用二项式定理证明不等式的几类问题

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中学数学

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用二项式定理证明不等式的几类问题

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众所周知$数学归纳法在含有自然数的命题证明方面有着较大的优势$但同时我们也发现%不是所有与自然数有关的命题都可以用数学归纳法来证明$而且在使用的新教冯俊

果在不等式两边都含有指数幂$但不是二项式$那么就要设法把一些数值进行分拆来创造二项式$若不等式两边是二项式那就常常可以直接应用二项式定理进行证明$在含有材里目前对数学归纳法已经不作要求了&所以$在缺少了数学归纳法或出现了不宜用数学归纳法的题目之后$我们就需要去寻找另外的方法&实践证明$二项式定理在实际应用中具有很大的价值&例如$解决与自然数有关的幂不等式的证明$它就给我们提供了一种结构简明’思路清晰的证明方法&下面举例说明&

(

简单构造二项式和直接应用二项式

定理

例()*+求证%,-!

时$!,

-,!

.,.!!

/

)!+证明%0,,1*

!,1*23),4*+/)5+)第!*

届前苏数学竞赛试题+求证%对于任意的正整数,$

不等式)!,.*+,-)!,+,.)!,1*+,成立&简析我们可以看出第)5+题中不等式的左右两边均含有指数式$)*+’)!+两题中的不等式两边给人以不对称的感觉$只有一边的指数含有,$而第)!+题似乎更特别$含有一个组合数&恰恰就是这个组合数给了我们启发%我们应该朝二项式定理方面考虑&虽然这5

道题数学形式不同$但因为都含有指数幂$而且大部分题将底数适当分解以后就可以在不等号两边建立密切联系$所以我们能简单构造二项式和直接应用二项式定理来证明它们&

解)*+!,6)*.*+

,

60#*!0,1*,.0,.0,.7.,.0,,

-0#.0*!

,!

.,.!,,.0,6

!

&!,1*

)!+3

,1*

6*!8!!,1*6*!9

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6#

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6

90

:

!40,1*60,

,1*!,1*!,1*&

:6#

)5+)!,.*+,1)!,1*+,6;0#,

,)!,+.0*,)!,+,1*.7.0,1**,#,)!,+.0,)!,+

)!,+,1*6)!,+,&评注从以上的解题过程可以看到%如

组合数’排列数等的题目中更要注意二项式定理的运用&在运用二项式定理进行证明时我们也发现$常常需要舍去一部分正项$将式子的值缩小$以达到证明的目的&

=

适当变形再用二项式定理

例=)*+证明%>,

,2!),?@.+/

)!+证明%,!!,2,1*

),4*$,?@+/)5+证明%当,-!$,?@时$

#2>,

,1*2

>

!

,

/)3+已知A)B+!B

6

1*!B

.*

$证明%对于任意

不小于5的自然数,$都有A),+4,,.*

&略解)*+要证明>,

,2!$即要证明,2!,$而!,6)*.*+,60#*!

,.0,.0,.7

.0,,4,&

)!+要证明,!!,2

,1*

$即要证明!,

4,),1*+!

!

60,

$而通过上面)*+的证明发现这个结论很显然&

)5+要证明#2>,

,1*2

>

!,

$即要证明>,

,1*4#且,2)*.>!,

,

+$因为

,-!所以前面一个式子成立$)*.>!

,

,

+6*.

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,,

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!,0,

)>,+6,)*.>,

+4,&)3+A),+6

!,

1*!,

.*$因而要证

A),+4,!,

,.*$就要证明1*,,

!,

.*4,.*

$亦即!4!,.*$而!,6)*.*+,60#*!

,.0,.0,.7.0,1*,.0,#*,1*

,40,.0,.0,

6!,.*&评注在这一组题目中$我们通过分析法先找到解题的突破口&也就是将要证明的问题简化$向可直接应用二项式定理的题型

年第T期.66D

方向努力!

中学数学

H$

配凑新的二项式再用二项式定理

例

***

求证/-.)#$0(%0#$&(%’.!

已知1为不相等的正数)是大于$#.%)2*

**

102102*

的整数)求证/3#%!

..

略解#$%4&$’(’$)

这是为后面5$0(-6)$&(-6#

需舍去一些项作准备%!**6*.78#$0(%0#$&(%97:*#$0(%;

评注上述两题虽然同样的采用了引进

参数而赋值的方法)但是又有所不同!第一题完全是根据等差数列条件而设的)第二题却巧妙的把(0A7$这个等式进行有效的转换)使得(为利=A各成为了两项的和差形式)用二项式定理做好了准备!

>

二项式定理在综合证明题中的应用

例I#已知1且1$%=2=?+B0)020?

****

求证/712?)1020?3H#$0%#*+,%@0

.

*

满足L#.%已知数列J1K1)*+**7

*

#$&(%60:$*#$0(%*&$#$&(%$

0

#.%1*02*

7#1021&2*1021&2*

.0

.%0#.&.%7

8:6102*1&26$102*&$1

&2$*#.%#.%0:*#.%#.

%

0

#1

02.%6#1&2.

%*908:6102*1&26$102*&$1

&2$*#.%#.%&:*#.%#.

%

0

0261&2**

#.%#&.%93.:61

02*1&267.#102%**#%#%!

评注.在有些.题目里面.)虽然同样含有二项式)但我们又不适宜把它展开)这时我们就要考虑将一些数式进行凑=拆等创造新的二项式来达到使不等式两边密切联系的目的!

例>#$%已知1=2=?是互不相等的正数)且1=2=?成等差数列)求证/1*0?*-.2*

#*+,%@#.%若(=A+B满足(0A7$)

求证/(C0AC

-$$D

!

略解#$%由于1=2=?成等差数列)公差为E)可设172&E)?720E)则1*0?*7#2&E%*0#20E%

*

78:62*E60:$2*&$E$0

***2E90

8:6*E60:$*&$&E%$0:*6**2*2#*2#&E%9-.2*

!

#.%4(0A7$)

5设(7$.0F)A7$.&F#F-6%)则(C0AC7#$.0F%C0#$.

&F%C

7

8:6$C$$G$C

$6CC#.%0:C#.%F0

8:6$C6C#.%F&:$C#$.%GF$0

$6CC

#.

%F97.8:6$C$H.$$G.0:.G

C#%C#.%F0:C#.%F9

-.:6

$C$C#.%7$D

!

.,0)L*是J1*K的前*项和)并且1.7$)

证明/H.’#$0$1

.1%*0$M.!

*0$略解#$%

由条件可以得到12?-HNH

12?O

12?-H

H

.)H

得

1*

02*

0?*

-HNH

1*2*?*

-H

N#HH

.

%

*

7H;#NH%*

)

从而H;#NH%*

3H#$0$*.

%

7H8:6$$*0:*.0:.$.*

$**#.%0

#.%93H#$0*

.%!

#.%L**0$

*7两式相减得到.1*OL*0$7.

1*0$)

.1*0$7#*0$%1*0$&*1*)即#*&$%1*0$7*1*)所以#*0$%1*0$7*1*0.)再相加.*1*0$7*1*0*1*0.)即.1*0$71*01*0.)所以)数列J1*

K是等差数列!L*

*7.

1*O1$76)

51*7*&$)则1*0$7*)5#$0$.1%1*0$7#$0$%*

)

*0$

.*#$0$*6$$.

$..*%7:*0:*#.*%0:*#.*%0

:*$*6$$H*#.*%-:*0:*.*7.)

:P

$P$*#*&$%

M.

P#P7$).)

即#$0$*$.*%M$0.0$G0

.*

$&#$*0$

7.%

7.$*

$&

$&#.%M.)

.5H$1

.’#$0.1%*0$M.!

*0$

评注通过这两道题目的练习)我们发现在综合题当中)要摘掉出题人给题目R穿的靴子和戴的帽子S相对比较简单)而后续的证

*’

中学数学

’(()年第P期

明是解题的关键!这里就需要我们能够寻找合适的证明方法

综上所述!运用二项式定理进行证明的关键在于创造二项式

辅助证明

收稿日期&$’(()(*+,-

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

三角形的一个向量性质及其在空间的拓广

.+*.((

湖南省桃江一中

胡芳举

本文将给出与三角形的中线有关的一个

向量性质!并将其推广到空间

定理/如图+!0为给定1234的边34的中点!5为中线20上一定点异于点2过5点任作$-!一直线!分别交23#24于

888设26#7!69:23!278则9;24!

图+

++

定值

:

+888>209$23

=5为中线20上的一定点!

88>25#20共线!

?(8888>259?(209$23

其中?(为定值

又=5#6#7三点共线!

888>259AB26

8888结合题设269:23!279;24得

888259A:23

比较@#得D

?(?(

9A:!9C;!’’+’A+’C

>!;9?

:9?((++’A’C’

>

’

证毕

?(

注在上述定理中!特别地!当5为34中点即点0时!此时+

:;

当点5为无穷远点!即直线67E20时!此时+

:;

将上述定理推广到空间有&定理G如图’!0为给定三棱锥2H34I的底面134I的重心!5为直线20上一定点$异于点2过5任作一平面!分别交-!

8888279;24!2J9K2I

+++

则

:;K证明=0为134I的重心

>

88直线2设23#24#2I于6#7#J!69:23!

8209

8824

=5为20上一定

图’点!

88>25#20共线

8889$23

又=5#6#7#J四点共面!

8888>259AB26

A

+8

$23

8888259A:23

A

比较L#得N

?(?(?(

9A:!9C;!9MK!***

+*A+*C+*M

>9!9!9!

:?(;?(K?(+++*A*C*M

>

:;K???(((*9$A

*证毕

注在上述定理中!特别地!当点5为底面13此时有4I的重心即点0时!?!(9+

+++

当点5为无穷远点!即平面67JE直线2此时有0时!?(8F!

+++

收稿日期&$’(()(*(O-