P-范分布及其抽样分布
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应用概率统计 第十九卷
第四期 2 0 0 3年 1 1月
Chi e e.o nalo n s J ur fApple Pr b id o abi t ly i
an St itc d ats is Vo1 9 No.4 No .1 v.2 3 00
P 范分布及其抽样分 布 木 一
孙 海 燕
胡宏 昌 ,
3 0 2 ( 武 汉 大 学 测 绘 学 院 ,武 汉 , 4 0 7 ; 。湖北师范 学院数学系 ,黄石 , 4 5 0 ) 309
摘
要
本文构 造 了 , 维 P z .范分布的密度 函数,使拉普 拉斯分布 、正态分 布、均 匀分布与退 化分 布均为一维 P- 范分 布 的特例 .然后 ,定义 了三个 与 P. 范分布有密切关 系的抽样分 布 ,并给出 了密 度函数 . 关 键 词: P 一范分 布, x 分布, t 布, p分 分布 .
学 科 分 类 号 : O2 1 , 1.. 1 . O2 22 3
§ . 引 1
在研 究线性 回归模型 【 ( Y= 】 ( =
、
言
+gt +£ 和非线性 回归模型 【 ( ) ) 0 】
+£ 、半参数 回归模型 【 ( ) Y= 】
+E 时,往往直接或间接地假设误差 £ ) 服从正态分布,并用最d -乘法 ( ' 或近邻估计 【 、小波估计
两 阶段估 计 【 等) 行研 究 ,取得 了大 量 令人 满意 的结 果 .但 在很 多 情况 下 ,误 差 并 不服 从正 态分 布 ( 。 ] 进 如
地图数字化误差 [)由此将会产生一些用正态分布无法解决的问题 . 7, 】 试图寻找 比正态分布更适合描述误差的
分 布是本 文 的 目的 之一 .
其次,假设样本 ,2… , 是对量 的 n次独立同精度观测,当样本母体服从拉普拉斯分布时, , 的极大似然估值 为样本的中位数,正好与在 最小准则 下得到的估值一致 .同样,当样本母体分别服从正 态分布 N(, ) t i 或均匀分布 Ri—C [ , t +C 时, 】
值 ,正 好 分 别 与在
的极大似然估值为样本均值或样本极大值与极小值的平均
或 o 小 准则 下 得 到 的估 值一 致 . 是 在 常用 的 估 计 最 小 准 则 下 ,参数 的 估值 。最 于
是否会 与母 体 服从 某 个分 布 时 的极大 似 然 估值 一 致 ?为此 ,本文 首 先构 造 了 n维 P -范分 布 ( 它是 一 个分 布
族, 包含了正态分布、 拉普拉斯分布、 均匀分布、 退化分布及许多未知的分布)它 的极大似然估值正是 最 ,
小 准则 下的 估值 ;然后 定 义 了三 个 P 范分 布母 体 的抽 样分 布 ,这 些分 布 可用
于 P 范样 本 的统 计 分析 . . -
§ . P 范分布 的密度 函数 2 一
定义 21 若 随机 向量 的 密度 函数 为 .
, = ()
则称 且 从 n元 P- 艮 范分布 .
ep 一 l ) 】 , x { 【l 。 /( 一 1 1)
(. 21 )
这 里 P> 0 ,D 为 n 阶对 称正 定 阵 ,
= (l , , ) ∈R” = (l , , ) ∈R” ()为 , … 2 , , … 2 ,rx
伽 数, =【3 ) (p , l={ l . 1 这里的 l R 上的范 玛函 r / / 1 )/ (p r / ]2 p ∑ } 当P 时, p ” 是 数, 当
0<P<1 时, 忪 是 R ”上的准范数 . 分布的名称由此而得 . 可以证明由 (. 式定义的函数确实是 R 21 ) ”中的密度函数 . 显然对 于任意的 = ( , , ) ∈R ,2… n 有 /x >0 因此 只要证 明 () , fxd ()x=1 即可 . 事实上,令 Y=D 1 ( t, d / 一i 则 x=D d , 2 ) y 变量替换的
项 目来源 :国家 自然科学基 金资助项 目 (07 05;湖北省教育厅 重大项 目 (0 1 0 03;教育 部 高 等学校骨 干教师 资助计划》 4 24 0 ) 20Z60)
(0 0 5 2 0 0 )资助 . 本文 2 0 0 2年 4月 1 日收到, 2 0 2 0 2年 6月 1 日 到修改 稿. 0 收
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第四期
孙海燕 胡宏昌: P 范分布及其抽 样分布 .
4 25
雅 可 比行 列式 为 J= I I 于 是 Dx]2 /
,d c { :
令 t ( 1, = p 则
=
e,F =; (。( d“ -vd e . (l 昙 ) ̄ l 。 t 一 )
(。 。 e t ) “
注 2 1 易得 E = . X , DX =Dx.
注 22 今 n= 1 由 f.1 . , 21 式得
) 而A x - = p p [ e{
并 称之 为幂 指数 分 布 . 注 23 令 P=1 盯 . , = 2 , (. 式 成为 则 22 ) ) 1e = — 这 是 拉普 拉斯分 布 的 密度 函数 .
.
(. 22 )
9 】 2) 2 此为一元 P 范分布的密度函数 . 一 据文献 [ 此分布曾于 16 年在前苏联发表 ,文献 [ 亦给 出了 (, 式 , 8 ] 95
・
(. 23 )
注 24 令 P=2 则 (.) 是正 态分 布 的 密度 函数 . t . , 22 式 注 25 令 P o, (.) . 。 则 22 式成 为
:
(.) 24
【 0
事实上,应用伽玛函数的乘法公式和余元公式,有
=
oe. tr hs
[
p-+oo -
业
]: ……1 击 1 [ ]= / 2 / 2
J 酷 虑 po ,= - -1 * o
当
 ̄ m ’盯 [ l L 一 t i
J ] 当 盯 > po = - .L m z  ̄ o
= 1 得 (.) ・ 24 式 注 26 令 P- , (.) . ÷0 由 2 式得 2
lm x = i F()
.+
{ : :
) / p (
c 2 ・ 5
一 事实上,由 (. 式可得其分布 函数为 ( 2) 2 简单起见,令 即 当 P- ÷0时 , 维 P 范分布的极 限为退化分 布 .
一
= 0 盯= 1 , )
+而 7 , 1 ( 7 ’ 【) J
F() x=
1
一
2( p F1 /
式中 7 Y 为不完全伽玛函数 . =( ). P- 0 (,) Z 令 ÷ 即得 (. 式 . 2) 5 注 27 至此知,拉普拉斯分布、正态分布、均匀分布与退化分布均为 P 范分布的特例 . . 一 通过 P 范分 一
布 揭示了 面上毫 关的 分布的 表 不相 九个 本质联 1。 系._ l
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46 2
应 用 概 率 统 计
第十九卷
§ . 一维 P 范分布母体 的几个抽样分布 3 一
定义 31设随机变量 1 , , 独立同分布,均服从 =0、 . , …
n
=1的一维 P 范分布,则称随机 一
变量 I =∑ I t 服从 自由度为 n的 x I p p分布.
t 1 =
=
∑ 下面推求 x 分布的密度函数 .由 (. 式知 1 , , 的联合密度函数为 p 2) 2 , … %
fl2 =nn1 )x i (X…,)2r(pe 一 X , , / p I 既 { p t
- -
(. 31 )
∑
令
1 ylpc s / 1C S / 2… C S / n / o 2 p O p O p
一
1
2
s q ylPc s / / o 2 P ̄1c s / o 2 p#2… C S / n 1 i / n一 1 O Pv q n Pv
一
C S/ q i Pv q yl pC S / 1C S / 2… O Pvn Jsn / / O p O p
—
n—J
n
ylpsn 1 / i /
及
0 (= 12… ,) 则 i ,, 礼 ,
I p=
J =
OX , 2 … , ) ( lX , n oy , , 一) (, … 1 1
=
() (“ _-删 一 p( p. _一 pn( ( s
~ 2 ) 1I c 旦 i n
于是
Fy = . ( ) , /
∑ ll 。
/ l 2… ,n Xd2 dn ( , , X) l … x XX d x
=2 “
= 2 一1 “ n
. .
e 兰 即
”p e 一1 一 d
n
(.) 32
r (/、 “1p
=
厂 1 (/啦 p ldl0 np - / .0i删)is ) i ̄O} e o = -( 2 d ̄n  ̄ J 2)i / O ̄-J
c
由于
“p 一 曲 =  ̄ n (l) F(o = 1 故 C = / (/) 将 C 代入 式 (. 得 /一 e - rn p 及 o) , “ rn p. 32 )
F() n y= rnp (/)
“p e , 一1 一 d
.
(. 33 )
对上 式求 导得 x 分 布 的密度 函数
n
!“ p e p , / 一 -X y
Y > 0:
, ) r / ( ={ ( p n)
0 o he s t r.
(. 34 )
下面举一例说 明 x 分布在假设检验中的应用 . p 设 1 2… , 是来 自P 范分布的子样,且 巳 = =0 D ( 知)要求检验假设 日0 = . , , 一 , x= 未 , :
n
将 转化为与之等价 的 日 :u = . 6 P 易得 p的极大似然估 计为 ^ = ( pn ∑ I 设 , p p /) p( P已知)且 ,
.
f 1 =
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第四期
孙 海 燕 胡 宏 昌: P 范 分 布 及 其 抽 样 分 布 .
47 2
p 盯的 偏 计 取 计 T (l p 仃于 在 为 时 /T 在 附 摆 , 对 是 p无 估 ・统 量 =i ) p 是 真 n 应 1近 动 故 于 = /, I )
给 定 的显著性 水 平 Q 当 , 为真 时存 在 实数 h 和 , 使 P o (1 T H = 2 = 1 , ) 一Q
其拒绝域为 { <h) > )且 u{ 2,
PT< ) Q , ( 1 = 1 PT > ) Q , ( = 2 Q +Q 1 2=Q
因 为 T 服从 分 布 ,故 1 赡 n, = () 2= 一 , )其拒 绝域 为 ( , n
C={ T<
() u{ 礼 ) >x 一 , ). ( ) 钆
当统计量 T∈C 时,拒绝原假设 捌 从而拒绝 甄)否则接受 甄) , , .
注 31 令 P=2 由 (. 式 即得 x . , 34 ) 分 布 的密度 函数 .所 以 x 0分 布是 x p分 布 的 特例 .
注 32 一般地说, Q 和 Q . 1 2的选取,应尽可能减小犯第二类错误的概率 . 但在实际上 由于计算最优的 n 和 Q 很 复 杂,往 往取
Q =Q 1 2 1 2=a 2 /. 注 33 对于 x 分布的随机变量,通常取单侧检验 ,即令 Q =0 Q =Q 检验方法类似 . . p 1 ,2 .
定义 32 设 服从 =0、 . = 1的一维 P 范分 布 , y 服 从 自 由度 为 n 的 分 布 ,则 一 T= — /=一 ( n-, y - ) W 服从 自由度 为 n的 £ 布 .其 密度 函数 为 。分 (・ 35 )
) =
注 35 令 n. O 由斯特 林公 式 知 . ÷O,
F( + 1 p) n ( ) / 1 o m nio 扎lpI( 口1 — + / ’礼/ = ., .+
。。
( )计 +
0 ) .
() 3 . 6
注 34 令 P= 2 由 (. 式 即得 £ 布 的密度 函数 . 以 t 布是 £ 布 的特 例 . . , 36 ) 分 所 分 p分
亟
扎
pI( / ) 1礼 p
=
n \ . + P/1-  ̄ , ( n 2 / nl P -ep - ・ p m( n n )P/ 1 (q ̄ / )
. ・
1
E
-
-
+0 O
P
一
P
/
\ /
=
p一 / p
,
式 中 E :1 () () +砂 .当 . O时 , () ÷0 另外 ÷O - .
1 1 1‘ : / i f+ 一 m 州 e p ,
n—’ oo \ 礼 /
所 以
…
l I i ( m
e
p .
(.) 37
文献 [ 】 (. 式定义的分布为 P分布 ( d t b t n. 1 称 3) 0 7 p i r ui ) -si o
注 36 令 P=2 由 (. 式得 到标准正态分布的密度函数. . , 3) 7 这是熟知的结论 . 但是对于 P的其他取值, t p分布的极限并不是 P 范分布 . 一 这表 明虽然正态分布是 P 范分布的特例 ,却有其独特的性质 . 一
定义 33 设 、 y分别服从 自由度为 m, . n的 分布,且 、 y 独立 ,则 Z:—/ xm Y|
—
(8 3) .
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应 用概率 统计
第十九卷
服从第一 自由度为 m 、第二 自由度为 n的 分布 . 其密度函数为
, :
l 0
m一 ‘) >; ( m 一+p 。 p + ‘“
oh r. tes
(. 39 )
式 中 S(,) 贝塔 函 数 . zY 为 注 37 令 P:2 由 (.) 可得 F 分 布 的密度 函 数 . . , 39 式 参 考 文 献
[ 1 】陈永明,一类相依回归方程限定两步估计的有限样本结果, 应用概率统计, 6 1 (00, 4 4. 1 ()20 ) 3—4
【 et i hr n rk s e
l d C l ct n ftr ga dn n aa t c er s n P r I 2 】B a s e dMa u g n , o oai , l i n op rmer ge i , at , F c a H a l o i en ir s o 119 )1_4 (99, 72.
[ 胡舒合,相依误差下非线性回归模型 L 3 ] S估计的收敛速度, 中国科学 ( A辑)3 ( )20) 53 6 1 , 17 (0 1, 9—0 . [ 4 】阎在在,吴智伟,聂攒坎,半参数回归模型的近邻估计 一 鞅差误差序列情形, 应用概率统计, 7 1(0 1,4 5. 1 ( )20)4 —0 [ 5 】钱伟民,柴根象,半参数回归模型小波估计的强逼近, 中国科学, 93 (9 9, 3- 4 . 2 ()19) 23 20 [ 6 】薛留根,韩建国,半参数回归模型中二阶段估计的渐近性质, 高等应用数学学报 ( A辑) 1 ( ) 0 1, 79 . , 6 1 ( 0 )8 —4 2
[ 7 】刘大杰 ,史文 中,童小 华等, G S空间数据 的精度 分析与质量控 制, / 上海科学技术 文献 出版社 。上海, 19 . 99
I S 1波 . . 佛 诺维茨基,伊 ・ ・ 阿 佐格拉夫, 测量结果误差估计, 中国计量出版社,北京, 19 . 90
[ . 9 】P 布雷特 利, BL 福克斯, LE 舒瑞茨 , 模拟 导论, .. .・ 机械 工业 出版社 ,北京 , 19 . 91 meh d , to e 1 ( 9 )55 50 11 5, 6— 7. 9 .
[ 】V n G Ka ma n B K a s, esu Ubrd i i l zynL -om nmi u gu dma i u l e ho 1 0 o . mp n , . rue D sa , e i q v e o p r mii e n n xm m-kl o d e ̄ u a n n r i i
P— nor i t i m D s r but on nd t i a I s Sam plng i t i i D s r but ons i
S UN HAI YANI
Hu H0NGCHANG12 ,
( colfG o e n emai , h n U ie i , h n 4 0 7) S ho o eds a dG o t s Wu a nvr t Wu a , 3 09 y e sy ( eat n f te t sHue N r l nvr t, u n si 4 50 ) D p r met hma c o Ma i , bi oma U ie i H a gh, 30 2 sy
I t i pe ,t d n iy un to o d me i a
P- r dit i uto s e i e n h s pa r he e st f c i n f n— i nson l no m s rb i n i d rv d. La l c ,No ma , pa e r l Re t ngu a n De e e a e o s a e t pe i c c s f o e di nson l P- r ca l r a d g n r t ne r he s cf a e o n - me i a no m d s rb i n. Th n t e i it i uto e hr e dit i uton h ts mpld fo t e P- o m it i to r fn d,a h i nst un ton egi n. s rb i st a a e r m h n r d s rbu i n a e de e i nd t e rde iy f c i sar ve