直击上海历年高考数列计算题及答案

1．（2009年上海高考文23）已知{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列 （1）若a n =3n +1，是否存在m 、k ∈N *，有a m +a m +1=a k ? 请说明理由；

（2）若b n =aq n （a 、q 为常数，且aq ≠0），对任意m 存在k ，有b m ·b m+1=b k ，试求a 、q 满足

的充要条件；

（3）若a n =2n +1，b n =3n ，试确定所有的p ，使数列{b n }中存在某个连续p 项的和是{a n }中的

一项，请证明．

2．（2009年上海高考理23）已知{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列 （1）若a n =3n +1，是否存在m 、k ∈N *，有a m +a m +1=a k ? 说明理由； （2）找出所有数列{a n }和{b n }，使对一切n ∈N ,

*

a n +1

=b n , 并说明理由； a n

（3）若a 1=5, d =4, b 1=q =3, 试确定所有的p ，使数列{a n }中存在某个连续p 项的和是数列{b n }中的一项，请证明

3．（2010年上海高考文21）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n -5a n -85，n ∈N

*

（1）证明：{a n -1}是等比数列；

（2）求数列{S n }的通项公式，并求出使得S n +1>S n 成立的最小正整数n ．

4．（2010年上海高考理20）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n -5a n -85，n ∈N

*

（1）证明：{a n -1}是等比数列；

（2）求数列{S n }的通项公式，并求出n 为何值时，S n 取得最小值，并说明理由．

5．（2011年上海高考文23）已知数列{a n }和{b n }的通项公式分别为a n =3n +6，b n =2n +7（n ∈N ），将集合{x |x =a n , n ∈N } {x |x =b n , n ∈N }中的元素从小到大依次排列，构成数列c 1, c 2, c 3, , c n , 。

（1）求三个最小的数，使它们既是数列{a n }中的项，又是数列{b n }中的项； （2）c 1, c 2, c 3, , c 40中有多少项不是数列{b n }中的项？说明理由； （3）求数列{c n }的前4n 项和S 4n （n ∈N ）

*

*

**

6．（2011年上海高考理22）已知数列{a n }和{b n }的通项公式分别为a n =3n +6，b n =2n +7（n ∈N ），将集合{x |x =a n , n ∈N *} {x |x =b n , n ∈N *}中的元素从小到大依次排列，构成数列c 1, c 2, c 3, , c n , 。 （1）求c 1, c 2, c 3, c 4；

（2）求证：在数列{c n }中、但不在数列{b n }中的项恰为a 2, a 4, , a 2n , ； （3）求数列{c n }的通项公式

7．（2012年上海高考文23）对于项数为m 的有穷数列数集{a n }，记b k =m a x {

*

a 1, a 2, , a k }

（k =1,2,…,m ），即b k 为a 1, a 2, , a k 中的最大值，并称数列{b n }是{a n }的控制数列．如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5．

（1）若各项均为正整数的数列{a n }的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{a n }；（4分） （2）设{b n }是{a n }的控制数列，满足a k +b m -k +1=C （C 为常数，k =1,2,…,m ）．

求证：b k =a k （k =1,2,…,m ）；（6分）

（3）设m =100，常数a ∈(, 1) ．若a n =an -(-1)

1

2

2

n (n +1) n ，{b n }是{a n }的控制数列，

求(b 1-a 1) +(b 2-a 2) + +(b 100-a 100) ．

8．（2012年上海高考理23）对于数集X ={-1, x 1, x 2, , x n }，其中0

n ≥2，定义向量集Y =|=(s , t ), s ∈X , t ∈X }． 若对于任意a 1∈Y ，存在a 2∈Y ，

使得a 1⋅a 2=0，则称X 具有性质P ． 例如X ={-1, 1, 2}具有性质P ． （1）若x ＞2，且{-1, 1, 2, x }，求x 的值；

（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；）

（3）若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列x 1, x 2, , x n 的通项公式．

9．（2013年上海高考文22）已知函数f (x ) =2-x ，无穷数列{a n }满足a n +1=f (a n ) ，

n ∈N *．

（1）若a 1=0，求a 2, a 3, a 4；

（2）若a 1>0，且a 1, a 2, a 3成等比数列，求a 1的值；

（3）是否存在a 1，使得a 1, a 2, , a n , 成等差数列？若存在，求出所有这样的a 1；若不存

在，说明理由．

10．（2013年上海高考理23）给定常数c >0，定义函数f (x ) =2x +c +4-x +c ．数列

a 1, a 2, a 3, 满足a n +1=f (a n ) ，n ∈N *．

（1）若a 1=-c -2，求a 2及a 3；

（2）求证：对任意n ∈N ，a n +1-a n ≥c ；

（3）是否存在a 1，使得a 1, a 2, , a n , 成等差数列？若存在，求出所有这样的a 1；若不存

在，说明理由．

11．（2014年上海高考理23）已知数列{a n }满足a n ≤a n +1≤3a n ，n ∈N *，a 1=1．

3 （1）若a 1=2, a 3=x , a 4=9，求x 的取值范围；

（2）设{a n }是公比为q 的等比数列，S n =a 1+a 2+ +a n ．若S n ≤S n 求q 的取值范围；

（3）若a 1, a 2, , a k 成等差数列，且a 1+a 2+ +a k =1000，求正整数k 的最大值， 以及k 取最大值时相应数列a 1, a 2, , a k 的公差．

12．（2014年上海高考文23）已知数列{a n }满足a n ≤a n +1≤3a n ，n ∈N *，a 1=1．（1）若a 1=2, a 3=x , a 4=9，求x 的取值范围； （2）设{a n }是等比数列，且a m =的公比；

（3）若a 1, a 2, , a 100成等差数列，求数列a 1, a 2, , a 100的公差的取值范围．

*

1

13

*

n ∈N ，， ≤S 3+1n

1

3

1，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{a n }1000

1（1）由a m +a m +1=a k , 得6m +6+3k +1，整理后，可得k -2m =

4, 3

m 、k ∈N ，∴k -2m 为整数∴不存在n 、k ∈N *，使等式成立。

（2）当m =1时，则b 1⋅b 2=b k , ∴a 2⋅q 3=aq k

∴a =q k -3, 即a =q c ，其中c 是大于等于-2的整数

反之当a =q 时，其中c 是大于等于-2的整数，则b n =q n +c ， 显然b m ⋅b m +1=q m +c ⋅q m +1+c =q 2m +1+2c =b k ，其中k =2m +1+c

c

∴a 、q 满足的充要条件是a =q c ，其中c 是大于等于-2的整数

（3）设b m +1+b m +2+ +b m +p =a k

当p 为偶数时，(*)式左边为偶数，右边为奇数， 当p 为偶数时，(*)式不成立。

3m +1(1-3p )

=2k +1，整理得3m +1(3p -1) =4k +2 由(*)式得

1-3

当p =1时，符合题意。当p ≥3，p 为奇数时，

3p -1=(1+2) p -1

0122p p =C p +C 1p ⋅2+C p ⋅2+ +C p ⋅2-1122p p =C 1p ⋅2+C p ⋅2+ +C p ⋅22p p -1=2(C 1)p +C p ⋅2+ +C p ⋅2222p p -2=2⎡2C +C ⋅2+ +C ⋅2()+p ⎤p p p ⎣⎦

∴ 由3m +1(3p -1) =4k +2，得

222p p -2

3m +1⎡2C +C ⋅2+ +C ⋅2()+p ⎤p p p ⎣⎦=2k +1

∴当p 为奇数时，此时，一定有m 和k 使上式一定成立。 ∴当p 为奇数时，命题都成立。

2. 解（1）a m +a m +1=a k , 得6m +5=3k +1， 整理后，可得k =2m +

4

m 、k ∈N *，∴k -2m 为整数， 3

∴不存在m 、k ∈N *，使等式成立。 ……5分

a 1+nd a n +1

=b 1q n -1（2）解法一 若 （*） =b n , 即，

a 1+(n -1) d a n

（i ）若d =0, 则1=b 1q n -1=b n ，

当{a n }为非零常数列，{b n }为恒等于1的常数列，满足要求。……7分 （ii ）若d ≠0，（*）式等号左边取极限得（*）式等号 右只边只有当q =1时，才可能等于1，此时等号左边是

lim

a 1+nd

=1,

n →∝a +(n -1) d 1

常数，

d =0，矛盾。

综上所述，只有当{a n }为非零常数列，{b n }为恒等于1的常数列，满足要求。……10分 解法二 设a n =nd +c ，若

a n +1

=b n ，对n ∈N*都成立，且{b n }为等比数列，则a n

a n +2a n +12

/=q ，对n ∈N*都成立，即a n a n +2=qa n +1， a n +1a n

∴(dn +c )(dn +2d +c ) =q (dn +d +c ) ，对n ∈N都成立，∴d =qd ……7分

2

*

22

（i ）若d =0, 则a n =c ≠0，∴b n =1, n ∈N。

*

（ii ）若d ≠0，则q =1, ∴b n =m (常数），即

dn +d +c

=m , 则d =0, 矛盾.

dn +c

*

综上所述，有a n =c ≠0，b n =1，使对一切n ∈N，（3）a n =4n +1, b n =3, n ∈N ，

n

*

a n +1

=b n a n

设a m +1+a m +2+ +a m +p =b k =3, p 、k ∈N , m ∈N.

k *

4(m +1) +1+4(m +p ) +1

p =3k ，

2

3k

∴4m +2p +3+， p 、k ∈N *，∴p =3s , s ∈N

p

2s+2

取k =3s +2,4m =32s +2-2⨯3s -3=（4-1）-2⨯(4-1)s -3≥0，

2s+2由二项展开式可得整数M 1、M 2，使得（4-1）=4M1+1，

s 2⨯（4-1）=8M 2+(-1) S 2

∴4m =4(M 1-2M 2) -((-1) S +1)2, ∴存在整数m 满足要求。

故当且仅当p =3s , s ∈N ，命题成立

说明：第（3）题，若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分） 若p 为偶数，则a m +1+a m +2+ +a m +p 为偶数，但3为奇数。 故此等式不成立，∴p 一定为奇数。 当p =1时, 则a m +1=b k , 即4m +5=3k ， 而3=(4-1)

0k -1k -1k =c k ⋅4k +c 1⋅(-1) + +c k ⋅4⋅(-1) k -1+c k ⋅(-1) k =4M +(-1) k , M ∈Z. k ⋅4k

k

k

当k 为偶数时，存在m ，使4m +5=3成立， 当p =3时, 则 a m +1+a m +2+a m +3=b k , 即3a m +2=b k ， 也即3(4m +9) =3，∴4m +9=3

k

k

k -1

,4(m +1) +5=3k -1，

k

由已证可知，当k -1为偶数即k 为奇数时，存在m ，4m +9=3成立， 当p =5时, 则a m +1+a m +2+ +a m +5=b k , 即5a m +3=b k ，

也即5(4m +13) =3，而3不是5的倍数，∴当p =5时, 所要求的m 不存在，

k

k

故不是所有奇数都成立。

3. 解：(1)由S n =n -5a n -85, n ∈N （1） 可得：a 1=S 1=1-5a 1-85，即a 1=-14。 同时 S n +1=(n +1) -5a n +1-85 （2） 从而由(2)-(1)可得：a n +1=1-5(a n +1-a n )

*

55(a n -1), n ∈N *，从而{a n -1}为等比数列，首项a 1-1=-15，公比为，66

5n -15n -1

通项公式为a n -1=-15⋅() ，从而a n =-15⋅() +1

66

5n 5n 1

（2）S n +1>S n 即a n +1>0，-15*() +1>0，()

6615

即：a n +1-1=解得 n >

-log(15)

≈14.8532，从而n min =15。

log(5)-log(6)

56

n -1

4. （1）略 （2）S n =n +75()

5. （1） 三项分别为9,15,21。 （2）c 1, c 2, c 3, , c 40分别为

-90 n =15 取得最小值

9,11,12,13,15,17,18,19,21,23,24,25,27,29,30,31,33,35,36,37, 39,41,42,43,45,47,48,49,51,53,54,55,57,59,60,61,63,65,66,67

（3） b 3k -2=2(3k -2) +7=6k +3=a 2k -1，b 3k -1=6k +5，a 2k =6k +6，b 3k =6k +7

k +5

⎧6k +3(n =4k -3) ⎪6k +5(n =4k -2) ⎪

∴ c n =⎨, k ∈N *。c 4k -3+c 4k -2+c 4k -1+c 4k =24k +21

⎪6k +6(n =4k -1) ⎪⎩6k +7(n =4k )

n (n +1)

S 4n =(c 1+c 2+c 3+c 4) + +(c 4n -3+c 4n -2+c 4n -1+c 4n ) =24⨯+21n =12n 2+33n

2

6. （1）c 1=9, c 2=11, c 3=12, c 4=13；

*

（2）① 任意n ∈N ，设a 2n -1=3(2n -1) +6=6n +3=b k =2k +7，则k =3n -2，即

a 2n -1=b 3n -2

② 假设a 2n =6n +6=b k =2k +7⇔k =3n -

1

∈N *（矛盾），∴ a 2n ∉{b n } 2

∴ 在数列{c n }中、但不在数列{b n }中的项恰为a 2, a 4, , a 2n , 。

（3）b 3k -2=2(3k -2) +7=6k +3=a 2k -1，b 3k -1=6k +5，a 2k =6k +6，b 3k =6k +7

k +5

∴ 当k =1时，依次有b 1=a 1=c 1, b 2=c 2, a 2=c 3, b 3=c 4，……

⎧6k +3(n =4k -3) ⎪6k +5(n =4k -2) ⎪

∴ c n =⎨, k ∈N *。

⎪6k +6(n =4k -1) ⎪⎩6k +7(n =4k )

7. （1）数列{a n }为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；

2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. （2）因为b k =max{a 1, a 2, , a k }，b k +1=max{a 1, a 2, , a k , a k +1}， 所以b k +1≥b k . 因为a k +b m -k +1=C ，a k +1+b m -k =C ，

所以a k +1-a k =b m -k +1-b m -k ≥0，即a k +1≥a k . 因此，b k =a k . （3）对k =1, 2, , 25，a 4k -3=a (4k -3) 2+(4k -3) ；

a 4k -2=a (4k -2) 2+(4k -2) ；

a 4k -1=a (4k -1) 2-(4k -1) ；a 4k =a (4k ) 2-(4k ) .

比较大小，可得a 4k -2>a 4k -3.

因为1a 4k -1； a 4k -a 4k -2=2(2a -1)(4k -1) >0，即a 4k >a 4k -2. 又a 4k +1>a 4k ，

从而b 4k -3=a 4k -3，b 4k -2=a 4k -2，b 4k -1=a 4k -2，b 4k =a 4k . 因此(b 1-a 1) +(b 2-a 2) + +(b 100-a 100)

=(b 3-a 3) +(b 7-a 7) +(b 10-a 10) + +(b 4k -1-a 4k -1) + +(b 99-a 99) =(a 2-a 3) +(a 6-a 7) +(a 9-a 10) + +(a 4k -2-a 4k -1) + +(a 98-a 99) =

∑(a

k =1

25

4k -2

(1-a ) . -a 4k -1) =(1-a ) ∑(8k -3) =2525

k =1

25

8. （1）选取1=(x , 2) ，Y 中与1垂直的元素必有形式(-1, b ) . 所以x =2b ，从而x =4. （2）证明：取1=(x 1, x 1) ∈Y . 设2=(s , t ) ∈Y 满足a 1⋅a 2=0. 由(s +t ) x 1=0得s +t =0，所以s 、t 异号.

因为-1是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为-1，另一为1，故1∈X . 假设x k =1，其中1

选取a 1=(x 1, x n ) ∈Y ，并设2=(s , t ) ∈Y 满足1⋅2=0，即sx 1+tx n =0， 则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为-1.

若s =-1，则2，矛盾；若t =-1，则x n =sx 1

先证明：若A k +1具有性质P ，则A k 也具有性质P. 任取1=(s , t ) ，s 、t ∈A k . 当s 、t 中出现-1时，显然有a 2满足a 1⋅a 2=0； 当s ≠-1且t ≠-1时，s 、t ≥1.

因为A k +1具有性质P ，所以有a 2=(s 1, t 1) ，s 1、t 1∈A k +1，使得a 1⋅a 2=0， 从而s 1和t 1中有一个是-1，不妨设s 1=-1.

假设t 1∈A k +1且t 1∉A k ，则t 1=x k +1. 由(s , t ) ⋅(-1, x k +1) =0，得s =tx k +1≥x k +1，与s ∈A k 矛盾. 所以t 1∈A k . 从而A k 也具有性质P. 现用数学归纳法证明：x i =q

i -1

，i =1, 2, …, n . 当n =2时，结论显然成立；

i -1

假设n=k时，A k ={-1, 1, x 2, , x k }有性质P ，则x i =q

，i =1, 2, …, k ；

当n=k+1时，若A k +1={-1, 1, x 2, , x k , x k +1}有性质P ，则A k ={-1, 1, x 2, , x k } 也有性质P ，所以A k +1={-1, 1, q , , q

k -1

, x k +1}.

取1=(x k +1, q ) ，并设a 2=(s , t ) 满足a 1⋅a 2=0，即x k +1s +qt =0. 由此可得s 与t 中有且 只有一个为-1.

若t =-1，则1，不可能；所以s =-1，x k +1=qt ≤q ⋅q k -1=q k ，又x k +1>q k -1，所以

x k +1=q k .

综上所述，x i =q i -1x i =q i -1，i =1, 2, …, n . [解法二]设a 1=(s 1, t 1) ，a 2=(s 2, t 2) ，则a 1⋅a 2=0等价于

s 1t 1

=-s 22

t

.

记B =s |s ∈X , t ∈X , |s |>|t |}，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于 t 原点对称.

注意到-1是X 中的唯一负数，B (-∞, 0) ={-x 2, -x 3, , -x n }共有n -1个数， 所以B (0, +∞) 也只有n -1个数. 由于

x n x n -1x n -1x n -2

x n x n -1

x n x n -2

x n x 2

x n x 2

x n x 1

x n x 1

，已有n -1个数，对以下三角数阵

x n x n -2x n -1x n -3

x n -1x 1

……

x 2x 1

x n x 1

注意到

>

x

x n -1x 1

> >

x 2x 1

，所以

x n x n -1

=

x n -1x n -2

= =

x 2x 1

，从而数列的通项公式为

2k -1

x k =x 1(x 1) =q k -1，k =1, 2, …, n .

9. （1）a 2=2，a 3=0，a 4=2．

（2）a 2=2-a 1=2-a 1，a 3=2-a 2=2-2-a 1．

2

① 当0

2

② 当a 1>2时，a 3=2-(a 1-2)=4-a 1，所以a 1(4-a 1)=(2-a 1)，

得a 1=2

去）或a 1=2

2

综合①②得a 1=

1或a 1=2

（3）假设这样的等差数列存在，那么a 2=2-a 1，a 3=2-2-a 1．

由2a 2=a 1+a 3得2-a 1+2-a 1=2a 1（*）．

以下分情况讨论：

① 当a 1>2时，由（*）得a 1=0，与a 1>2矛盾；

② 当0

所以{a n }是一个等差数列；

③ 当a 1≤0时，则公差d =a 2-a 1=(a 1+2)-a 1=2>0，因此存在m ≥2使得 a m =a 1+2(m -1)>2．此时d =a m +1-a m =2-a m -a m

综合①②③可知，当且仅当a 1=1时，a 1, a 2, a 3 构成等差数列．

10. （1）a 2=2, a 3=c +10．

⎧x +c +8, x ≥-c , ⎪（2）f (x )=⎨3x +3c +8,-c -4≤x

⎪-x -c -8, x

当a n ≥-c 时，a n +1-a n =c +8>c ；

当-c -4≤a n

当a n

所以，对任意n ∈N ，a n +1-a n ≥c ．

（3）由（2），结合c >0得a n +1>a n ，即{a n }为无穷递增数列．

又{a n }为等差数列，所以存在正数M ，当n >M 时，a n ≥-c ，

从而，a n +1=f (a n ) =a n +c +8．

由于{a n }为等差数列，因此其公差d =c +8．

① 若a 1

又a 2=a 1+d =a 1+c +8，故-a 1-c -8=a 1+c +8，即a 1=-c -8，从而a 2=0． *

当n ≥2时，由于{a n }为递增数列，故a n ≥a 2=0>-c ，

所以，a n +1=f (a n ) =a n +c +8，而a 2=a 1+c +8，

故当a 1=-c -8时，{a n }为无穷等差数列，符合要求；

② 若-c -4≤a 1

③ 若a 1≥-c ，则由a n ≥a 1得到a n +1=f (a n ) =a n +c +8，

从而{a n }为无穷等差数列，符合要求．

综上，a 1的取值集合为[-c , +∞) {-c -8}．

2x ≤x ≤6且≤9≤3x ，解得3≤x ≤6．所以x 的取值范围是x ∈[3,6]． 33

111（2）由a n ≤3a n ，且a n =a 1q n -1≠0，得a n >0，所以S n ≤S n +1．又a n ≤a n +1≤3a n ，333

1所以≤q ≤3． 311. （1）由条件得

当q =1时，S n =n ，S n +1=n +1，由n +1≤3n 得S n +1≤3S n 成立．

1-q n +11-q n

当q ≠1时，S n +1≤3S n ．即． ≤3⋅1-q 1-q

① 若1

（3）设a 1, a 2, a k 的公差为d ．由a n ≤a n +1≤3a n ，且a 1=1， ⎡1⎣⎤⎦1

3

2+d 1≥) -⎧(n 1[1+(n -1) d ]≤1+nd ≤3[1+(n -1) d ]，n =1,2, , k -1．即⎨得 3(n 2-d 3≥) -⎩

n =1,2, , k -1． 2,

2≤d ≤2； 3

-2-2-2-22>≥-． 当n =2, , k -1时，由，得d ≥，所以d ≥2n +12n -32n +12k -13当n =1时，-

所以1000=ka 1+k (k -1)k (k -1)-22000k 10+000≤，d ≥k +⋅，即k -2得k ≤1999． 222k -1

所以k 的最大值为1999，k =1999时，a 1, a 2, a k 的公差为- 1． 1999

2x ≤x ≤6且≤9≤3x ，解得3≤x ≤6．所以x 的取值范围是x ∈[3,6]． 33

1（2）设{a n }的公比为q ．由a n ≤3a n ，且a n =a 1q n -1≠0，得a n >0． 3

1111因为a n ≤a n +1≤3a n ，所以≤q ≤3．从而=a 1q m -1=q m -1≥() m -1，3m -1≥1000，331000312. （1）由条件得解得m ≥8．

1m =

8时，q = [,3]．所以，m 的最小值为8，m =8时，{a

n }3

（3）设数列a 1, a 2, a 100的公差为d ．由12a n ≤a n +d ≤3a -a n ≤d ≤2a n ，，n 33n =1,2, ,99．

① 当d >0时，a 99>a 98> >a 2>a 1，所以02≤d

综上，a 1, a 2, a 100的公差的取值范围为[-

2, 2]． 199