不定积分中的积不出问题

第３９卷第７期数学的实践与认识Ｖ０１．３９Ｎｏ．７２００９年４月ＭＡＴＨＥＭＡＴｌＣＳＩＮＰＲＡＣＴＩＣＥＡＮＤＴＨＥＯＲＹＡｐｒｉｌ，２００９

不定积分中的“积不出＂问题

张春苟

（首都师范大学数学科学学院，北京１０００４８）

擒要：利用刘维尔（Ｊ．Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ）定理讨论了几类不定积分是否初等函散的问题，并给出了相应的判定法则．

关奠词：不定积分Ｉ原函数－初等函效

１引言

ｒ

‘我们说函数，“积不出”是指不定积分Ｉｆ（ｘ）ｄｘ不是初等函数，即ｆ的原函数不是初等函数．在数学分析教材中，都只是结论性的给出几个这样的例子，既不证明，也没有更多的说明．这难免不使学生感到疑惑和不塌实，也容易使学生误以为积不出的函数很少，同时也可能会使学生在遇到积不出问题时，却试图寻求原函数求解而煞费苦心，浪费时间．因此。给出更多积不出函数的例子和一些判断不定积分是否初等函数的法则是很有必要的，本文将在此方面做一些探讨．

研究函数积不出问题的基础之一是以下的刘维尔（Ｊ．Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ）定理ｎ３

定理Ａ（刘维尔第三定理）设厂（ｚ），ｇ（ｚ）为ｚ的代数函数①，且ｇ（２）不为常数．若广广

ＪＩｆ（ｘ）ｅ“订ｄｘ是初等函数，则Ｉ厂（ｚ）ｅ“Ｄｄｘ＝Ｒ（ｘ）ｅ“Ｄ＋Ｃ，其中Ｒ（ｚ）和Ｇ分别是有理函Ｊ

数和常数．．

定理Ｂ（刘维尔第四定理）设厂．ｏ），飘（ｚ）（忌＝１，２，…，咒）为ｚ的代数函数，且ｇ，（ｚ）一ｇｊ（ｚ）≠常数（ｆ≠．『）．若函数锄（ｚ）＝∑ｆｋ（Ｘ）ｅｓ・‘神的不定积分是初等函数，则

★罩ｌ

弘（ｚ）ｅ““’ｄｚ（志＝１，２，…，１）也是初等函数．

换句话说就得下面的推论

推论设＾（ｚ），ｇｋ（ｘ）（志＝１，２’．．・，以）为ｚ的代数函数，且ｇｆ（ｚ）一ｇ』（ｚ）≠常数（ｉ≠歹）．若硼（ｚ）＝∑ｆｋ（ｘ）ｅ以臼’中有一项是积不出函数，则叫（ｚ）也是积不出函数．

ｈｍｌ

２主要结果

文献［２］利用刘维尔第三定理证明了不定积分．ｒｅ∥ｄｚ（６≠。）、，ｅｂ７ｄｚ（６≠。）、，士ｄｚ收稿日期ｌ２００６—０５－２５

基金项目：北京市自然科学基金（１０７２００６）

①如果函数ｙ＝，（ｚ）满足方程Ｑｏ（工）＋Ｑｌ（ｚ）ｙ＋…＋Ｑ．（ｚ），一０，其中＾是正整数，Ｑ（ｚ）ｆ＝０，…。＾是多项式．Ｑ（ｚ）≠０．那么函散ｙ一，（ｚ）称为ｚ的代教函数．

ｚｚｚ甄学的买鼠与认识３９卷————————————’———————————————————————————————————————————————一——以及．ｆｓｉｎｚ２如、卜。ｓ一如等不是初等函数．由欧拉公式，用刘维尔第四定理不难证明不定积分Ｊ警如、ｊ塑笋如也不是初等函数．利用分部积分、变量替换等手段由它们可得更多积不出函数．

１．不定积分卜。Ｐ。（当）如（Ｐ。（ｚ）是ｎ次非零多项式）何时为初等函数？

设咒次的多项式Ｐ。（ｚ）＝口。＋口１ｚ＋…＋口。矿（％≠ｏ）．当五＞１时，由分部积分可得

Ｊ－≯ｅｚｄｚ＝善ｋ－－１矸杀等丽ｅ矿‘＋ｄ前卜飞也

’

则

肛㈦ｄｚ＝参詹ｅｚｚ～ｅ。ｈ挣ｚ

是初等函数・

定理１由于不定积分Ｊｚ－ｌｅｚｄｘ不是初等函数，因此当且仅当善盎＝ｏ寸，卜叩。（三）ｄｚ当且仅当善南＝。时，卜‘只（丢）ｄｚ是初等函数．

２．不定积分卜２２Ｐ。（ｚ）ｄｚ（Ｐ。（ｚ）是ｎ次的非零多项式）何时为初等函数？我们注意到：当五为正整数时，不定积分－ｒｅ，ｚ丛－１如为初等函数，而不定积分＋善ｍ［蓦百。去犏ｅ＿卜‘＋志ｐ叫ｅｚ如］２卵。＋善口・霎百二云‰ｅ＿一＋ｋ壹ｔｌ盎卜叫ｅ。如Ｐ捌ｚ＝耖－ｌｅ≯一筝矿ａｅ≯＋．．．＋÷一１）｜一－学Ａ，＋（－１）。半『ｅ‰

肚ｃ汕一卅融ｃ一不是初等函数．不妨设砣：２ｍ．咖

这里Ｐｏ）是初等函数．因此我们有，

定理２

数．当且仅当喜口丛（一１）‘丝宇＝。时，不定积分卜，只（ｚ）ｄｚ是初等函

胜纵州ｚ＝，知哟拈＿ｆ塾竿出。３・不定积分Ｊ毒：Ｐ＾（ｘ）ｄｘ（Ｐ．（ｚ）是行次的非零多项式）何时为初等函数？令Ｉｎｚ＝ｔ，则ｚ＝ｅｔ．

而ｇｉ（￡）一毋（ｔ）＝（ｆ＋１）ｔ一（歹＋１）ｔ＝（ｆ—ｊ）ｔ≠常数（ｉ≠＿『）

７期张春苟：不定积分中的。积不出”问题２２３

定理３对任何非零多项式ｐ一（ｚ），不定积分Ｊ忐Ｐ一（ｘ）ｄｘ是非初等函数・

４．不定积分．ｒ只（ｚ）ｓｉｎｚ２ｄｚ（Ｐ．。）是咒次的非零多项式）何时为初等函数？

由欧拉公式得ｓｉｎ≯一寺（ｅ扩一ｅ一∥）．则

ＪＰ。（ｚ）ｓｉｎ，如＝丢Ｊ（尸．（ｚ）ｅ。一Ｐ。（ｚ）ｅ一一）ｄｘ

当五为正整数时，不定积分卜丛＿１ｅ。ｄ厶卜丛＿１ｅ一。ｄｚ是初等函数，因此不妨设＂＝２ｍ，则

『Ｐ知，ｓｉｎｘ２出州卅否１妻ｃ一・）Ｊａｚ，帮ｐｚ

』２ｉ耋－ｃ—Ｄ‰竿：拶Ｐ如

这里Ｐ（ｚ）是初等函数．既然ｇ。（ｚ）一９２（ｚ）＝ｉｘ２一（一ｉｘ２）＝２ｉｘ２≠常数，则由刘维尔第四定理知一～当黏叫・铲：孓叫・斜…融一

积分ｐ。（ｚ）ｓｉｎｚ２ｄ。、－ｆ只（ｚ）ｃ∞，ｂ是初等函数．

５．不定积分Ｊ．Ｐ。（｛）ｓｉｎ矗ｚ（Ｐ。（ｚ）是，恕次的非零多项式）何时为初等函数？

对此，类似问题４的讨论我们有定理５当且仅当客错一客荸竺备＝。时，不定积分ｆＰ。（丢）ｓｔｎｚ如、，只（丢）ｃ。ｓｚｄｚ（Ｐ。（ｚ）是咒次的非零多项式）为初等函数．

６．不定积分卜一（口＋珏）ｔｄｚ何时为初等函数？对此有如下的切彼晓夫（．Ｈ．Ｊ１．Ｉ－Ｉｅ６ｕ山Ｂ）定理‘引．

定理ｃ不定积分卜，（口＋ｋ７）。ｄｚ（其中口，６≠ｏ，户，ｇ，ｒ是有理数）是初等函数的充分’必要条件是ｇ，乏＃，色＃－Ｉ－口三个数中至少有一个是整数．

特别地，取ａ＝１，ｂ＝一１，ｒ＝１，则可得如下推论

推论设户，９是有理数，则不定积分ｐ，（１一ｚ）９ｄｚ是初等函数的充分必要条件是户，ｇ，户＋ｇ三个数中至少有一个是整数．

７．不定积分ｌＲ（ｚ，√ｉ石）ｄｚ（只（ｚ）是行次的多项式）何时为初等函数？我们注意到当砣≤２时，不定积分ｆＲ（ｚ。￣／ｉ石）ｄｚ总是初等函数，这在数学分析教材里有说明Ｉ当靠≥３时，不定积分ＩＲ（ｚ，√Ｚ石）ｄｚ一般不是初等函数，当３≤行≤４时称为椭圆积分，

２２４数学的实践与认识３９卷文献［４］指出它总可以表示成初等函数与以下三个标准的椭圆积分之和：①Ｊ．页ｉ嘉而氓

②．ｆ而亏嘉亏丽氓

③，百万万丽芒亏丽三丽虹

而这些椭圆积分，早在１８３３年刘维尔就证明了不是初等函数．

参考文献：

［１］张从军．数学分析概要二十讲［Ｍ］．安徽大学出版社，２０００．

［２］王建华，周丽萍．呼伦贝尔学院学报［Ｊ］．２００５．１３（２）；７１—７３．

［３］＆ｎ．吉米多维奇著，李荣冻译．数学分析习题集［Ｍ］．人民教育出版杜，１９５８

［４］周民强．数学分析（第一册）［Ｍ］．上海科学技术出版社，２００２．

ＴｈｅＰｒｏｂｌｅｍｏｎ“ＢｅｙｏｎｄＥｌｅｍｅｎｔ“ｉｎＩｎｄｅｆｉｎｉｔｅＩｎｔｅｇｒａｌ

ＺＨＡＮＧＣｈｕｎ－ｇｏｕ

（ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅＣｏｌｌｅｇｅ，ＣａｐｉｔａｌＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００３７．Ｃｈｉｎａ）

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Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌｆｏｒｉｇｉｎａｌｆｕｎｃｔｉｏｎＩｅｌｅｍｅｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎ

不定积分中的"积不出"问题

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被引用次数：张春苟， ZHANG Chun-gou首都师范大学,数学科学学院,北京,100048数学的实践与认识MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY2009，39(7)0次

参考文献(5条)

1. 张从军 数学分析概要二十讲 2000

2. 王建华. 周丽萍 查看详情[期刊论文]-呼伦贝尔学院学报 2005(02)

3. B II 吉米多维奇. 李荣冻 数学分析习题集 1958

4. 周民强 数学分析 2002

5. 数y=f(x)满足方程Qo(x)+Ql(x)y +…+Qn(x)yn=0,其中n是正整数,Q(x)i=0,….n是多项式.Qn(x)≠0.那么数y＝f(x)称为x的代数函数

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