赤平投影原理及讲解

一、序言

岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。

二、极射赤平投影的基本原理

（一）投影要素

极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括：

1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。

2.球面：投影球的表面称为球面。

3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。

4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。

5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。

6.极射点：投影球上两极的发射点（如图一），分上极射点（P）和下极射点（F）。由上极射点（P）把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影；由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上

的投影称为上半球设影。一般采用下半球投影。

7.极点：通过球心的直线与球面的交点称为极点，一条直线有两个极点。铅直线交球面上、下两个点（也就是极射点）；水平直线交基圆上两点；倾斜直线交球面上两点（如图五中A、B）。

（二）平面的赤平投影

平面与球面相交成大圆或小圆，我们把大圆或小圆上各点和上极射点（P）的连线与赤平面相交各点连线称为相应平面的赤平投影。

1.过球心平面的赤平投影随平面的倾斜而变化：倾斜平面的赤平投影为大圆弧（如图二中的NB′S）；直立平面的赤平投影是基圆的一条直径（如图一（a）中的NS）；水平面的赤平投影就是基圆（如图一中的NESW）。

2.不过球心平面的赤平投影也随平面倾斜而变化：直立平面的赤平投影是基圆内的一条圆弧（如图三KD′H）；倾斜平面的赤平投影有以下三种情况：⑴当倾斜小圆在赤平面以下时，投影是一个圆，且全部在基圆之内（如图三FG）；⑵当倾斜小圆全部位于上半球时，投影也是一个圆，但全部在基圆之外；⑶当倾斜小圆一部分在上半球，另一部分在下半球时，赤平面以下部分的投影在基圆之内，以上部分的投影在基圆之外。当球面小圆通过上极射点时，其赤平投影为一条直线（如图一（c）中PACB的投影为AB）；水平小圆的赤平投影在基圆内（如图四中A′B′），A′B′是一个与基圆同心的圆。

（三）直线的赤平投影

直线AB的投影点就是其极点A、B和极射点P的连线与赤平面的交点A′、B′。铅直线的投影点位于基圆中心；过球心的水平直线的投影点就是基圆上两个极点，两点间距离等于基圆直径；倾斜直线的投影点有两个，一点在基圆内，另一个在基圆外，两点呈对蹼点，在赤平投影图上两点的角距相差180°（如图五）。

（四）吴氏网及其CAD制作

目前广泛使用的极射赤平投影有等角距投影网和等面积投影网。等角距投影网是由吴尔福发明的，简称吴氏网；等面积投影网是由施密特发明的，简称施氏网。两者的主要区别在于：球面上大小相等的小圆在吴氏网上的投影仍然是圆，投影圆的直径角距相等，但由于在赤平面上所处位置不同，投影圆的大小不等，其直径随着投影圆圆心与基圆圆心的距离增大而增大。而在施氏网上的投影则呈四级曲线，不成圆，但四级曲线所构成的图形面积是相等的，且等于球面小圆面积的一半。使用吴氏网求解面、线间的角距关系时，旋转操作显示其优越性，不仅作图方便，而且较为精确。而使用施氏

网时，可以作出面、线的极点图或等密度图，能够真实反映球面上极点分布的疏密，有助于对面、线群进行统计分析，但其存在作图麻烦等缺点。

1.吴氏网的结构及成图原理

吴氏网（图六）由基圆、南北经向大圆弧（NGS）、东西纬向小圆弧（ACB）等经纬线组成。标准吴氏网的基圆

直径为20cm，经、纬线间的角距为2°。

(1)基圆，由指北方向（N）为0°,顺时针方向刻出360°，这些刻度起着量度方位角的作用；

(2)经向大圆弧是由一系列通过球心，走向南北，分别向西和向东倾斜，倾角由0°到90°（角距间隔为2°）的许多赤平投影大圆弧所组成。这些大圆弧与东西直径线EW的交点到端点（E点和W点）的距离分别代表各平面的倾角。如图六中GW表示的大圆弧NGS所代表的平面向西倾斜，倾角为30°。

(3)纬向线是由一系列走向东西的直立平面的赤平投影小圆弧所组成。这些小圆弧离基圆的圆心O愈远，其所代表的球面小圆的半径角距就愈小，反之离圆心O愈近，则半径角距就愈大。相邻纬向小圆弧间的角距也是2°，它分割南北直径线的距离，与经向大圆弧分割东西径线的距离是相等的。如图六所示，ED＝SH＝WG＝NF，角距都为30°。

2.吴氏网的CAD图解

绘制吴氏网，其实质就是在赤平大圆上画出经向大圆弧和纬向小圆弧。那么这些大圆弧和小圆弧都是怎样是绘制出来的呢？在没有CAD制图系统软件以前，人们通过平面几何关系利用圆规、直尺等原始工具绘制，其绘制过程很复杂。而在CAD制图系统软件下，绘制大圆弧和小圆弧是非常简的，下面就介绍它们的原理和绘制过程。

(1)绘制大圆弧的原理与步骤

要绘制大圆弧，应至少知道大圆弧上的三个点N、S、B′（如图二所示），其中N、S点是每条大圆弧都必须经过的，是已知点。现在只要能确定经向大圆弧与东西径线EW的交点B′，问题就迎刃而解。

① 计算OB′长度

根据倾斜平面的倾角、基圆的直径，可按下式计算点O与点B′之间的距离

（公式一）

式中 R——基圆的半径；

α——大圆弧所代表平面的倾角（°）。

②以基圆的圆心为圆心，OB′长为半径画一个圆，该圆与基圆的东西径向线EW交于B′点。 ③过N、S、B′三个点画一个圆，并剪掉基圆外部分，大圆弧也就绘制完成。

(2)绘制小圆弧的原理与步骤

要绘制半径角距为 的小圆弧，同样也应至少知道小圆弧上的三个点（如图六所示的A、C、B三个点）。根据吴氏网的结构与原理，可以通过CAD制图确定A、C、B三个点的位置。

①确定点C，首先用公式一计算点O与点C间距离，但其中 为小圆弧的半径角距；然后以基圆的圆心为圆心，OC长为半径画圆，该圆与基圆的南北径向线NS交于C点。

②以基圆的圆心为基点，将南北径线ON分别逆时针和顺时针旋转角度 ，得两条直线，分别与基圆交于A、B点 。

③过A、C、B三个点画一个圆，并剪掉基圆外部分，小圆弧也就绘制完成。

三、赤平投影网CAD图解的应用

利用传统标准吴氏网对平面、直线进行投影时，一般步骤是：把透明纸（或透明胶片等）蒙在吴氏网上，画基圆及“十”字网心，并用针固定于网心上，使透明纸能够绕网心旋转。然后在透明纸上标出E、S、W、N，以正北（N）为0°，顺时针数到360°。东西直径EW确定倾角，一般是圆周为0°，至圆心为90°。这样做具有以下缺点：一是较麻烦，二是当旋转透明纸时，容易从针孔处发生破裂而移位；三就是准确性不高；四是效率低。如果用CAD制图，则可避免上述不足，且使作图更简化，用不着吴氏网中的那么多的经、纬线，只需要画出基圆及其南北径线和东西径线。

1.平面赤平投影的CAD图解（如图七）

例1：一平面产状126°∠30°，绘制其赤平投影图。

(1)绘制一直径为20cm的基圆，同时画出铅直和水平两条直径，并标出E、S、W、N。后面的例子均需要这一步，画法与之相同，所以不再重复。

(2)平面的倾向是126°，则其走向为36°。将南北径线绕基圆的圆心O顺时针旋转36°到达AB位置，与基圆交于A、B两点，则AB就是平面的走向线。

(3)以基圆的圆心O为基点，将射线ON顺时针旋转126°到达OD位置，与基圆相交于点D，则OD即为该平面的倾向线。

(4)用公式一计算线段OC长度。以基圆的圆心O为圆心，OC为半径画圆，交OD于C点。

(5)采用三点法，即过A、C、B三点画圆，并切掉基圆外部分，所得大圆弧ACB即为该平面的赤平投影。

2.直线赤平投影的CAD图解（如图八）

例2：一直线产状330°∠40°，绘制其赤平投影图。

(1)

将ON绕圆心O顺时针旋转330°后到达OA位置，与基圆交于点A，则OA即为该直线的倾伏向。

(2)用公式一计算OA′值。以基圆的圆心O为圆心，OA′为半径画圆，交OA于A′点，则点A′即为该直线的赤平投影。

3.平面法线赤平投影的CAD图解（如图九）

例3：一平面产状为105°∠40°，绘制其法线的赤平投影。

(1)按例1所述方法，绘制产状为105°∠40°平面的赤平投影大圆弧NB′S。

(2)平面法线的倾角与平面的倾角之和等于90°，因此平面法线的倾角为50°。用公式一计算OA′。以基圆的圆心O为圆心，OA′为半径画圆，交B′O的延长线于A′点，则A′点为该平面法线的赤面投影，也称其为平面的极点。

由于平面法线倾向与平面倾向相反，相差180°，平面法线的倾角与平面的倾角之和等于90°，因此也可根据平面法线产状与平面产状间的这种关系，首先计算法线的产状为285°∠50°，然后再按例2方法绘制法线的赤平投影。

4.相交两条直线所构成平面的产状

例4：已知两直线180°∠20°和90°∠32.3°相交，用赤平投影法求解这两条直线所构成平面的产状（如图十（a）、（b））。

(1)为很好地利用CAD制图解决这个问题，引入两条直线倾角与平面倾角间的关系式：

tan2βsin2γ=tan2α1+tanα2-2tanα1tanα2cosγ （公式二）

式中β——两条相交直线所构成平面的倾角（°）；

α1、α2——分别为两条直线的倾伏角（°）；

γ——两条直线倾向夹角（°）。

用公式二计算两条直线所构成平面的倾角为β=36.13°。

(2)确定投影大圆弧的圆心O′，点O′应在线段C′F′的垂直平分线上。要确定点O′的位置，需要用下列公式计算平面的赤平投影大圆弧的半径 。计算出赤平投影大圆弧的半径 后，再以点C′或者点F′为圆心画圆，与线段C′F′的垂直平分线相交于点O′。

式中R’——赤平投影大圆弧的半径;

R——基圆的半径。 （公式三）

(3)确定平面的走向AB：以O′为圆心，以 为半径画圆，与基圆相交于两点A、B，则AB即为所求平面的走向，为30°。由此算出该平面的倾向为120°。

因此所求平面产状为120°∠36°。

此外，两条直线所构所平面的倾向，也可由下式计算确定：

（公式四）

式中——平面倾向与直线1倾向之差；

其余符号意义同公式二。

5．相交两条直线的夹角及其角平分线

例5：用赤平投影法求解例4两条直线的夹角及其角平分线（图十（c））。

(1)

按例4作法，确定两条直线所构成平面的赤平投影，即大圆弧AF′C′B，其产状约为120°∠36°

。

（2

）量取大圆弧上C′与F′间的角距为54°，即相交两条直线的夹角为54°。该圆弧C′F′段的角距平分点G′（27°）就是相交两条直线夹角平分线的赤平投影，由此可以确定两条相交直线夹角平分线的产状为139.67°∠34.51°。

除上述作图法外，还可用下式计算两条相交直线的夹角：

（公式五）

式中——两条相交直线的夹角（°）；

其余符号的意义同前。

6.平面上一直线的倾伏和侧伏（如图十一）

例6：已知平面产状180°∠α （ α＝36°），平面上一条直线AC的侧伏向E、侧伏角β（ β=44°，是指该平面走向线与该直线所夹的锐角），用赤平投影法求解该直线的倾伏向和倾伏角。

（1）按例1做法，绘制平面的赤平投影大圆弧ED″W。

（2）以EW为南北向径线（假定），作半径角距等于β（ β=44°)的纬向小圆弧GD″K（应为两条，另一条未画出），与平面的赤平投影大圆弧ED″W相交于C″点。连接点O与点C″，并延长，与基圆相交于C′点。

（3）点C″即所求直线的赤平投影。图上量得线段OC″的长度，然后用公式一求得直线的倾伏角24.71°。

（4）点C′对应的角度为127.64°，即为所求直线的倾伏向。因此该直线的产状为127.64°∠24.71°。

平面上一条直线的倾伏或侧伏，可以相互换算，除采用上面的CAD制

图方法外，也可用下列公式计算：

（公式六）

（公式七）

式中——平面倾角（°）；

——平面上直线的侧伏角（

°）；

——直线的倾伏角（°）；

——平面倾向与直线倾向之差（°）。

7.两个平面交线的产状（如图十二（a））

例7：已知两个平面70°∠40°和290°∠30°，用赤平投影法求解这两个平面交线产状。

（1）按例1做法，分别绘制出两个平面的赤面投影大圆弧APB和CPD，两条大圆弧相交于P点，该点即为两个平面交线的赤平投影。

（2）连结OP，并量得OP的长度。然后用公式一求得交线的倾伏角为β=13.14°；OP所在径线方向即为交线的倾伏向，量得交线的倾伏向为365.15°。即两个平面交线产状为365.15°∠13.14°。

8．两个平面的夹角及其夹角的等分面（如图十二（b））

例8：已知条件同例7，用赤平投影法求解两个平面的夹角及其夹角的等分面。

（1）绘制两个平面的公垂面，由于以点P为投影的直线就是公垂面的法线，因此公垂面的产状为176.15°∠76.86°，按例1做法绘制公垂面的赤平投影大圆弧FIHG，与两个已知平面的赤平投影大圆弧分别相交于点H、点I。这两点所代表的直线产状分为：

直线H为96.27°∠36.96°；直线I为259.48°∠26.44°。

（2）点H、点I所代表的两条直线的夹角就是两个平面的夹角，可根据两条直线的产状，由公式五计算求得，结果为114.66°。也可先用公式六分别求出两条直线在公垂面上的侧伏角，分别为：直线H的侧伏角为38.128°；直线I的侧伏角为27.209°。

则两条直线的夹角为180°－（38.128°＋27.209°）＝114.66°。

（3）公垂面的投影大圆弧上点H、点I间弧段的中点K在两个平面的等分面的投影大圆弧上，投影点K的直线产状204.74°∠75.11°。点P也在等分面的投影大圆弧上，其产状也已求得（例7）。已知投影大圆弧上的两个点，就可按例4做法计算出等分平面的倾角和其赤平投影大圆弧的半径，并绘制出经过这两点的大圆弧QKM。该大圆弧对应的平面即为已知两个平面夹角的等分面，其产状为267.76°∠83.12°。

9.一条直线与一个平面的夹角（如图十三）

例9：一平面产状120°∠50°，一直线产状320°∠20°，用赤平投影法求解直线与平面的夹角。

（1）按例1做法绘制已知平面的赤平投影大圆弧ADB。

（2）按例2做法绘制已知直线的赤平投影，即投影点C。

（3）按例3做法绘制已知平面法线的投影极点P。

（4）按例4做法绘制经过点C、P的大圆弧CPD，其所代表的平面与已知平面垂直，其产状为244.06°∠56.28°。

用公式六分别求出直线C和直线P在平面CPD上的侧伏角，直线C的侧伏角为24.280°，直线P的侧伏角为50.606°，也就是平面法线与已知直线的夹角为50.606°－24.280°＝26.33°，因此已知直线与平面的夹角为90.00°－26.33°＝63.67°。

四、用赤平投影求解边坡稳定问题

在岩质边坡稳定性分析与计算中，赤平投影可用来初步判定边坡稳定性，求解边坡稳定性系数计算所需的几何参数。

（一）边坡稳定性初步判别

图十四所示的边坡楔体，假定只有摩擦力抵抗滑动，且两个结构面的摩擦角相同，且都等于，则楔体可能滑动的条件是两个结构面交线的赤平投影，即它的投影点应落在坡面大圆弧与摩擦圆所围成的范围内（图十四(b)中阴影部分），即（其中 为在正交交线视图上的坡面倾角； 为结构面交线倾角；为结构面内摩擦角）。据此可以迅速判别楔体是否会产生滑动。

（二）求解边坡稳定性系数计算所需的几何参数

边坡稳定性系数计算所需的几何参数包括平面和直线的产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面夹角等。除平面和直线的产状可现场量测外（平面和平面交线、平面法线也可用赤平投影法求解），其余几何参数都可用赤平投影法求解。前面已经介绍过这些几何参数的赤平投影求解方法，下面举例说明赤平投影在边坡稳定性系数计算中的具体应用。如图十五所示的边坡楔体，坡面、坡顶面、结构面A和B等产状及其它技术参数如表1。

计算楔体稳定系数之前，首先应绘制四个平面的赤平投影大圆弧以及两个结构面的法线投影极点（如图十六），并求得各交线及法线的产状如下：

法线PA：285°∠45°；

法线PB：55°∠20°；

交线1：121.55°∠43.79°；

交线2：195.19°∠64.65°；

交线3：183.00°∠11.75°；

交线4：148.03°∠8.25°；

交线5：157.73°∠31.20°。

然后，再用公式五计算楔体稳定分析所需的各角度参数值，计算结果如下：

两个结构面交线的倾角:31.20°；

两个结构面法线的夹角:100.68°；

线1和线3的夹角：61.40°；

线3和线5的夹角：30.37°；

线1和结构面B法线的夹角：59.56°；

线2和线4的夹角：=65.31°；

线4和线5的夹角：=24.67°；

线2和结构面A法的的夹角：49.81°。

将上述参数值代入霍克岩体边坡楔体稳定性系数计算公式，计算结果1.4，楔体稳定。如果不考虑结构面粘聚力作用，则0.62，楔体不稳定。如果将结构面内的水疏干，或者是不考虑地下水对楔体稳定性的影响，则2.0，楔体稳定。由此可见，水对边坡楔体稳定性影响是非常重要的，因此在边坡治理时，可考虑采用疏干楔体结构面中水的措施，对维持边坡稳定可起到良好的效果。

五、结束语

1.公式一的引入，不仅可以用CAD制图系统软件制做吴氏网，而且使吴氏网的应用得到简化，在应用吴氏网求解实际问题时，只需要事先绘制一个基圆即可，不用将所有经、纬线都绘制出来，同时也不需要将吴氏网转来转去。

2.使用传统的标准吴氏网，投影误差不超过半度。但应用吴氏网CAD制图方法，投影精度更高，并可根据需要选择精确度。吴氏网CAD制图方法，不仅精度高，而且方便快捷。

3.由于可以用CAD制图系统软件绘制吴氏网，因此面、线、面与面、线与线、面与线等的赤平投影也都可以用CAD来完成。

4.又由于能够采用CAD制图系统软件绘制面、线、面与面、线与线、面与线等的赤平投影，因此使赤平投影在解决岩质边坡稳定性等岩体问题中得到更广泛的应用。在边坡稳定性分析中，采用赤平投影，不仅可以迅速判别楔体的稳定性，而且还可以求解边坡稳定性系数计算所需的几何参数。

主要参考文献

[1]建筑地基基础设计规范（GB50007—2002），中国建筑出工业版社，2002；

[2]岩土工程勘察规范（GB50021—94），中国建筑出工业版社，1995；

[3]杨航宇等，公路边坡防护与治理，人民交通出版社，2002；

[4]林宗元主编，岩土工程勘察设计手册，辽宁科学技术出版社，1996；

[5]张喜发主编，岩土工程勘察与评价，吉林科学技术出版社，1995。