空心线圈电感的计算与实验分析
第１５卷第２期２００８年４月
工程设计学
Ｊｏｕｒｎａｌ
ｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＤｅｓ
Ｖ０１．１５ＮＯ．２
报弘
Ａｐｒ．２００８
空心线圈电感的计算与实验分析
刘修泉，曾昭瑞，黄
平
（华南理工大学机械工程学院，广东广州５１０６４０）
摘要：介绍了体内微机电系统空心线圈电感的计算，主要对非同轴的线圈互感计算进行详细研究，分析了初次级线圈主要几何参数如轴向和径向距离、夹角、线圈半径等对互感的影响．计算结果表明：轴向距离和径向距离增大，互感均减小，但轴向距离对互感的影响要大得多；夹角越大，互感减小，夹角为９０。时，互感几乎为０；当线圈半径变化时，互感有个最大值．同时给出一种三轴移动测试平台，可以快捷精确地调节线圈间的轴向径向距离和夹角，在此基础上建立了互感测试系统，测试结果与计算值是相符合的．关键词：非同轴；空心线圈；电感
中图分类号：ＴＨ３９；ＴＭ５５１
文献表识码：Ａ文章编号：１００６－７５４Ｘ（２００８）０２—０１４９—０５
Ｎｕｍｅｒｉｃａｌａｎｄｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌａｎａｌｙｓｉｓ
ｏｎ
ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｓｏｆ
ｃｏｒｅｌｅｓｓｃｏｉｌｉｎｄｕｃｔａｎｃｅ
ＬＩＵＸｉｕ—ｑｕａｎ，ＺＥＮＧＺｈａｏ－ｒｕｉ，ＨＵＡＮＧＰｉｎｇ
（Ｓｃｈｏｏｌｏｆ
＿
ＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＳｏｕｔｈＣｈｉｎａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ５１０６４０，Ｃｈｉｎａ）
●
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｅｃｏｒｅｌｅｓｓｃｏｉｌｉｎｄｕｃｔａｎｃｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｆＭＥＭＳｉｎｈｕｍａｎｂｏｄｙｗａｓｐｒｏｐｏｓｅｄ，ｆｏｃｕ—ｓｉｎｇ
ｏｎ
ｔｈｅｍｕｔｕａｌｉｎｄｕｃｔａｎｃｅｏｆｎｏｎ－ｃｏａｘｉａｌｃｏｉｌｓ．Ｔｈｅｅｆｆｅｃｔｓ
ａｓ
ｏｎ
ｔｈｅｍｕｔｕａｌｉｎｄｕｅｔａｎｃｅｄｕｅ
ｔｏｒｅ—
ｍａｉｎｇｅｏｍｅｔｒｉｃｐａｒａｍｅｔｅｒｓ，ｓｕｃｈ
ｇａｐ，ｏｂｌｉｑｕｉｔｙａｎｄｒａｄｉｕｓ，ｗｅｒｅａｎａｌｙｚｅｄ．Ｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌ
ｓｕｉｔｓｉｎｄｉｃａｔｅｔｈａｔｍｕｔｕａｌｉｎｄｕｃｔａｎｃｅｄｅｃｒｅａｓｅｓｗｉｔｈｔｈｅｉｎｃｒｅａｓｅｏｆａｘｉａｌａｎｄｒａｄｉａｌｇａｐｓａｎｄｔｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆａｘｉａｌｇａｐ
ｏｎ
ｍｕｔｕａｌｉｎｄｕｃｔａｎｃｅｉｓｍｕｃｈｂｉｇｇｅｒｔｈａｎｔｈｅｒａｄｉａｌｏｎｅ；ｗｉｔｈｔｈｅｉｎｃｒｅａｓｅ
ｔｏ
ｏｆｏｂｌｉｑｕｉｔｙ，ｍｕｔｕａｌｉｎｄｕｃｔａｎｃｅｄｅｃｒｅａｓｅｓ，ａｎｄｗｈｅｎｏｂｌｉｑｕｉｔｙａｎｇｌｅｉｓｅｑｕａｌｚｅｒｏ；ｗｈｅｎｅｏｉｌｒａｄｉｕｓｖａｒｉｅｓ，ｍｕｔｕａｌｉｎｄｕｃｔａｎｃｅｈａｓ
ａ
９０。，ｉｔｉｓｎｅａｒｌｙ
ｍａｘｉｍｕｍ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ａｔｒｉ－ａｘｉａｌｍｏｖ—
ｃａｎ
ｉｎｇｐｌａｔｆｏｒｍｉｓｐｕｔｆｏｒｗａｒｄｉｎｗｈｉｃｈｇａｐａｎｄｏｂｌｉｑｕｉｔｙｂｅａｄｊｕｓｔｅｄｅａｓｉｌｙａｎｄａｃｃｕｒａｔｅｌｙ．Ｏｎ
ｒｅ’
ｔｈｅｂａｓｉｓｏｆｔｈｅａｂｏｖｅ，ａｍｕｔｕａｌｉｎｄｕｃｔａｎｃｅｍｅａｓｕｒｉｎｇｓｙｓｔｅｍｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ，ａｎｄｔｈｅｔｅｓｔｉｎｇｓｕｉｔｓ
ａｒｅ
ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔｗｉｔｈｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎｏｎ—ｃｏａｘｉａｌ；ｃｏｒｅｌｅｓｓｃｏｉｌ；ｉｎｄｕｃｔａｎｃｅ
随着微机电技术的发展，微创和无创诊疗技术开始成为一种新的治疗方式，体内微机电系统应运而生，用于胃肠道图像取样的胶囊内窥镜最先研制成功，如以色列Ｇｉｖｅｎ－Ｉｍａｇｉｎｅ公司研制的Ｍ２Ａ型胶囊式内窥镜已被用到胃肠道检测中［１］．但是上述类型内窥镜均采用微型电池供电能，存在一些问题，比如供能时间有限及安全性等．为了弥补传统供电方式不足，提出了一种新型的安全能量供给方法：体外无线能量传输技术．该技术是以电磁感应技术为基础，初次级线圈是可分离的，初级线圈在体外，次级线圈在体内，经皮肤进行能量传输，因为微机电系
收稿日期：２００７—０６—０５．
统可能在体内运动，那么次级线圈也随着运动，初次级线圈相对位置不断变动，轴向距离、径向距离及两者之间的夹角都不断变化，这样互感也相应地频繁改变，系统的能量传输效率也会受到影响．为了提高能量传输效率，需要采取多种措施，前提是要准确地计算初次级线圈的电感，包括自感和互感．对于线圈自感和同轴平行的空心线圈的互感计算，在已有的很多文献中可以查到［２≈］，对于非同轴线圈的互感计算，也已有学者对此作了研究Ｌ４。６］，但是对于任意空间位置的两线圈互感计算还需要进一步深入地探讨．
基金项目：广州市科技攻关项目资助（２００５２３一Ｅ０３４１）．
作者简介：刘修泉（１９７３一），男，博士生，从事微机电无线能量传输系统研究，Ｅ—ｍａｉｌ：ｌｉｕｘｉｕｑｕａｎｌ＠１２６．ｃｏｒｎ．
万方数据
工程设计学报
第１５卷
本文介绍了空心线圈电感的计算，主要对非同轴的线圈互感计算进行了详细研究，探讨了轴向、径向距离，夹角和线圈半径对互感的影响，对测试结果和计算进行了比较．
１
线圈自感计算方程
如图１所示，线圈参数如下：，．，为线圈内半径，
ｒ。为线圈的外半径，ｒ为线圈的平均半径，Ｎ为线圈的匝数．
图１
自感计算
Ｆｉｇ．１
Ｔｈｅｓｅｌｆｉｎｄｕｃｔａｎｃｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ
线圈自感为“ｏ：
Ｌ—Ｌ，＋Ｌ．，
（１）
式中，Ｌ。为外自感，Ｌ．为内自感．它们按下式计算：
卜削２币小Ｊ『耥２
詈
触Ｎ２堑弓ｆ』（（２一是２）Ｋ（忌）一２Ｅ（忌）），（２）
Ｌｊ一甓，
（３）
式中，忌＝～１（ｒ４ｒ＋，：ｒ，ｃ尹，Ｋ（矗）为第一类完全椭圆积
分，Ｅ（忌）为第二类完全椭圆积分．
２线圈互感计算方程
２．１
同轴平行的两线圈互感计算
如图２（ａ）所不，两Ｉ司轴平行线圈的半径为ｒ１，ｒ２，轴向距离为ｈ，Ｎ。，Ｎ。为线圈的匝数，其互感为‘引：．
号
Ｍ
２肿Ｎ・Ｎｚ厅瓦・６・２ｓｉｎＺ０－１亏一
Ｐ。Ｎｌ
Ｎ２华（（２一ｂｚ）Ｋ（６）一２Ｅ（６”，（４）
式中，６＝～／４ｒｌ＊ｒ２而．
２．２非同轴的两平行线圈互感计算
如图２（ｂ）所示，两同轴线圈的半径为ｒｌ，ｒ２，线
万
方数据（ａ）同轴线圈模型
（ｂ）非同轴线圈模型
图２两种线圈模型
Ｆｉｇ．２
Ｔｈｅｍｏｄｅｌｓｏｆｔｗｏｃｏｉｌｓ
圈１的圆心坐标为（Ｏ，ｔ，＾），这时线圈１的参数方程为：
ｆｚ＝ｒ１
ＣＯＳ
０，
＜Ｙ—ｒ１
ｓｉｎ０＋ｔ，
【ｚ一向．
线圈２的参数方程为：
ｆｚ２ｒ２ＣＯＳ｛＆，
＜Ｙ—ｒ２ｓｉｎ≯，
ｌｚ—ｏ．
因此，
ｄ１１＝（一ｎｓｉｎＯｉ＋ｎＣＯＳ只）ｄＯ，ｄ１２＝（一ｒ２ｓｉｎｊ５。＋ｒ２ｃｏｓ加）ｄ≯，ｄｆｌ・ｄ１２一ｎｒ２ｃｏｓ（０一）ｄＯｄ≯，
Ｒ创一
以币ｉ乒ｉ忑面ｑ百面而再＝磊百研．
互感为：
Ｍ一删气粤＝
学５５型铲・㈣
２．３
同心两线圈互感计算
如图３所示，两线圈共圆心，线圈１的法线方向
为ｚ７，线圈２的法线方向为ｚ，２和ｚ７夹角为口．在ｚｚ７平面作Ｙ上ｚ，这样可以建立直角坐标系ｘｙｚ，在７
线圈１的平面上，作ｙ７上ｚ，Ｙ７也在ｙｚ平面上，ｘｙ７ｚ可以建立一直角坐标系。对于坐标系ｘｙｚ来说，相当于ｚ轴不变，绕ｚ轴旋转角度口．那么其旋转矩阵为：
Ｍｚ—１『１
ｏｏ
０
ＣＯＳ口一ｓｉｎ口Ｉ．
］
Ｌ０
ｓｉｎ口
ｃｏｓ口ｊ
在坐标系ｘｙ７ｚ７中，线圈１的参数方程为：
ｒｚ—ｒｌｃｏｓ口，
｛Ｙ’＝ｒｌｓｉｎ
０，
【ｚ，一ｏ．
第２期
刘修泉，等：空心线圈电感的计算与实验分析
ｙ
图３两同心线圈互感
Ｆｉｇ．３
Ｔｈｅｍｕｔｕａｌｉｎｄｕｃｔａｎｃｅｏｆｔｈｅｈｏｍｏｃｅｎｔｒｉｃｃｏｉｌ
那么在坐标系ｘｙｚ的参数方程为：
卜［｜ｉ］＝Ｉｒｌｃｏｓ
０：］．
．｛Ｙ—ｒ２ｓｉｎ庐，
【ｚ—ｏ．
出１・ｄｌｚ＝ｎｒ２ｃｏｓ冈Ｏｔｉｓ，
ｃｏｓ
ｐ一丛亳粤丛一
ＣＯＳ
Ｏｃｏｓ乒＋ｓｉｎＯｓｉｎ≯ｃｏｓ口，
以ｉ磊百ｉ丽再Ｆｉｉ而丽ｉ再ｉ面下Ｆ万再而ｉ而．
Ｍ一半拇趔型幽絮警幽一
所以两线圈互感为：
警』！巫幽业错蝤唑巡．（６）
两个同心的圆线圈的互感经验公式‘８‘：
Ｍ—Ｄ２・舻，
两线圈的半径为ｎ，，．。，线圈１的圆心坐标为（ｏ，ｔ，＾），角度为口，如图４所示．
实际上就是坐标平移加上旋转，因此互感为：
板雨百瓦石再厂玎百而蕊虿习了；蔼订矿干Ｆ百而丽面丽．
（７）
万
方数据图４空间两线圈模型
Ｆｉｇ．４
Ｔｈｅｍｏｄｅｌｏｆｓｐａｔｉａｌｃｏｉｌｓ
式（５）至式（７）无法用解析法求解，因此用双重肜㈦ｙＭ尸…ｌｉｍ—ｌｉｍ！。骞胁奶，Ａｘ咖
Ａｘ＝—ｂ－－—ａ．Ａｙ＝—ｄ－－—ｃ．
ｚｆ。ａ＋Ａｘｆ，了ｉ—Ｃ＋Ａｙｉ。
用Ｍａｔｌａｂ编程求解可以求出互感．
自感计算与实验结果比较
采用高频精密ＬＣＲ数字电桥（ＹＤ２８１７Ａ），线
ｋＨｚ、有效Ｖ正弦交流电，结果如表１所示．
表１
自感计算值和测量值的比较
１
Ｔｈｅｃｏｍｐａｒｅｏｆｃａｌｃｕｌａｔｅｄａｎｄｍｅａｓｕｒｅｄ
ｓｅｌｆｉｎ．
ｄｕｃｔａｎｃｅ
从表１可以看出，自感的计算值与实际值误差两线圈的半径分别为１５，６ｍｍ，匝数都为１ｍｍ时，线圈互感随径向距离的变化３仿真和试验分析
积分定义求数值解，
３．１
圈自感可以直接测量，激励源为频率１００值为１．０Ｔａｂｌｅ其中Ｄ。，Ｄｚ为两线圈的直径，Ｄ２≥Ｄ。，西值与Ｄ。／Ｄ。和角度口有关，其数值可由图查得．２．４空间两线圈互感计算
不大，基本上相符．
３．２互感计算和实验结果比较
时，线圈互感与轴向距离的变化情况如图５所示．在轴向距离为１５情况如图６所示．图５中互感变化率较大，图６中互
肚半』』巫幽堕等蛐业幽，
Ｒ刚；
工程设计学报第１５卷
感变化率较小，因此轴向距离对互感的影响相对来说较大．
图５互感与轴向距离的关系
Ｆｉｇ．５
Ｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍｕｔｕａｌｉｎｄｕｃｔａｎｃｅａｎｄａｘｉａｌ
ｇａｐ
受
媛Ⅻ
图６互感与径向距离的关系
Ｆｉｇ．６
Ｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍｕｔｕａｌｉｎｄｕｃｔａｎｃｅａｎｄｒａｄｉａｌ
ｇａｐ
图７是两同心线圈在不同夹角的情况下其互感的变化情况，计算值与经验公式值比较接近．随着夹角增大，互感不断减小，在垂直时，互感很小，几乎
为０．
图７同心两线圈互感与夹角的关系
Ｆｉｇ．７
Ｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｏｆ
ｔｈｅｍｕｔｕａｌｉｎｄｕｃｔａｎｃｅ
ａｎｄ
ｏｂｌｉｑｕｉｔｙｏｆｔｈｅｈｏｍｏｃｅｎｔｒｉｃｃｏｉｌｓ
万
方数据两线圈同轴，其中一线圈半径保持不变为１５ｍｍ，轴向距离也保持为１５ｍｍ，另一线圈半径变化时，互感变化情况见图８．可以看出，在另一线圈半径为２５ｍｍ左右时，互感最大，随着线圈半径的减小或者增加，互感也随着减小．
图８互感与半径的关系
Ｆｉｇ．８
Ｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍｕｔｕａｌｉｎｄｕｃｔａｎｃｅａｎｄｃｏｉｌｒａｄｉｕｓ
为了测试线圈互感，提出了一种测试平台，如图９所示．该平台底座是三维移动台，由铁制成，上面平台支架和模具均由塑料制成，无磁化效应，故实测的空心线圈可被理想化为置于单一的空气介质中．该移动台可方便调节轴向和径向距离，通过设计的模具，可以调节夹角和调整两线圈的半径．
图９三维移动实验台
Ｆｉｇ．９
．Ｔｈｅｔｒｉａｘｉａｌｉｔｙｍｏｖｉｎｇｐｌａｔｆｏｒｍｏｆ
ｔｅｓｔｅｒ
线圈互感测量方法：选择激励源为频率１００ｋＨｚ、有效值为１．０Ｖ正弦交流电，将初次级线圈分
别按同名端和异名端串联，总电感分别为Ｌ。，Ｌ：，那么互感Ｍ一（Ｌ。一Ｌ２）／４．
在没有注明半径和匝数的情况下，半径分别为
为１５，６
ｍｍ，相应的匝数分别为７，６．表２是轴向距
第２期刘修泉，等：空心线圈电感的计算与实验分析
・１５３・
离为０，－－－３０ｍｍ时互感的计算和实验值；表３是在轴向距离保持为１５ｉｂｍ时，径向距离在Ｏ～１０
ｍｍ
范围变动时互感的计算和实验值；表４是在３种不同夹角情况下互感的计算和实验值；表５是在轴向距离保持为１５ｍｍ时，线圈半径变化时互感的计算和实验值．从表中可以看出，计算值与实验值误差最大为１１％左右，基本上是相符的．
衰２不同轴向距离时互感计算和测量值的比较
Ｔａｂｌｅ２
Ｔｈｅｃｏｍｐａｒｅｏｆｃａｌｃｕｌａｔｅｄａｎｄｍｅａｓｕｒｅｄｍｕｔｕａｌｉｎ—ｄｕｃｔａｎｃｅｆｏｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔａｘｉａｌｄｉｓｔａｎｃｅ
表３不同径向距离时互感计算和测量值的比较
Ｔａｂｌｅ３
Ｔｈｅｃｏｍｐａｒｅｏｆｃａｌｃｕｌａｔｅｄａｎｄｍｅａｓｕｒｅｄｍｕｔｕａｌｉｎ—ｄｕｃｔａｎｃｅｆｏｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｒａｄｉａｌｄｉｓｔａｎｃｅ
表４不同角度时互感计算和测量值的比较
Ｔａｂｌｅ４
Ｔｈｅｃｏｍｐａｒｅｏｆｃａｌｃｕｌａｔｅｄａｎｄｍｅａｓｕｒｅｄｍｕｔｕａｌｉｎ—ｄｕｃｔａｎｃｅｆｏｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔａｎｇｌｅ
裹５不同半径的线圈互感计算和测量值的比较
Ｔａｂｌｅ５
Ｔｈｅｃｏｍｐａｒｅｏｆｃａｌｃｕｌａｔｅｄａｎｄｍｅａｓｕｒｅｄｍｕｔｕａｌｉｎ—ｄｕｃｔａｎｃｅｆｏｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｃｏｉｌｒａｄｉｕｓ
万
方数据４结论
本文介绍了体内微机电系统空心线圈电感的计算，主要对非同轴的线圈互感计算进行了详细研究，探讨了轴向、径向距离，夹角和线圈半径对互感的影响．结果表明：
（１）轴向距离增大，互感减小；径向距离增大，互感减小，但轴向距离对互感的影响要显著．
（２）夹角越大，互感减小，夹角为９０。时，互感几
乎为０．
（３）当线圈半径变化时，互感有个最大值，随着半径的减小或者变大，互感都减小．
计算结果和实验结果作了比较，基本上是一致的．参考文献：
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空心线圈电感的计算与实验分析
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
刘修泉， 曾昭瑞， 黄平， LIU Xiu-quan， ZENG Zhao-rui， HUANG Ping华南理工大学,机械工程学院,广东,广州,510640工程设计学报
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本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_gcsj200802016.aspx
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