空间向量教案
平面向量与空间向量基本知识
一、平面向量(你对向量的有关概念清楚吗?)
1、向量——既有大小又有方向的量。
2、向量的模——有向线段的长度,|a| 3、单位向量|a0|1,a0
a
|a|
4、零向量0,|0|0
长度相等
5、相等的向量ab
方向相同
在此规定下,向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。 6、共线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。 规定:零向量与任意向量平行。 b∥a(b0)存在唯一实数,使ba
7、向量的加、减法如图:
OAOBOC
OAOBBA
8、平面向量基本定理(向量的分解定理)
e1,e2是平面内的两个不共线向量,a为该平面任一向量,则存在唯一
实数对1、2,使得a1e12e2,e1、e2叫做表示这一平面内所有向量
的一组基底。
9、向量的坐标表示
i,j是一对互相垂直的单位向量,则有且只有一对实数x,y,使得
axiyj,称(x,y)为向量a的坐标,记作:ax,y,即为向量的坐标
表示。
设ax1,y1,bx2,y2
1 / 11
则abx1,y1y1,y2x1y1,x2y2 ax1,y1x1,y1 若Ax1,y1,Bx2,y2
则ABx2x1,y2y1 |AB|
x2x12y2y12,A、B两点间距离公式
10、. 平面向量的数量积
(1)a·b|a|·|b|cos叫做向量a与b的数量积(或内积)。 为向量a与b的夹角,0,
数量积的几何意义:
a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos的乘积。
(2)数量积的运算法则 ①a·bb·a
②(ab)ca·cb·c
③a·bx1,y1·x2,y2x1x2y1y2
注意:数量积不满足结合律(a·b)·ca·(b·c) (3)重要性质:设ax1,y1,bx2,y2 ①a⊥ba·b0x1·x2y1·y20 ②a∥ba·b|a|·|b|或a·b|a|·|b| ab(b0,惟一确定) x1y2x2y10
③a|a|xy,|a·b||a|·|b|
2
2
21
21
④cos
a·b
|a|·|b|
x1x2y1y2xy·xy
2
1
21
22
22
2 / 11
[练习]
(1)已知正方形ABCD,边长为1,ABa,BCb,ACc,则
|abc|
(答案:22)
(2)若向量ax,1,b4,x,当x
时a与b共线且方向相同
(答案:2) (3)已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60,那么|a3b| (答案:) 11. 线段的定比分点
设P1x1,y1,P2x2,y2,分点Px,y,设P1、P2是直线l上两点,P点在
o
l上且不同于P1、P2,若存在一实数,使P1PPP2,则叫做P分有向线段
P1P2所成的比(0,P在线段P1P2内,0,P在P1P2外),且
x1x2x1x2xx12 ,P为P1P2中点时,yy1y2yy1y2
12
如:ABC,Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3 则ABC重心G的坐标是
yy2y3x1x2x3
,1
33
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗?
二、空间向量(平面向量的延伸)(平面几何——空间几何)
1、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示
空间直角坐标系中的坐标:如图给定空间直角坐标系和向量a,设i,j,k(单位正交基
底)为坐标向量,则存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3),使aa1ia2ja3k,有序实数
组(a1,a2,a3)叫作向量a在空间直角坐标系Oxyz
在空间直角坐标系Oxyz中,对空间任一点Aa(a1,a2,a3).
存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OAxiyjzk,组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,A(x,y,z),x叫横坐标,y叫纵坐标,z叫竖坐标.
3 / 11
2、空间向量的直角坐标运算律
(1)若a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3),则
ab(a1b1,a2b2,a3b3),
ab(a1b1,a2b2,a3b3),
a(a1,a2,a3)(R),
a//ba1b1,a2b2,a3b3(R),
(2)若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB(x2x1,y2y1,z2z1).
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
b1a1
(3)a//bbab2a2(R)
ba
33
3、空间向量直角坐标的数量积
1)设,是空间两个非零向量,我们把数量|a||b|cosa,b叫作向量,的数量积,记作
ab,即ab=|a||b|cosa,b 规定:零向量与任一向量的数量积为0。
2)模长公式
|a|3)两点间的距离公式:若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),
则|AB|
或dA,B
ab
. 注:①abab0(a,b是两个非零向量); 4)夹角:cosab|a||b|
22
②|a|aaa。
5) 空间向量数量积的性质: 6)运算律
①abba; ②()(); ③()
①ae|a|cosa,e.②abab0.③|a|2aa.
4、直线的方向向量及平面的法向量
1)直线的方向向量:我们把直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量. 2)平面的法向量:如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α,则称这个向量垂直于平面α,记作,如果,那么向量叫做平面α的法向量。
注:①若l,则称直线l为平面的法线;
②平面的法向量就是法线的方向向量。
③给定平面的法向量及平面上一点的坐标,可以确定一个平面。
3)在空间求平面的法向量的方法:
直接法:找一条与平面垂直的直线,求该直线的方向向量。 待定系数法:建立空间直接坐标系
① 平面的法向量为n(x,y,z)
② 平面内找两个不共线的向量a(x1,y1,z1)和b(x2,y2,z2)
4 / 11
文道教育——雷海——2015.12.26
na0
③ 立方程组:
nb0
④ 方程组,取其中的一组解即可。
5、证明
1)证明两直线平行
已知两直线a和b, A,Ba,C,Db,则a//b存在唯一的实数使
ABCD
2)证明直线和平面平行
(1)已知直线a,A,Ba,C,D,E且三点不共线,则a∥存在有序实数对
ABCDCE ,使:
(2)已知直线a,A,Ba,和平面的法向量n,则:a∥ABn
3)证明两个平面平行
已知两个不重合平面,,法向量分别为m,n,则∥m//n 4)证明两直线垂直
已知直线a,b。A,Ba,C,Db,则abABCD0 5)证明直线和平面垂直
已知直线a和平面,且A、Ba,面6)证明两个平面垂直
的法向量为m,则aAB//m
m,n已知两个平面,,两个平面的法向量分别为,则mn
6、计算角与距离
1、求两异面直线所成的角
ABCD 已知两异面直线a,b,A,Ba,C,Db,则异面直线所成的角为:cos
ABCD
②设分别是二面角的两个平面
的法向量,则
就是二面角的平面角或其补角。
7、点面距离的求法:设n是平面
则点B到平面
的距离为
的法向量,AB是平面
的一条斜线,
。
5 / 11
利用空间向量解空间立体几何题型
复习:立体几何中平行、垂直关系证明的思路还清楚吗?
1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:
线∥线线∥面面∥面
线⊥线线⊥面面⊥面
线∥线线⊥面面∥面
(1)线面平行的判定:
a∥b,b面,aa∥面
(2)线面平行的性质:
a
b
P
∥面,面,ba∥b (3)三垂线定理(及逆定理):
a
PA⊥面,AO为PO在内射影,a面,则
a⊥OAa⊥PO;a⊥POa⊥AO
(4)线面垂直:
a⊥b,a⊥c,b,c,bcOa⊥ (5)面面垂直:
a⊥面,a面⊥
面⊥面,l,a,a⊥la⊥ a⊥面,b⊥面a∥b 面⊥a,面⊥a∥
a b
α a
2、三类角的定义及求法
(1)异面直线所成的角θ,0°<θ≤90°
(2)直线与平面所成的角θ,0°≤θ≤90°
=0o时,b∥或b
6 / 11
(3)二面角:二面角l的平面角,0o180o
(三垂线定理法:A∈α作或证AB⊥β于B,作BO⊥棱于O,连AO,则AO⊥棱l,∴∠AOB为所求。)
3、三类角的求法:
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义,并指出所求作的角。
③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。
空间向量求解立体几何——题型考点、方法总结
一、
二、
利用空间向量证明线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直
利用空间向量求解空间角:(异面直线所成角、线面角、二面角)
1.求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为: (1)异面直线所成角
设
的方向向量,则:
分别为异面直
线
(2)线面角
设
是直线l的方向向量,n是平面的法向量,则
:
(3)二面角 (角度范围: ) 方法:利用法向量求解。
求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。
其计算公式为:设
分别为平面
的法向量,则与
互补或相等,
7 / 11
2.运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为: (1)建立恰当的空间直角坐标。 (2)求出相关点的坐标。 (3)写出向量坐标。
(4)结合公式进行论证、计算。 (5)转化为几何结论。
考点:证明线线垂直、求解线面角
1
例1:(2010·辽宁高考理科)已知三棱锥P-ABC中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=2AB,
N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点. (Ⅰ)证明:CM⊥SN;
(Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小.
考点:异面直线所成的角、线面垂直、求解二面角 例2: 如图,在长方体
ABCDA1BC11D1中,E、F分别是棱BC,CC1
AB:AD:AA11:2:4
上的点,CFAB2CE,
(1)求异面直线EF与(2)证明:AF平面(3)求二面角
8 / 11
A1D所成角的余弦值; A1ED
A1EDF的正弦值。
例3. (2010·陕西高考理科)如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,
BC=E,F分别是AD,PC的中点. (Ⅰ)证明:PC⊥平面BEF;
(Ⅱ)求平面BEF与平面BAP夹角的大小。
例4. (2010·重庆高考文科)如题图,四棱锥PABCD中,
底面ABCD为矩形,PA底面
ABCD,PAAB,点E是棱PB的中点. (I)证明:AE平面PBC;
(II)若AD1,求二面角BECD的平面角的余弦值.
例5. (2010·江西高考文科)如图,BCD与MCD都是边长为2的正三角形,平面
MCD平面BCD,AB平面BCD
,AB(1)求直线AM与平面BCD所成的角的大小; (2)求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值.
9 / 11
A
M
B
D
C
【跟踪模拟训练】 一、选择题
1.已知点A(-3,1,-4),则点A关于x轴的对称点的坐标为( )
(A)(-3,-1,4) (B)(-3,-1,-4) (C)(3,1,4) (D)(3,-1,-4)
2.在正三棱柱ABC—A1B1C1中,D是AC的中点,AB1⊥BC1,则平面DBC1与平面CBC1所成的角为( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
f(x)2sin2(
x)
43. 设动直线xa与函数和g(x)x的图象分别交于M、N两点,则|MN|的最大值为( )
A
B
C.2 D.3
4. 如图:在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点。若,
,AA1则下列向量中与相等的向量是( )
(A)
1111
abcabc222 (B)2
1111abcabc
22(C)2 (D)2
二、填空题
1.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后,有下列四个结论:
(1)ACBD; (2)ACD是等边三角形;(3)AB与平面BCD成60° ;(4)AB与CD所成的角为60°.其中正确结论的序号为_________(填上所有正确结论的序号). 三、解答题(要求用两种方法解答:几何法、空间向量)
1. 如图,在四棱锥P—ABCD中,底面是边长为 2的菱形,∠BAD=60°,对角线AC与BD相交于点O,PO,E、F分别是BC、AP的中点. (1)求证:EF∥平面PCD;
(2)求二面角A—BP—D的余弦值.
10 / 11
文道教育——雷海——2015.12.26
2. 某组合体由直三棱柱ABCA1B1C1与正三棱锥BACD组成,如图所示,其中,ABBC.它的正视图、侧视图、俯视图的面积分别为22+1,1,22+1.
(1)求直线CA1与平面ACD所成角的正弦;
(2)在线段AC1上是否存在点P,使B1P平
面ACD,若存在,确定点P的位置;若不存在,
说明理由.
13,3. 如图,三棱柱ABCA1B1C1中,AA1面ABC,BCAC,BCAC2,AA
D为AC的中点。
(I)求证:AB1//面BDC1;
(Ⅱ)求二面角C1BDC的余弦值
11 / 11