不等式超难题
不等式超难题
1. 原创上海2011高考模2（苏州市五市三区2013届高三期中考试试题第14题）
a 2+b 2+c 2
已知a , b , c >0，则的最小值为 .
ab +2bc
124222
（a +b ）+（b +c ）
a 2+b 2+c 2=≥解析1
：ab +2bc ab +2bc a c
() 2+1+() 2
a c a 2+b 2+c 2a +b +c =t (t >0). 解法2：，设=x , =y ，=
b b ab +2bc ab +2bc +2b b
2
2
2
t 5x 2+1+y 2
则满足等式=t 的x , y 存在，去分母后配方得： (x -) 2+(y -t ) 2=t 2-1，故
24x +2y 52t -1≥
0，解得t ≥. 45
2. （盐城2013届高三期初考第13题） 常数a , b 和正变量x , y 满足ab =16，答案：64
a 2b 1
+=，若x +2y 的最小值为64, 则a b = . x y 2
⎛a 2b ⎫2ay 2bx 32= +⎪⋅(
x +2y )=a +4b ++≥解析： x y ⎝x y ⎭
当且仅当a =4b ，即a =2,b =8时，“=”成立.
3. （盐城2013届高三期初考第14题）
22⎧k x +k 1-a x ≥0, (), ⎪
已知函数f (x )=⎨, 其中a ∈R . 若对任意的非零实数x 1, 存
222
⎪⎩x +(a -4a ) x +(3-a ), x
在唯一的非零实数x 2(x 2≠x 1), 使得f (x 2)=f (x 1)成立, 则k 的取值范围是 . 答案：(-∞,0] [8,+∞)
解析：意即函数在x =0处函数值相等，在y 轴左侧单调.
⎧a 2-4a ≥0⎪-
，分离变量转化为求值域问题. 2⎨
⎪k (1-a 2)=3-a 2⎩
4.
2
已知函数f (x ) ＝|x －2|，若f (a ) ≥f (b ) ，且0≤a ≤b ，则满足条件的点(a ，b ) 所围成区域的面
积为________．
π
答案：
2
22
⎧⎧⎪f (a )≥f (b )，⎪|a －2|≥|b －2|，
【解析】 由⎨⇒⎨
⎪⎪0≤a ≤b ，0≤a ≤b ，⎩⎩
显然b ≥a 2时不可能， 所
以
⎧b 2≥a ，
⎪
⎨2－a 2≥b 2－2，⎪⎩0≤a ≤b ，
或
⎧≥b ≥a ，
⎪
⎨2－a 2≥2－b 2，⎪⎩0≤a ≤b ，
即
⎧b ≥2≥a ，
⎪22
⎨a ＋b ≤4，⎪⎩0≤a ≤b ，
1π不等式表示的平面区域如图阴影部分所示，其面积为S ＝2＝.
82
5. 已知关于x 的实系数一元二次不等式ax 2+bx +c ≥0 (a
的最小值是 ．
+1+2⋅2222 a >0，所以M =a +2ab +4ac ≥a +2ab +b =解：由题意得b -4ac ≤0，
-1ab -a 2
⎧≥b ≥a ，⎪
或⎨(b ＋a )(b －a )≥0，⎪⎩0≤a ≤b ，
()
2
，
2
b =t ，t (t >1) M ≥+2t +1=(
t -1)+4+4≥4=8
即b =3a 时等t -1t -1令，则（当且仅当t =3，
号成立）．
x 2
-y 2=1，6. （2016·南通二检·第13题）设实数x , y 满足则3x 2-2xy 的最小值是． 4
解析：（“1”的代换，转化为“齐次分式”问题）
y
3x -2xy 3x 2-2xy =2=
2， x 2
-() -y
4x 4
y 113-2t 2=t (-
-t 4
2
3-2
再令3-2t =u (1
3x 2-2xy =
u 4u 4=2=≥=6+
13-u 2-u +6u -88-() -(u +) +642u 当且仅当u =“=”成立
.
【答案】6+
【考点】基本不等式求最值
x －2y
（南京·2016届三模·第14题）若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则5x －2xy ＋2y 为
．
解析1：因为2x 2＋xy －y 2=（2x －y ）(x +y ）， x －2y=（2x －y ）－(x +y ），5x 2－2xy +y 2=（2x －y ）
2
+(x +y ) 2，设2x －y =u ，x +y = v.
问题转化为“已知u ? v 1，求
u -v
的最大值”.
u 2+v 2
而
u -v u -v 1
==
u 2+v 2(u -v ) 2+2uv (u -v ) +
u -v
?
， 4
x －2y 2
所以，当且仅当u -v =4
5x －2xy ＋2y 时，取得最大值.
解析2：注意到所求式子的结构特征，属“分子一次、分母二次的分式”，需“取倒”. 设x －2y =t ，则5x 2－2xy +y 2=（x －2y ）2 +2(2x 2＋xy －y 2)= t2 +2
所以
x -2y t 1
==? 222
25x -2xy +2y t +2t +t
. x －2y 2
所以，当且仅当t =4
5x －2xy ＋2y 考点：考察式子变形能力、数学感、基本不等式.
.
x 2+y 2变题：（2015·盐城南京·一摸）若实数x , y 满足x >y >0，且log 2x +log 2y =1，则
x -y
的最小值为 ▲ . 答案：4
7. 若x , y , z >0，且x -x y +为 ．
22
y =
2
y +y +z
2
z =
2
z -z +x 23，x =则x 的最大值
2222
解析：发现式子的对称性，由x -xy +y =z -zx +x 得x =y +z ，问题转化为在条件
y 2+yz +z 2=3下求x =y +z x 的最大值问题.
因为3=y +yz +z =(y +z ) -yz ? (y
2
2
2
z ) 2-(
y +z 23
) =(y +z ) 2， 24
所以y +z ? 2，当且仅当y =z =1时，“=”成立. 故x 的最大值为2． 8. 已知正数x ，y 满足xy =【答案】1
【解析一】由2xy =
x -y
，则y 的最大值为 ▲ ． 2x -y 2x -y 11
，得2x +3y =，
=-
所以-3y =2x +≥2，从而3y 2+2y -1≤0，解得y ≤1．
y 2x 【解析二】判别式法
2x -y
由2xy =，得4yx 2+(6y 2-2) x +y =0，所以关于x 的一元二次方程有正根，
2x +3y ⎧∆=(6y 2-2) 2-16y 2≥0⎪
所以⎨6y 2-2，下略.
⎪->0⎩
类题：已知x 、y 都是正数，且满足xy =
x +y
，则x 的最小值是 .
x -y
1.