复数与向量
04-30
若复数z 满足|z ++i |≤1,求: (1)|z |的最大值和最小值; (2)|z -1|+|z +1|的最大值和最小值;
22
(3)|z -|+|z -2i |的最大值和最小值. 22
解:(1)如下图所示,||=,
∴|z |Max =2+1=3,|z |Min =2-1=1.
(2)|z -1|+|z +1|=2|z |+2,
∴|z -1|+|z +1|的最大值为20,最小值为4. 22222
(3)如下图,在圆面上任取一点P ,与复数z 1=
边形将问题再次转化为(1)的类型. ,z 2=2i的对应点A 、B 相连,得向量、,再以、为邻边作平行四
设z a =,z b =2i,P 为圆面上任一点,z P =z .
则2||+2|2|=|2|+(2|2|)=7+4|2|, 2
∴|z -|+|z -2i|=22(7+4|z --i|). 2
而|z --i|Max =|O′M |+1=1+,|z --i|Min =|O′M |-1=-1, ∴|z -|+|z -2i|的最大值为27+222,最小值为27-2.
点评:利用复数模的几何意义,将问题转化为平行四边形的两边的平方和与对角线的平方和的关系.