例谈换元法的应用
30——2数学通讯—上半月)012年第11、12期( ·辅教导学·
例谈换元法的应用
孟伟业 束荣盛
()江苏省扬州大学附属中学,225000
面对一个数学问题,如果直接求解有困难,或不易下手,或由问题的条件难以直接得出结论时,往往需要引入一个或几个“新元”代换问题中原来
,的“元”使得以“新元”为基础的问题求解比较简
易,解决以后将结果倒回去恢复原来的元,即可得原问题的结果.这种解决问题的方法称为换元法.又称变量代换法.换元法的基本思想是通过变量代换,化繁为简,化难为易,使问题发生有利的转化,从而达到解题目的.本文将以近几年的一些高
谈几种换元法在高考解题中的应用.考试题为例,
一、整体换元
运用整体换元解题,是指通过观察和分析.把解题的着眼点放在问题的整体形式和结构特征上,通过换元,使之化繁为简,化难为易,从而达到求解问题的目的.
例1 (2012年江苏高考第11题)设α为锐,则((角,若cossin2α+)=α+)的值
6125
为.
解 设t=α+,则α=t-,cost=,
665,)因为α为锐角,所以t=α+∈所以sintπ,
66
=.5
([(sin2in2t-)+]α+)=s12612
()in2t-)=(sin2t-cos2t=s
42===
(22)2sintcost-cost+sint22
()2××-+
5
5
2525
(例2 (题)已知实2012年江苏高考第21D)求证:数x,x+y|<,2x-y|<,||y满足:
36|y|<
.18
证明 令u=x+y,则y=v=2x-y,3由条件可知-,-<u<,-<v<,33366故所以-<<,-<-<,-
9393181818,所以|y|<.1818
评注 本题也可直接运用绝对值不等式加以证明如下:<y<
(3|x+y)2x-y)-(|y|=|3y|=|2
x-y|+|2≤2|x+y|
.+=8361
这里借助了绝对值不等式建立了未知与已知的联系,需要观察、配凑.
<
二、比值换元
对于一些成比例或具有分式形式的关系式,通过比值代换,可以使问题简单化.例3 (已知正数a,2012年江苏高考第14题)
则b,c满足:5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc,
的取值范围是
.
a
解析 条件5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥alnc可化为:+c
c3·+.≥5+≤4≥ccccc
.
50
评注 本题也可通过观察未知角与已知角的(联系,建立角的变换关系2=2-α+α+)126
,进而得以解决.事实上,也是整体换元的思想.4
则题目转化为:设x=,已知x,y=,y满足
cc
x+y≥5,+y≤4,
x≥e,
>0,y>0,求的取值范围.
x
·辅教导学· 数学通讯———2上半月)012年第11、12期(31
作出(x,y)所在的平
),面区域(如图1目标函数z==表示可
xx-0
行域内的动点P(x,y)与
)连线的斜率.原点O(0,0旋转直线OP,不难
发现:
()当P点为直线31x
图1
d=-4
,即2d∈[0]x+y∈[0,-3-255
,,,当且仅当d=时取“即x=0=”51010=y
时,2x+y取得最大值0.55
解法2 令t=2则可设2x+y,x=+d,
2
y=
时,直+y=5与直线x+y=4的交点C)22
线O对应的z最大,所以zP的斜率最大,max=kOC=7;
()结合图形可知,若在曲线段A2B上存在一
x
点P0使得直线O相切,则zP0与曲线y=emin={否则zkinkk.设切点坐标为OP0,min=mOA,OB}
xx00,切线方程为y=k则有eP0(xx,e=k且y0,0),,解得x检验可知切点x0,k=e,=ky0=10=e
)在可行域内,所以zP0(1,e.min=k=e],综合可知:即z=的取值范围为[e,7
xa]的取值范围是[e,7.
评注:这里用了比值换元,将原来题目中的三从而便于求解.元问题转化为了二元问题,三、均值换元
,如果题目中出现条件a可aas1+2+…+n=
22
代入方程4-d,x+y+xy=1得
2
22+d)-+-d)++d)22222d)=1,
2所以2,2
整理得t当且仅当t≤=-,
555,故2d=0时取“x+y的最大值为=”
0.5
评注 解法1和解法2都是均值换元,均值换元可以达到减少变元的目的,从而使问题的求解但解法1从条件入手,而解法2从目标更加便捷.
22入手.值得注意的是在解法1中是将4x+y,
2
进而设元,问题得以简化.若是xy看成等差数列,
2)将不是那么2
变为其他的组合(如4x+xyy,
2
简单了,此时难以求出d的范围,且目标难以用所设的元表示出来.
四、三角换元
三角换元是最常见的一种换元方法.当题目
22
222,中出现条件x+y=1x+y=r2+2=1,ab22
可以考虑三角换元.-x时,22
例4的解法3 将4x+y+xy=1配方得
…,考虑代换a当tk=1,2,n).特别地,+k=k(
n可令an=2时,1=
,a.+t-t2=
22
例4 (设x,2011年浙江理科卷第16题)y为
22
实数,若4则2xx+y的最大值是+y+xy=1,
.
2222
解法1 由4可知4xx+y+x+y,y=1,,成等差数列,22
则可设4xxx+y=+d,yy
22=
-d.2
224xx+y≥4y,因为所以22
,4x+y≥-4xy
22(令y+=sinθy+)+)=1,
2222,即x=os5cosinθ(θ∈R)θ,θ-=cy=s
15所以osθ,15
2x+y==
os5cosinθ+sθ-θ1515
{
d,+d≥2-4
2d,+d≥-2+4
2
所以≤d≤.
610
又(2x+y)=4x+4x+d+2y+y=
2
2
2
2
(,osin0sinθ+sθ=θ+φ)55
所以-0≤2x+y≤055故2x+y的最大值为0.5,例4的解法4令 若xy≥0
{
222
,4xin+y=sθ2
xos.θy=c
2222
4xxsincos+y≥4θ≥4θ,y,由得2222
4xxincos+y≥-4θ≥-4θ,y,s
所以2
所以0≤cosθ≤,
5
22222
(2x+y)xxincosθ+4θ=4+y+4y=s
{{
所以m+n=2a∈(2∪[2-∞,-2+ 2.故选D.+∞)例4的解法5 令2代入x=a+b,b,y=a-224x+y+xy=1得
22
((a+b)a-b)a+b)a-b)=1,+(+(
222
整理得+=1,
22],所以a∈[-
55
]所以2x+y=2a∈[.-
55故2x+y的最大值为0.5
点评 “和差换元”对于对称问题是非常有效的,在设元时必须关注对称性,如例4中直接令x那么化简后还是含有交叉项=a+b,y=a-b,
之所以造成这一结果的原因就是没有考虑到ab,
对称性,条件中的等式关系并不是关于x,y的对称关系,而是关于2例4的x,y的对称关系.另外,
解法2中的二元均值换元可以看成是和差换元的特例.
六、目标换元
在处理最值时,有时需要将要求的代数式自身看做一个未知变元,作目标换元,然后通过它建,等或不等)并进行适当运算,从而得出立关系式(
未知变元的值.
例5的解法2 依题意,
cos1].=1+3θ∈[
5
2
2224xec+y=sθ,
若x令y<0,2
an-xθ.y=t
22224xxsectan+y≥4θ≥-4θ,y,由得2222
4xxectanθ≥4θ,+y≥-4y,s
2
所以≤c所以osθ<1,
4
22222
(2x+y)xxectan=4+y+4θ-4θy=s
{
{{
2
4[,)==-22∈01.coscosθθ
,综上所述,当2x+y∈[00-55
时,2
且仅当c取得最大值,此时可以解得osθ=
5,x .==y
10
5
故2x+y的最大值为0.5
评注 上述两种方法均是从条件入手,将条件三角化后代入目标函数,从而实现了将代数最在考虑三角值化归为三角函数最值处理.事实上,换元时,有时也从目标函数入手,将目标函数三角化后代入条件,但本题不适合这样做,因为2x+y的值不一定是正数.
五、和差换元
如果x,则可设x=a+b,y∈R,y=a-b,这种变换称为和差换元法.例5 (设m,2012年天津理科卷第8题)n∈))若直线(R,m+1x+(n+1x-y-2=0与圆(22)+()=1相切,则m+n的取值范围是1y-1
( )
([A)11.-+
(B)(1∪[1.-∞,-++∞) (C)[22.-2+2 (D)(2∪[2.-∞,-2+2+∞) 解析 依题意,d=22
m+1n+1+即mn=m+n+1.=1,
令m=a+b,代入mn=a-b,n=m+n+2222
)所以(1得aa+1,a-1-b=2=2+b≥2,即a≤1或a≥1.-+
d=
=1,22
m+1+n+1
即mn=m+n+1.
令t=m+n,则m=t-n,代入mn=m+n
2得方程nn+t+1=0.关于n的方程有+1,-t2
根,故Δ≥0,即t解得t≤2t-4≥0,-4-2 或t≥2故选D.+2 例5的解法3:依题意,
d=
=1,22
m+1+n+1
即mn=m+n+1.
)2,2
因为-令t=mn≤)≤m
2222,则解得t≤2或t≥+n-≤t+1≤,-2 44故选D.2 +2点评 例5的解法2是将问题转化为熟悉的一元二次方程问题,然后用判别式法加以解决.判别式法是解决二次问题的重要方法之一,但要注
意检验.而解法3是借助不等关系将所有的量都用目标表示,从而使得问题得以解决.事实上,对于例4也可以运用这样的方法进行求解.
七、常数换元
很多题目条件中会出现等于常数(通常为1,若不为1可左右两侧同时除以这一常数,即可化为)的等式条件.若能有效地、创造性地处理这里1
往往会给解题带来意想不到的方便.的常数,
例6 (若t2012年江西理科卷第4题)anθ+则sin2=4,θ=tanθ
(A).B) (54
(C.3
解析 因为
(D).2
( )
,评注 对于形如“已知2求+a+3b=6
ab
”的最小值”这样的问题常用常数“的代换,进而凑1
使得题目顺利求解.配成利用基本不等式的形式,
至此,笔者以一些高考题为载体,给出了几种其中的例4、例5给出了换元法在高考中的应用,
多种换元的解法.尽管换元法没有固定模式,但在
若能关注条件、结论的结构特征,探索沟分析时,
通条件与结论的联系等,往往可以找到问题解决的突破口.为了使得读者能更好地熟练掌握本文
中使用的一些方法,笔者给出几道习题,供读者练习.
习题:
(1.2011年全国新课标理科卷第13题)若变量x,y满足约束条件
tan=+θ+
tanosinθcθsθ22===4,
sincosθθin2θ
2
所以sin2θ=.222
”评注 s互inθ+cos1θ在转化过程中常与“
从而达到化简的目的;关于正弦、余弦的相代换,
齐次分式,常将正弦、余弦转化为正切,即弦化切,达到求解正切值的目的.例7 (设x,2009年山东理科卷第12题)y满3x-y-6≤0,足约束条件x-y+2≥0,若目标函数z=ax
x≥0,y≥0,)的最大值为1则+的最a>0,b>02,+by(
ab
(小值为 )
(A).
6
(B).3
2y的最小值是.
(2.2009年天津理科卷第6题)设a>0,b>
ab
若与3的等比中项,则0.是3
{
3≤2x+y≤9,
则z=x+
6≤x-y≤9,
为
(A)8.(C)1.
的最小值
+ab
( )
(B)4.
(D.
4
(3.2008年江苏高考第11题)设x,z为正y,实数,满足x-2z=0,的最小值y+3
xz
是.
(4.2010年重庆理科卷第7题)已知x>0,y则x+2x+2xy+2y的最小值是y=8,>0,
( )
((A)3.B)4.
((C.D.
22(5.2012年全国新课标理科卷第9题)已知ω,)上单调(函数f(x)=sinx+)在ωπ>0,
42
(递减,则ω的取值范围是 )
(A].
24
(B]24
2
((C.D)4.3
解析 作出可行域,易知当直线z=ax+
)过直线x-y+2=0与直线3ba>0,b>0xy(
)时,目标函数z=a4,6x+-y-6=0的交点(
)取得最大值1即4ba>0,b>02,a+6b=12,y(
即2所以a+3b=6,
·+=+)abab6),
+++2=≥6ab66故选A.=
((((]C)0].D)0,2.2
参考答案:C;3;B;-6; 1. 2. 3. 4. 5.A.
()收稿日期:2012-08-26