实验五+空间曲面及其投影
实验五 空间曲面及其在坐标面上的投影
【实验类型】验证性 【实验学时】2学时 【实验目的】
掌握用MA TLAB 绘制空间曲面及其在坐标面上的投影的方法； 【实验内容】
1．熟悉MATLAB 绘制三维图形的基本命令和方法； 2．通过MATLAB 演示常见的空间曲面、空间曲线； 【实验方法与步骤】 一、实验的基本理论与方法 1、 描绘空间图形的截痕法（略）。
2、 空间曲线在坐标面上的投影：设曲线L 的方程为⎨
⎧F (x , y , z ) =0
，消去z ，得
G (x , y , z ) =0⎩
⎧H (x , y ) =0
。
⎩z =0
H (x , y , z ) =0，则曲线L 在XOY 平面上的投影曲线为⎨
二、实验使用的MATLAB 函数
1、已知二元函数z =f (x , y ) ，绘制其三维曲面图的MATLAB 命令调用格式为：
[x,y]=meshgrid(v1,v2)； 生成网格数据 z=….；如z=x.*y 计算二元函数的z 矩阵
surf(x,y,z)或mesh(x,y,z) mesh()绘制网格图，surf()绘制表面图 其中，v1,v2为x 轴和y 轴的分隔方式。
⎧x =x (s , t ) ⎪
3、 已知空间曲面的参数方程：⎨y =y (s , t ) (a
⎪z =z (s , t ) ⎩
式为： ezsurf('x(s,t)','y(s,t)','z(s,t)',[a,b,c,d]) 三、实验指导
x 2y 2z 2
例1 画出椭球面2+2+2=1的图形。
352
⎧x =3cos t sin s ⎪
椭球面的参数方程为⎨y =5sin t sin s (0≤t ≤2π, 0≤t ≤π)
⎪z =2cos s ⎩
画出椭球面的图形，如图7-1所示。
ezsurf('3*cos(t).*sin(s)','5*sin(t).*sin(s)','2*cos(s)',[0,2*pi,0,pi]) 例2 画出莫比乌斯（Mobius ）带的图形。莫比乌斯带的参数方程为：
⎧x =r cos t ⎪t ⎪y =r sin t 其中是辅助函数。 (0≤t ≤2π, -1≤v ≤1) r =4+v cos ⎨
2⎪t z =2v sin ⎪⎩
画出莫比乌斯带的图形，如图7-2所示。
ezsurf('(4+v.*cos(t./2)).*cos(t)','(4+v.*cos(t./2)).*sin(t)','2*v.*sin(t./2)',[0,2*pi,-1,1])
图7-1 图7-2
x 2y 2
例3 画出双曲抛物面z =-的图形。 +
49
[x,y]=meshgrid(-10:10); z=-x.^2/4+y.^2/9; surf(x,y,z)
图7-3
x 2y 2z 2
例4、画出双叶双曲面-+=-1的图形。
16259
⎧x =4tan u sin v ⎪x y z
-+=-1的参数方程为：⎨y =5sec u 双叶双曲面(0≤u ≤π, 0≤v ≤2π) 16259⎪z =3tan u cos v
⎩
2
2
2
ezsurf('4*abs(tan(u)).*sin(v)','5*sec(u)','3*abs(tan(u))*cos(v)',[0,pi,0,2*pi]) axis([-40 40 -40 40 -25 30])
图形如下图7-4所示
x 2y 2
+例5、画出椭圆抛物面z =的图形，并观察其在各坐标面上的投影。 49
⎧x =2u sin v ⎪
椭圆抛物面的参数方程为：⎨y =3u cos v (0≤u ≤5, 0≤v ≤2π) 。
⎪2⎩z =u
画出椭圆抛物面的图形，如图7-5所示 ezsurf('2*u.*sin(v)','3*u.*cos(v)','u.^2',[0,5,0,2*pi]) 画出曲面在平面x=0上的投影，如图7-6所示
ezsurf('0','3*u.*cos(v)','u.^2',[0,5,0,2*pi]) 画出曲面在平面y=0上的投影，如图7-7所示 ezsurf('2*u.*sin(v)','0','u.^2',[0,5,0,2*pi]) 画出曲面在平面z=0上的投影，如图7-8所示 ezsurf('2*u.*sin(v)','3*u.*cos(v)','0',[0,5,0,2*pi])
图7-5 图7-6
图7-7 图7-8
x 2y 2z 2
例6画出单叶双曲面+-=1的图形，并观察它与平行于坐标面的平面的交线及
494
其在各坐标面上的投影。
⎧x =2sec u sin v
x y z ππ⎪
y =3sec u cos v +-=1的参数方程为：单叶双曲面(-≤u ≤, 0≤v ≤2π) ⎨
49433⎪z =2tan u
⎩
2
2
2
（1） 画曲面图形，如图7-9所示
ezsurf('2*sec(u).*sin(v)','3*sec(u).*cos(v)','2*tan(u)',[-pi/3,pi/3,0,2*pi]) （2） 先观察曲面与平行于各坐标面的平面的交线：
观察曲面与平面x=2的交线，如图7-10所示 hold off
ezsurf('2*sec(u).*sin(v)','3*sec(u).*cos(v)','2*tan(u)',[-pi/3,pi/3,0,2*pi]) hold on
ezsurf('2','3*sec(u).*cos(v)','2*tan(u)',[-pi/3,pi/3,0,2*pi]) axis([-5 5 -6 6 -5 5])
观察曲面与平面y=2的交线，如图7-11所示 hold off
ezsurf('2*sec(u).*sin(v)','3*sec(u).*cos(v)','2*tan(u)',[-pi/3,pi/3,0,2*pi]) hold on
ezsurf('2*sec(u).*sin(v)','2','2*tan(u)',[-pi/3,pi/3,0,2*pi]) axis([-5 5 -6 6 -5 5])
观察曲面与平面z=2的交线，如图7-12所示 hold off
ezsurf('2*sec(u).*sin(v)','3*sec(u).*cos(v)','2*tan(u)',[-pi/3,pi/3,0,2*pi]) hold on
ezsurf('2*sec(u).*sin(v)','3*sec(u).*cos(v)','-2',[-pi/3,pi/3,0,2*pi])
axis([-5 5 -6 6 -5 5])
图7-9 图7-10
图7-11 图7-12
（3） 再观察曲面在各坐标面上的投影
ezsurf('2*sec(u).*sin(v)','3*sec(u).*cos(v)','2*tan(u)',[-pi/3,pi/3,0,2*pi]) hold on
ezsurf('-4','3*sec(u).*cos(v)','2*tan(u)',[-pi/3,pi/3,0,2*pi]) hold on
ezsurf('2*sec(u).*sin(v)','6','2*tan(u)',[-pi/3,pi/3,0,2*pi]) hold on
ezsurf('2*sec(u).*sin(v)','3*sec(u).*cos(v)','-3.5',[-pi/3,pi/3,0,2*pi]) hold off
axis([-5 5 -6 6 -5 5]) 如图7-13所示
ezsurf('-4','3*sec(u).*cos(v)','2*tan(u)',[-pi/3,pi/3,0,2*pi]) hold on
ezsurf('2*sec(u).*sin(v)','6','2*tan(u)',[-pi/3,pi/3,0,2*pi]) hold on
ezsurf('2*sec(u).*sin(v)','3*sec(u).*cos(v)','-3.5',[-pi/3,pi/3,0,2*pi]) hold off
axis([-5 5 -6 6 -5 5]) 如图7-14所示
图7-13 图7-14
例7、画出圆锥面z =x +y 的图形，并观察不同平面与圆锥面的交线的形状。
222
⎧x =u sin v ⎪222
圆锥面z =x +y 的参数方程为⎨y =u cos v (-3≤u ≤3, 0≤v ≤2π)
⎪z =u ⎩
（1）画圆锥面的图形，如图7-15所示 ezsurf('u.*sin(v)','u.*cos(v)','u',[-3,3,0,2*pi])
（2）观察圆锥面与平面x=1的交线，如图7-16所示 ezsurf('u.*sin(v)','u.*cos(v)','u',[-3,3,0,2*pi]) hold on
ezsurf('1','u.*cos(v)','u',[-3,3,0,2*pi]) hold off
axis([-3 3 -3 3 -3 3])
（3）观察圆锥面与平面z=2的交线，如图7-17所示 ezsurf('u.*sin(v)','u.*cos(v)','u',[-3,3,0,2*pi]) hold on
ezsurf('u.*sin(v)','u.*cos(v)','-2',[-3,3,0,2*pi]) hold off
axis([-3 3 -3 3 -3 3])
（4）观察圆锥面与平面z =-2-x 的交线，如图7-18所示 ezsurf('u.*sin(v)','u.*cos(v)','u',[-3,3,0,2*pi])
hold on
ezsurf('x','y','-2-x',[-3,3,-3 3]) hold off
axis([-4 4 -4 4 -4 4]) view(-15,45)
图7-15 图7-16
图7-17 图7-18 例8、描绘上半球面z =XOY 面上的投影。
（1）画立体的图形，如图7-19所示
4-x 2-y 2与锥面z +2=x 2+y 2所围成的立体，并观察它再
ezsurf('2*cos(t)*sin(s)','2*sin(t)*sin(s)','2*cos(s)',[0,pi/2,0,2*pi]) hold on
ezsurf('u.*sin(v)','u.*cos(v)','u-2',[0,2,0,2*pi]) hold off
axis([-2 2 -2 2 -2 2])
（2）画立体在平面x=2上的投影，如图7-20所示 ezsurf('2*cos(t)*sin(s)','2*sin(t)*sin(s)','2*cos(s)',[0,pi/2,0,2*pi]) hold on
ezsurf('u.*sin(v)','u.*cos(v)','u-2',[0,2,0,2*pi]) hold on
ezsurf('-2','2*sin(t)*sin(s)','2*cos(s)',[0,pi/2,0,2*pi]) hold on
ezsurf('-2','u.*cos(v)','u-2',[0,2,0,2*pi]) hold off
axis([-2 2 -2 2 -2 2])
图7-19 图7-20
【实验练习】
练习1 利用计算机画出曲面z =2-(x +y ) (0≤z ≤2) 的图形及其在三个坐标面上的投影。
练习2 画出由方程16x +4y -z =0所表示的曲面。
2
2
2
2
2
练习3 画出曲面x +4y +9z =36以及曲面在三个坐标面上的投影。 练习4 求曲面z =
222
x 2+y 2与z 2=2x 围成的立体在三个坐标面上的投影。