高考理科数学公式总结

高考理科常用数学公式总结

1. 德摩根公式: C U (A B ) =C U A C U B ; C U (A B ) =C U A C U B . 2. A B =A ⇔A B =B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A ⇔A C U B =Φ 3. card (A B ) =cardA +cardB -card (A B )

含有n 个元素的集合的子集个数为2n , 真子集个数为2n

-1.

4. 二次函数的解析式的三种形式: ①一般式:f (x ) =ax 2

+bx +c (a ≠0) ;

② 顶点式:f (x ) =a (x -h ) 2

+k (a ≠0) ; ③零点式:f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) . 5. 函数单调性：设x 1⋅x 2∈[a , b ], x 1≠x 2那么

(x f (x 1) -f (x 2) 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]>0⇔x >0⇔f (x ) 在[a , b ]上是增函数； 1-x 2(x 1-x 2) [f (x f (x 1) -f (x 2) 1) -f (x 2) ]

x

1-x 2

设函数y =f (x ) 在某个区间D 内可导，如果f '(x ) >0，则f (x ) 为增函数；如 果f '(x )

奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y 轴对称.

① 函数y =f (x ) 的图象关于直线x =a 对称

⇔f (a +x ) =f (a -x ) ⇔f (2a -x ) =f (x ) .

②函数y =f (x ) 的图象关于直线

x =

a +b

2

对称⇔f (a +x ) =f (b -x ) ⇔f (a +b -x ) =f (x ) .

③函数y =f (x ) 的图象关于点(a , b ) 对称, 则f (x ) +f (2a -x ) =2b .

7. 两个函数图象间的对称性:

① 函数y =f (x ) 与函数y =f (-x ) 的图象关于直线x =0(即y 轴) 对称. ② 函数y =f (x ) 与函数y =-f (-x ) 的图象关于原点对称. ③ 函数y =f (x -a ) 与函数y =f (b -x ) 的图象关于直线x =

a +b 2

对称.

m

8. 分数指数幂

a

n

=

>0, m , n ∈N *

，且n >1）.

a a -m n

=

1

*

m

（a >0, m , n ∈N ，且n >1）.

a

n

9. log b a N =b ⇔a =N (a >0, a ≠1, N >0) .

10. log a M +log a N =log a M N , log M a M -log a N =log a N

, log a M

n

=n log a M ,

对数的换底公式 log log m N a N =

log log a m b

n

=

n m a

. 推论m

log a b .

log 1a

N

=log 1N =-log a N .

a

11. a ⎧S ⎨1,

n =1n =⎩S n

-S ( 数列{a n }的前n 项的和为S n =a 1+a 2+ +a n ).

n -1, n ≥212. 等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *

) ； 其前n 项和公式 S n (a 1+a n )

(n -1) 2

n =

2

=na 1+

n 2

d =

d 2

n +(a 1-

12

d ) n .

13. 等比数列的通项公式a n -1

n =a 1q

=

a 1⋅q n (n ∈N *

q

) ；

⎧a 1(1-q n ) ⎧a 其前n 项的和公式S ⎪1-q , q ≠1或S ⎪

1-a n q

, q ≠1n =⎨n =⎨1-q .

⎪⎩na 1

, q =1

⎪⎩na 1, q =114. 等比差数列{a n }:a n +1=qa n +d , a 1=b (q ≠0) 的通项公式为:

⎧b +(n -1) d , q =1

a ⎪

n =⎨bq n +(d -b ) q n -1-d ；

⎪, q ≠1⎩

q -1⎧nb +n (n -1) d , q =1

其前n 项和公式为S ⎪n

n =⎨⎪(b -d ) 1-q +d

n , . ⎩

1-q q -11-q q ≠115. 分期付款(按揭贷款) 每次还款x =ab (1+b )

n

(1+b ) n

-1

元(贷款a 元, n 次还清, 每期利率

为b ).

16. 同角三角函数的基本关系式 :sin 2

θ+cos 2

θ=1，tan θ=sin θ⋅cot cos θ

，tan θθ=1.

17. 正弦、余弦的诱导公式

把角表示成:π±α, -α, 2π-α, 口诀:函数名不变, 符号看象限; 把角表示成:

π

3π2

±α,

2

±α, 口诀:函数名改变, 符号看象限

18. 和角与差角公式

sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β; c o s α(±β=) c o αs c βo s αs i n ; βs

tan(α±β) =

tan α±tan β1 tan αtan β

.

辅助角公式: a sin α+

b cos αα+ϕ) (辅助角ϕ所在象限由点(a , b ) 的象

限决定, tan ϕ=

b

a

).

19. 二倍角公式 s i n α

2=s i αn

c αo . s

cos 2α=cos 2

α-sin 2

α=2cos 2

α-1=1-2sin 2

α. tan 2α=

2tan α1-tan 2

α

.

变形应用: 1-cos 2α=2sin 2

α,1+cos 2α=2cos 2

α,

1+sin 2α=(sinα+cos α) 2

,1-sin 2α=(sinα-cos α) 2

(sinα+cos α) 2

+(sinα-cos α) 2

=2

20. 三角函数的周期公式: 函数y =A s i n ω(x +ϕ) , x ∈R ，及函数y =A c o s ω(x +ϕ) ，

x ∈R (A , ω, ϕ为常数，且A ≠0, ω>0) 的周期T =2π

ω

；函数y =A t a n ω(x +ϕx ≠k π+

π

2

, k ∈Z (A , ω, ϕ为常数，且A ≠0, ω>0) 的周期T =

πω

.

函数y =A sin(ωx +ϕ), x ∈R 的对称轴为x =x 0, 其中ωx 0+ϕ=k π+

π

2

, k ∈Z ; 对

称中心为(x 0, 0), 其中ωx 0+ϕ=k π, k ∈Z ; 函数y =A cos(ωx +ϕ), x ∈R 的对称轴

x =x π

0, 其中ωx 0+ϕ=k π, k ∈Z ; 对称中心为(x 0, 0), 其中ωx 0+ϕ=k π+

2

, k ∈Z ;

函数y =A tan(ωx +ϕ) 对称中心为(x 0, 0), 其中ωx 0+ϕ=k π, k ∈Z . 21. 正弦定理:

a c sin A

=

b sin B

=

sin C

=2R .(其中R 为△ABC 外接圆半径)

(注意用于边与角转化)

22. 余弦定理: a 2

=b 2

+c 2

-2bc cos A ; b 2

=c 2

+a 2

-2ca cos B ; c 2

=a 2

+b 2

-2ab cos C . 推论:cos A =b 2+c 2-a

2

222

222

2bc

, cos B =

a +c -b

2ac

, cos C =

a +b -c

2ab

23. 面积定理 （1）S =112ah a =2

bh 1b =2

ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 边上的高）.

（2）S =

1ab sin C =12

2

bc sin A =

12

ca sin B .

24. 三角形内角和定理: 在△ABC 中，有

A +B +C =π⇔C =π-(A +B ) ⇔

C A +B 2

=

π

2

-2⇔2C =2π-2(A +B ) . sin C =sin(A +B ), cos C =-cos(A +B ) , sin

C A +B 2

=cos

2

,

sin 2A =sin 2B ⇒2A =2B , 或2A +2B =π. 等

(与三角形有关的恒等变形或者解三角形的题目会用到这些关系)

25. 平面两点间的距离公式

d

A , B =|AB |=

=A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ).

26. 向量的平行与垂直 : 设 a

=(x ) , b =(x ≠0，则a 2

=|a |2

1, y 12, y 2) ，且b a ⋅b =|a | ⋅|b |cos =x 1x 2+y 1y 2

a //b ⇔a =λb ⇔x 1y 2-x 2y 1=0; a ⊥b ⇔a ⋅b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0.

27. 线段的定比分点公式

: 设P 1(x 1, y 1) ，P 2(x 2, y 2) ，P (x , y ) 是线段P 1P 2的分点, λ是

实数，且P 1P =λPP 2，

则(x -x ⎧x -x 1=λ(x 2-x )

1, y -y 1) =λ(x 2-x , y 2-y ) ⇒⎨⎩y -y

1=λ(y 2

-y ) ，)

⎧x ⎪x =1+λx 2⇒⎪⎨

1+λ

⎪y +λ ⎩

y =1

y 2⎪1+λ28. 三角形的重心坐标公式: △ABC 三个顶点的坐标分别为A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) 、

C (x 1+y 2+y 3

3, y x 1+x 2+x 3

3) , 则△ABC 的重心的坐标是G (

3

,

y 3

) .

三角形四心: 重心: 三条中线的交点, 线段之比2:1; 垂心: 高的交点; 内心: 角平分线的交点, 到三边距离相等 ; 外心 : 边的垂直平分线的交点.

29. A , B , C 三点共线, 则O A =m O B +nO C (其中m +n =1) =λO B +(1-λ) O C . 30. 基本不等式：

（1）a , b ∈R ⇒a 2+b 2

≥2ab (当且仅当a =b 时取“=”号) ． （2）a , b ∈

R

+

⇒

a +b 2

≥(当且仅当a =b 时取“=”号) ．

ab ≤(

a +b 2

2

) (和为定值, 积有最大值; 积为定值, 和有最小值)

31. 一元二次不等式ax 2

+bx +c >0(或

-4ac >0) ，如果a 与

ax 2+bx +c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2

+bx +c 异号，则其解集在两

根之间. 简言之：同号两根之外，异号两根之间. 32. 含有绝对值的不等式: 当a >0时，有

x

2

⇔-a a 2

⇔x >a 或x

含绝对值问题的处理方法:

(1) 定义法: 分情况讨论, 去绝对值符号.

(2) 公式法: 如|ax +b |>c (c >0) ⇒ax +b >c 或ax +b

33. 指数不等式与对数不等式:利用函数单调性转化. (1)当a >1时,

⎧f (x ) >0a

f (x )

>a

g (x )

⇔f (x ) >g (x ) ; log a f (x ) >log

g (x ) ⇔⎪

a

⎨g (x ) >0

. ⎪⎩

f (x ) >g (x ) (2)当0

⎧f (x ) >0a

f (x )

>a

g (x )

⇔f (x )

f (x ) >log ⎪

a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0

⎪⎩

f (x )

y 2-y 1x P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) ）. 斜率的绝对值越大, 直线越

2-x （1

陡.(一些代数问题可以利用这个公式转化为几何问题, 简化解题过程, 这是数形结合 思想的重要体现)

35. 直线的四种方程

（1）点斜式 y -y 1=k (x -x 1) (直线l 过点P 1(x 1, y 1) ，且斜率为k ) ． （2）斜截式 y =kx +b (b 为直线l 在y 轴上的截距).

（3）两点式

y -y 1y 2-y 1

=

x -x 1x 2-x 1

(P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) , x 1≠x 2, y 1≠y 2).

（4）一般式 A x +B y +36. 两条直线的平行和垂直

C =0(其中A 、B 不同时为0).

（1）若l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2

① l //l ⇔k =k , b ≠b ; ② l ⊥l ⇔k k =-1.

1212121212

(2) 若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, 且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ① l //l ⇔12

A 1A 2

=

B 1B 2

≠

C 1C 2

；② l ⊥l ⇔A A +B B =0.

121212

37. 夹角公式 tan α=|

k 2-k 11+k 2k 1

|(l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2, k 1k 2≠-1, )

其中α为直线l 1与l 2的夹角, 当直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是

π

2

.

38. 直线系方程:直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点为P (x 0, y 0) ， 则直线l :A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2) =0(λ∈R ) 恒过定点P (x 0, y 0). 38. 点到直线的距离公式

d =39. 圆的四种方程

（1）圆的标准方程 (x -a ) +(y -b ) =r .

（2）圆的一般方程 x +y +Dx +Ey +F =0(D +E -4F ＞0). （3）圆的参数方程 ⎨

2

22

2

2

(点P (x 0, y 0) , 直线l ：Ax +By +C =0).

22

⎧x =a +r cos θ⎩y =b +r sin θ

. (θ为参数)

（4）圆的直径式方程 (x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0(圆的直径的端点是

A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) ). （可利用向量垂直理解之）

40. 椭圆

x a

22

+

2

y b

22

⎧x =a cos θ

. (θ为参数) =1(a >b >0) 的参数方程是⎨

⎩y =b sin θ

43. 抛物线y

2

=2px 上的动点可设为P (

y 0

2

2p

, y 0) 或P (2pt , 2pt ) 或P (x 0, y 0) ，其中

2

y 0=2px 0.

44. 二次函数y =ax +bx +c =a (x +

2

b 2a

) +

2

4ac -b 4a

2

(a ≠0) 的图象是抛物线：顶点坐标为

(-

b 2a

,

4ac -b 4a

2

) .

45. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式

: AB =

AB =

=

x 2-x 1|=

x 2-x 1|=

⎧y =kx +m ⎩F (x , y ) =0

消去y 得到ax

2

（弦的两端点A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，由方程⎨

+bx +c =0，

∆>0, α为直线A B 的倾斜角，k 为直线的斜率）.

46. 曲线的对称问题：

曲线F (x , y ) =0关于点P (x 0, y 0) 成中心对称的曲线是

F (2x 0-x , 2y 0-y ) =0.

47. 共线向量定理 对空间任意两个向量a , b (b ≠0) ，a //b ⇔存在实数λ使a =λb .

48. 对空间任一点O 和不共线的三点A , B , C ，满足O P =xO A +yO B +zO C ，

则四点P , A , B , C 共面⇔x +y +z =1．

49. 空间两个向量的夹角公式

: cos =

（其中a =(a 1, a 2, a 3) ，b =(b 1, b 2, b 3) ）.

50. 直线A B 与平面α所成角θ:sin θ=|A B ⋅m |

(|A B ||m |

m 为平面α的法向量).

51. 二面角α-l -β的平面角θ:|cos θ|=|m ⋅n |

（m ，n 为平面α，β的法向量）. |m |⋅|n |

52. 空间两点间的距离公式: 若A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，则

d

A , B =|AB |=

=

. 53. 点B 到平面α的距离: d =|A B ⋅n |

（n 为平面α的法向量，A B 是平面α的一 |n |

条斜线，且A ∈α）. 54. l

2

=l 222222

1+l 2+l 3⇔cos θ1+cos θ2+cos θ3=1

（长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l 1、l 2、l 3，夹角分 别为θ1、θ2、θ3）（立几中长方体对角线长的公式是其特例）. 55. 球的半径是R ，则其体积是V =

43

3

πR , 其表面积是S =4πR 2=π(2R ) 2．

56. 分类计数原理（加法原理）N =m 1+m 2+ +m n . 57. 分步计数原理（乘法原理）N =m 1⨯m 2⨯ ⨯m n . 58. 排列数公式 A m

n ！

n =n (n -1) (n -m +1) =(n -m ) ！

.(n ，m ∈N *

，且m ≤n ) ．

59. 排列数恒等式 （1）A m

1

n =(n -m +1) A m -n

; （2）A m

n m m m -1

n =

n -m

A n -1; （3）A n =nA n -1;

（4）nA n

n +1

n

m

A m

m -1

n =A n +1-A n ; （5）A n +1=n +m A n . 60. 组合数公式 C

m

1) (n -m +1)

n ！

n

=

A m

n n (n -A

m =

1⨯2⨯ ⨯m

=

m

m ！⋅(n -m ) ！

(n ，m ∈N *

，且m ≤n ).

61. 组合数的两个性质: (1) C m

n -m

C m

m -1

n =C n ; (2) n +C n

=C m

n +1

62. 组合数恒等式（1）C m

n -m +1

m -1

m

n m

n =m

C n

; （2）C n =

n -m

C n -1;

n

（3）C

m

n

=

n -1（4）

∑C

r n

r

r

r

r

r +1

m

C

m n -1

; n

=2; （5）C r +C r +1+C r +2+ +C n =C n +1.

r =0

63. 排列数与组合数的关系是：A m

m

m

n =C n ⋅A m .

64. 二项式定理: (a +b )

n

=C 0n

r n n a

+C 1n -1n a

b +C 2n -2

2n a

b + +C r n -r

n a

b + +C n b n

;

二项展开式的通项公式：T r

n -r

r

r +1=C n a b (r =0，1，2 ，n ) .

65. 古典概型:P (A ) =

A 包含的基本事件的个数

基本事件的总数

.

几何概型: P (A ) =

构成事件A 的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

66. 互斥事件A , B 分别发生的概率的和p (A +B ) =P (A ) +p (B ) . 67. n 个互斥事件分别发生的概率的和

p (A 1+A 2+ +A n ) =P (A 1) +p (A 2) + +p (A n )

68. 独立事件A , B 同时发生的概率p (A ⋅B ) =p (A ) ⋅p (B )

69. n 个独立事件同时发生的概率 p (A 1⋅A 2⋅ ⋅A n ) =P (A 1) ⋅p (A 2) ⋅ ⋅p (A n ) ． 70. n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率P n (k ) =C k

k

n -k

n P (1-P ) .

71. 在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率：P (B |A ) =

n (AB ) n (A )

=

P (AB ) P (A )

.

如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B C |A ) =P (B |A ) +P (C |A ) 72. 离散型随机变量的分布列的两个性质：

（1）p i ≥0(i =1, 2, ) ; （2）p 1+p 2+ +p n =1. 73. 数学期望:E ξ=x 1P 1+x 2P 2+ +x n P n .

74. 数学期望的性质：（1）E (a ξ+b ) =aE ξ+b ；（2）若ξ～B (n , p ) ，则E ξ=np . 75. 方差D ξ=(x 2

1-E ξ)

2

⋅p 1+(x 2-E ξ)⋅p 2+ +(x n -E ξ

)

2

⋅p n

76. 标准差σξ=

D ξ.

77. 方差的性质 (1) D (ξ)=E ξ2-(E ξ) 2; (2) D (a ξ+b )=a 2

D ξ；

（3）若ξ～B (n , p ) ，则D ξ=np (1-p ) . 78. f (x ) 在x 0处的导数（或变化率）

f '(x ∆y 0) =y '

x =x 0

=lim

=lim f (x 0+∆x ) -f (x 0)

.

∆x →0

∆x

∆x →0

∆x 79. 瞬时速度υ=s '(t ) =lim ∆s =lim

s (t +∆t ) -s (t )

∆t →0

∆t

∆t .

∆t →0

80. 瞬时加速度a =v '(t ) =lim

∆v =lim

v (t +∆t ) -v (t )

∆t .

∆t →0

∆t

∆t →0

81. f (x ) 在(a , b ) 上的导数f '(x ) =y '=

dy =df ∆y x +∆x ) -f (x )

dx

dx

=lim

∆x →0

∆x

=lim

f (.

∆x →0

∆x

82. 函数y =f (x ) 在点x 0处的导数是曲线y =f (x ) 在P (x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率

f '(x 0) ，相应的切线方程是y -y 0=f '(x 0)(x -x 0) .

83. 几种常见函数的导数

(1) C '=0（C 为常数） (2) (x '

n ) =nx

n -1

(n ∈Q ) .

(3) (sinx ) '=cos x . (4) (cosx ) '=-sin x . (5) (lnx ) '=

1x

；(loga x ) '=

1x x x ln a

. (6) (e ) '=e ; (a x ) '=a x

ln a .

84. 复合函数的求导法则

设函数u =ϕ(x ) 在点x 处有导数u '

'

x =ϕ(x ) ，函数y =f (u ) 在点x 处的对应点u 处 有导数y '

'

'

'

'

u =f (u ) ，则复合函数y =f (ϕ(x )) 在点x 处有导数，且y x =y u ⋅u x ，或写 作f '

'

'

x (ϕ(x )) =f (u ) ϕ(x ) .

85. a +bi =c +di ⇔a =c , b =d . （a , b , c , d ∈R ） 86. 复数z =a +bi 的模（或绝对值）|z |=|a +

bi |.

87. 复数的四则运算法则

(1) (a +bi ) +(c +di ) =(a +c ) +(b +d ) i ; (2) (a +bi ) -(c +di ) =(a -c ) +(b -d ) i ; (3) (a +bi )(c +di ) =(ac -bd ) +(bc +ad ) i ; (4) (a +bi ) ÷(c +di ) =

ac +bd bc -ad c 2

+d

2

+

c 2

+d

2

i (c +di ≠0) .

88. 复平面上的两点间的距离公式

:d =|z 1-z 2|=

（z 1=x 1+y 1i ，z 2=x 2+y 2i ）.

89. 实系数一元二次方程的解: 实系数一元二次方程ax 2

+bx +c =0， ① 若∆=b 2

-4ac >0,

则x 1,2=

-b ±2a

;

② 若∆=b 2-4ac =0, 则x =x b 12=-

2a

;

③ 若∆=b 2

-4ac

共轭复数根x =-b ±2

2a

b -4ac

预祝同学们高考顺利, 考出理想成绩!