛x 1＋x 2⎫

≥f 2⎝2⎭.

f (x 1)＋f (x 2)⎛x 1＋x 2证明：要证明≥f

2⎝2⎭，

(3x 1－2x 1)＋(3x 2－2x 2)x 1＋x 2x 1＋x 2

即证明3，

2223x 1＋3x 2x 1＋x 2

因此只要证明－(x 1＋x 2) ≥3(x 1＋x 2) ，

223x 1＋3x 2x 1＋x 2

即证明≥，

223x 1＋3x 2

因此只要证明≥31·32，

2由于x 1，x 2∈R 时，3x 1>0,3x 2>0， 由基本不等式知

3x 1＋3x 2

3x 1·3x 2显然成立， 2故原结论成立． [类题通法]

分析法证题的技巧

(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．

(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分) 的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，从而使原命题得证．

[针对训练]

△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 求证：

113

＝. a ＋b b ＋c a ＋b ＋c

113 a ＋b b ＋c a ＋b ＋c

证明：要证

a ＋b ＋c a ＋b ＋c c a 即证3也就是＝1，

a ＋b b ＋c a ＋b b ＋c

只需证c (b ＋c ) ＋a (a ＋b ) ＝(a ＋b )(b ＋c ) ， 需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，

又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°， 由余弦定理，得

b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，即b 2＝c 2＋a 2－ac ， 故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立． 于是原等式成立．

5[典例] 已知f (x ) ＝ax 2＋bx ＋c ，若a ＋c ＝0，f (x ) 在[－1,1]上的最大值为2，最小值为－.

2b 求证：a ≠0且⎪⎪a

b ⎪

[证明] 假设a ＝0或⎪⎪a ⎪≥2.

(1)当a ＝0时，由a ＋c ＝0，得f (x ) ＝bx ，显然b ≠0. 由题意得f (x ) ＝bx 在[－1,1]上是单调函数， 所以f (x ) 的最大值为|b |，最小值为－|b |. 51由已知条件，得|b |＋(－|b |)＝2，

22这与|b |＋(－|b |)＝0相矛盾，所以a ≠0.

b b

(2)当⎪≥2时，由二次函数的对称轴为x ＝－， ⎪a 2a

知f (x ) 在[－1,1]上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得． f (1)＝a ＋b ＋c ＝2，⎧⎪所以⎨ 5

f (－1)＝a －b ＋c ＝－，⎪2⎩5⎧⎪f (1)＝a ＋b ＋c ＝－2或⎨ ⎪⎩f (－1)＝a －b ＋c ＝2.

b ⎪又a ＋c ＝0，则此时b 无解，所以⎪⎪a ⎪

反证法证明问题的一般步骤

(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题) 成立；(否定结论) (2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、

已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)

(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)

[针对训练]

实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个为负数．

证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数，则由a ＋b ＝c ＋d ＝1， 得1＝(a ＋b )(c ＋d ) ＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ， 即ac ＋bd ≤1，这与ac ＋bd ＞1矛盾，

故假设不成立．即a ，b ，c ，d 中至少有一个为负数．

[课堂练通考点]

1．命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )

A ．不成立 C ．不能断定

解析：选B ∵S n ＝2n 2－3n ， ∴S n －1＝2(n －1) 2－3(n －1)(n ≥2) ，

∴a n ＝S n －S n －1＝4n －5(当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1符合上式) ． ∴a n ＋1－a n ＝4(n ≥1) ，∴{a n }是等差数列． 2．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a b ≤0 (a ＋b )2C. －1－a 2b 2≤0

2

2

2

B ．成立 D ．能断定

a 4＋b 4

B ．a ＋b －1－0

2

2

2

D ．(a 2－1)(b 2－1) ≥0

解析：选D 因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1) ≥0.

3．不相等的三个正数a ，b ，c 成等差数列，并且x 是a ，b 的等比中项，y 是b ，c 的等比中项，则x 2，b 2，y 2三数( )

A ．成等比数列而非等差数列 B ．成等差数列而非等比数列 C ．既成等差数列又成等比数列 D ．既非等差数列又非等比数列

a ＋c ＝2b ， ①⎧⎪2

解析：选B 由已知条件，可得⎨x ＝ab ， ②

⎪⎩y 2＝bc . ③

⎧

由②③得⎨y

c ＝⎩b 2

x 2a ，

b

x 2y 2

代入①，得＋＝2b ，

b b

即x 2＋y 2＝2b 2. 故x 2，b 2，y 2成等差数列． 4．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：

①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1. 其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( ) A ．②③ C ．③

B ．①②③ D ．③④⑤

12

解析：选C 若a ＝，b ＝，则a ＋b >1，

23但a

若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出； 对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a ≤1且b ≤1， 则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，

因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1.

2

5．已知数列{a n }满足a 1＝λ，a n ＋1＝a n ＋n －4，n ∈N *，其中λ为实数．求证：数列{a n }

3不是等比数列．

2

证明：由已知可得a 1＝λ，a 2＝λ－3，

34

a 3＝λ－4. 假设存在实数λ，

9

使{a n }是等比数列，则必有a 22＝a 1a 3， 24

－3⎫2＝λ⎛－4⎫，于是 即⎛⎝3⎭⎝9⎭424

－4λ＋9＝2－4λ， 99

可得9＝0，矛盾，所以假设错误， 即数列{a n }不是等比数列．

[课下提升考能]

1．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 有有理数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )

A ．假设a ，b ，c 都是偶数 B ．假设a ，b ，c 都不是偶数 C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数 D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数

解析：选B “至少有一个”的否定为“都不是”．故选B. 2．(2014·银川模拟) 设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a －b ) 2＋(b －c ) 2＋(c －a ) 2≠0； ②a >b ，a

B ．1 D ．3

解析：选C ①②正确；③中，a ≠b ，b ≠c ，a ≠c 可以同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，故正确的判断有2个．

3．设f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x ) 单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1) ＋f (x 2) 的值( )

A ．恒为负值 C ．恒为正值

B ．恒等于零 D ．无法确定正负

解析：选A 由f (x ) 是定义在R 上的奇函数， 且当x ≥0时，f (x ) 单调递减， 可知f (x ) 是R 上的单调递减函数，

由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)

⎪4. (创新题)在R 上定义运算：⎪

⎪x －1 a －2⎪

⎪＝ad －bc . 若不等式⎪⎪≥1对任意实数x ⎪c d ⎪⎪a ＋1 x ⎪

a b ⎪

3

B ．－

23 D. 2

恒成立，则实数a 的最大值为( )

1A ．－21C. 2

解析：选D 据已知定义可得不等式x 2－x －a 2＋a ＋1≥0恒成立，故Δ＝1－4(－a 2＋a

13

＋1) ≤0，解得－a ≤，

22

3

故a 的最大值为.

2

5．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形

C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形 D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形

解析：选D 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．

⎧⎪π⎫由⎨sin B ＝cos B ＝sin ⎛⎝2－B ⎭，

⎛π－C ⎫，⎪sin C ＝cos C ＝sin ⎩⎝2⎭

2

1

1

2

1

1

π

－A 1⎫，sin A 2＝cos A 1＝sin ⎛⎝2⎭

⎧⎪π

得⎨B ＝2－B ，⎪C . ⎩C ＝π2

2

1

2

1

π

A 2＝－A 1，

2

π

那么，A 2＋B 2＋C 2＝180°相矛盾．

2所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形． 所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．

6．设a 3＋22，b ＝27，则a ，b 的大小关系为________．

解析：a 3＋2，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然，6＜7. ∴a ＜b .

答案：a ＜b

7．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x ) 在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如1

果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1) －f (x 2)|

2该是________．

1

答案：“∃x 1，x 2∈[0,1]，使得|f (x 1) －f (x 2)|

2

8．已知点A n (n ，a n ) 为函数y ＝x ＋1图像上的点，B n (n ，b n ) 为函数y ＝x 图像上的点，

其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．

解析：由条件得c n ＝a n －b n ＝n ＋1－n ＝

∴c n 随n 的增大而减小．∴c n ＋1

答案：c n ＋1

9．若a ＞b ＞c ＞d ＞0且a ＋d ＝b ＋c ， 求证：d a ＜b c .

证明：要证d ＋a ＜b ＋c ，只需证(d ＋a ) 2＜b ＋c ) 2，

即a ＋d ＋2ad ＜b ＋c ＋bc ， 因a ＋d ＝b ＋c ，只需证ad ＜bc ，

即ad ＜bc ，设a ＋d ＝b ＋c ＝t ，

则ad －bc ＝(t －d ) d －(t －c ) c ＝(c －d )(c ＋d －t ) ＜0， 故ad ＜bc 成立，从而d ＋a ＜b ＋c 成立．

10．已知二次函数f (x ) ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像与x 轴有两个不同的交点，若f (c ) ＝0，且00.

1(1)证明：f (x ) ＝0的一个根； a

1(2)试比较c 的大小； a

(3)证明：－2

解：(1)证明：∵f (x ) 的图像与x 轴有两个不同的交点，

∴f (x ) ＝0有两个不等实根x 1，x 2，

∵f (c ) ＝0，

∴x 1＝c 是f (x ) ＝0的根，

c 又x 1x 2 a

11⎫≠c ， ∴x 2＝⎛a ⎝a ⎭

1∴f (x ) ＝0的一个根． a

11(2)假设c ， a a

由00，

1⎛1⎫＝0矛盾， 知f ⎛>0与f ⎝a ⎝a ⎭

1∴c ， a 1 n ＋1＋n 21

1又∵≠c ， a

1∴c . a

(3)证明：由f (c ) ＝0，得ac ＋b ＋1＝0， ∴b ＝－1－ac .

又a >0，c >0，∴b

二次函数f (x ) 的图像的对称轴方程为 x ＝－b x 1＋x 2x 2＋x 212a 2

即－b

2a 1a .

又a >0，∴b >－2，

∴－2

22