用微积分证明不等式的技巧和方法
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用微积分证明不等式的技巧和方法
罗世尧
（乐山师范学院数学与信息科学学院．四川乐ｌｈ
摘
要：不等式的证明方法很多，其证明蕴涵了丰富的
６１４０００）
由条件可知，ｆ（ｔ）’ｇ（ｔ）在［ｘ，Ｙ］，（０＜ｘ＜ｙ）上满足柯西中值定理条件，所以ｊ￡∈ｘ，ｙ）使
ｆｉｘ）一ｆ（ｙ）
ｏ
数学知识、逻辑推理和非常高的技巧，本文讨论了利用微积分
知识证明不等式的技，５和方法。
关键词：微积分不等式证明方法
不等式的证明是微积分应用的一个常见问题，通过解决这类问题，可以加深学生对微积分知识的理解，从而提高学
ｆ’（《）
Ｌ
ｇ（ｘ）－ｇ（ｙ）ｇ’（∈）
ｙ
即
ａ－ａ
：！坐竺．０＜ｘ＜∈＜ｖ＜三
—ｓｉｎ∈
２
ＣＯＳＸ—ｃｏｓｙ
生分析问题和解决问题的能力．本文通过各种题型分析解答．
总结出用微积分证明小等式的一些常见基本方法．
１．利用函数的单调性证明不等式
．・．ａ’一ａ‘＝ａ‘（ｃｏｓｘ－ｃｏｓｙ）ｌｎａ／ｓｉｎ∈＞（ｃｏｓｘ－ｃｏｓｙ）ａ。ｌｎａ＞（ｃｏｓｘ－ｃｏｓｙ）ａｌｎａ３．利用函数的最值证明不等式
例ｌ：证明：Ｎｘ＞Ｏ时，ｘ＞ｓｉｎｘ＞ｘ一≥．
证明：先证ｘ＞ｓｉｎｘ，设ｆ（ｘ）＝ｘ—ｓｉｎｘ，则ｆ’（Ｘ）＝１一ＣＯＳＸｌ＞０，即ｆ（ｘ）是增函数．
而ｆ（０）＝Ｏ，故有当ｘ＞Ｏ时，ｘ＞ｓｉｎｘ．
３
２
例５：没０≤ｘ≤ｌ，ｐ＞ｌ，证明不等式』≤ｘ９＋（１一ｘ）９≤１．９ｐ－Ｉ
证明：设Ｆ（ｘ）＝ｘ”＋（１一ｘ）”，贝０
Ｆ，（ｘ）＝ｐｘＰ－＇＋ｐ（Ｉ－ｘ）”１（一１）：ｐ［ｘＰ－Ｉ（１－ｘ）”。］
Ｆ”（ｘ）：ｐ（ｐ一１）ｘ９－２＋ｐ（ｐ一１）（１一ｘ）９。令Ｆ’（ｘ）＝０，得ｘ＝ｉ１；Ｎｐ＞ｌ，所以有
设ｇ（ｘ）＝ｓｉｎｘ—ｘ＋≥，则ｇ７（ｘ）＝ＣＯＳＸ－－１＋÷，ｇ，，（ｘ）＝ｘ—ｓｉｎｘ而
Ｏ
Ｚ
当ｘ＞０有ｇ『，（ｘ）－－－－Ｘ—ｓｉｎｘ＞Ｏ，故有ｇ’（ｘ）＞０，即ｇ（ｘ）在（０，十＊）上单
凋上５１．又ｇ（ｏ）＝ｏ，所以ｘ＞ｓｉｎｘ＞ｘ一≥．
例２：证明不等式ｘ一三＜ｌｎ（１十ｘ）（ｘ＞０）．
２
Ｆ『，（÷）＋ｐ（ｐ－１）［（｛）“＋（÷）Ｐ．２］＞ｏ．
故Ｆ（ｘ）红［ｏ，１］上最大值是ｌ，最小值是土，ｌｉｌＪ，ｆｆ
２”‘
１≤Ｘｐ＋（１＋ｘ）”≤１．
证明：设ｆ（ｘ）＝ｘ一矣一ｌｎ（１＋ｘ）
，
２１’’
４．利用函数的凹凸性证明不等式
２
・．・ｆ，（ｘ）：ｌ—ｘ一１：－－Ｘ＜０
Ｊ＋ｘ
ｌ＋ｘ
例６：证明ｘｌｎｘ＋ｙｌｎｙ＞（ｘ＋ｙ）ｌｎ掣，（ｘ＞ｏ，ｙ＞ｏ）．
证明：设ｆ（ｘ）＝ｘｌｎｘ，则对Ｔｘ＞Ｏ图形足凹的，于是对任意两点ｘ＿币ｌｌｙ。得
．・．ｆ（ｘ）在（０，＋＊）上单调下降义＋．’ｆ（Ｏ）＝Ｏ
．・．当ｘ＞ｏ时，有ｆ（ｘ）＝ｘ一｛＿一ｌｎ（１＋ｘ）＜ｏ，
ｘｌｎｘ＋ｙｌｎｙ＞（ｘ＋ｙ）ｌｎ半．
５．利用函数极限证明不等式例７：证明：当ｘ充分大时，ｘ１０ｅｘ＜ｅ２ｘ．
ｉｏ
一
‘
即ｘ一：＜Ｉｎ（１＋ｘ）
２．利用微分中值定理证明不等式例３：ｉ＿【Ｉ三明当ｘ＞ｏＲ寸，』Ｌ＜ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ．
１＋ｘ
＜ｅｎ．
证明：因为ｌｉｍ三三：０，所以。充分大后，有
Ｉ＂‘‘
ｅ
０
＜
凹
Ｘｅ
证明：设ｆ（ｔ）＝Ｉｎｔ，当ｘ＞０时，ｆ（ｔ）在［１，ｌ＋ｘ］上满足拉格朗１３
中值定理条ｆ，Ｉ：．
．・．ｊ∈∈［１，１＋ｘ］，使土等＝ｉ｝，１＜《＜ｌ＋ｘ
【ｌ＋ｘ）一ｌ
ｔ
Ｎ８：设ｆ（ｘ）＝ａｌｓｉｎｘ＋ａ２ｓｉｎ２ｘ＋…＋ａ。ｓｉｎｎｘ，Ｊ｛：Ｊ３．１ｆ（ｘ）ｌ≤Ｉｓｉｎｘｌ，ａ１，ａ２，…，ａ。为实常数，求证：ｌａｌ＋２ａ２＋…＋ｎａ。Ｉ≤１．
证明：‘．。Ｉｆ（ｘ）Ｉ≤ＩｓｉｎｘＩ
・．・Ｉｎ（１＋ｘ）一１ｎｌ：ｌｎ（１＋ｘ），．１＜！＜１
．・．Ｌ＜ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ
１＋ｘ
．‘＿｜竿Ｈ半忙咄ｕ＝Ｉａ．半鹄＿ｓｉｎ２ｘ…ａ。＿ｓｉｎｎｘＨ塑Ｘ
Ｘ
ｘ
ｘ
例４：设ａ＞ｅ，０＜ｘ＜ｖ＜丌，求让ａｙ＿ｆｆ＞（ｃｏｓｘ－ｃｏｓｙ）ａ。Ｊｎａ
。
２Ｉａｌ——＋ａ２——＋…＋ａ。——ｌ≤ｌ——ｌ
２
上式两边令ｘ—ｏ，由重要极限Ｉｉ。８堕：１
证明：设ｆ（ｔ）＝ａ‘，ｇ（ｔ）＝ＣＯｓｔ．
ａｌｓｉｎｘ一＋ａ２ｓｉｎ２ｘ＋＇－＋ａ
ｓｉｎｎｘ
万方数据
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中学数学教学中“数形结合＂思想的运用及实施
谈家国
（江都市丁沟中学，江苏江都２２５２３５）
数形结合是根据数量与图形之间的对应关系。通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想。通过“以形助数．以数解形”。使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它从形的直观和数的严谨丽方面思考问题，拓宽了解题思路。是数学规律性与灵活性的有机结合。下面我从几个方面谈一下“以形辅数”在解题中的应用。
一、方程、不等式问题
构建函数模型并结合图像。研究方程根的范围、不等式的解集、参数范围。
【典例１】若方程ｌｇ（一ｘ‘＋３ｘ—ｍ）＝ｌｇ（３一ｘ）在ｘ∈（０，３）内有唯
一解．求实数ｍ的取值取范同．
【典例３】已知函数ｆ（ｘ）＝１０＆（ｘ＋
１），若ｏ＜ａ＜ｂ＜ｃ，则堕，掣，
ａ
Ｄ
！盟的大小关系是
Ｃ
解：作出ｆ（；）的图像，盟，堕，里堕可看作函数图像
ａ
ｂ
Ｃ
上的点（ａ，ｆ（ａ））（ｂ，ｆ（ｂ））（Ｃ，ｆ（ｃ））与原点连线的斜率，易知ｆ（ｃ），ｆ（ｂ），ｆ（ａ）——‘、——。。、——．
Ｃ
ｂ
ａ
ｔｌ‘
—＿
解：原方程即为Ｉ［一３－ｘ２ｘ＋＞３０ｘ—ｍ：３一ｘ即
误点警示：抓住所比较式子的几何意义，充分利用图像直观性。
三、立体几何问题
●
寺圳＿
ｉ≥ｊ
‘】
ｆ３一ｘ＞０
【（ｘ—２）‘＝１一ｍ
设曲线ｙ，＝（ｘ一２）‘，ｘ∈（０，３）和直线Ｙ１－１一ｍ．
构成的图像如左图所示，由图可
构建立体几何模型，研究代数问题，研究图形的形状、位置关系、性质等。
【典例４】若三棱锥Ａ—ＢＣＤ侧面ＡＢＣＰｑ一动点Ｐ到底面ＢＣＤ的距离与到棱ＡＢ的距离相等，则动点Ｐ的轨迹与ＡＡＢＣ组成的图形可能是（）
０
知：①当１－ｍ－－０Ｈ，寸有唯一解．ｍ＝ｌ
ｏ
②当１≤１－ｍ＜４时有唯一解，ＩｌＰ－３＜ｍ≤０．．．．ｍ＝ｌ或一３＜ｍ≤Ｏ．
误点警示：注意函数定义域的限制。
二、函数问题
构造函数模型研究量与量之间的大小关系。函数的单调性。１．最值、值域问题
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
【典例２】求函数ｕ＝、／２ｔ“＋、／６一ｔ的最值．
分析：由于等号右端根号内ｔ同为一次，故作简单换元
分析：此题将立体几何与解析几何巧妙结合，是对过去分离考核的创新．可先考虑特殊图形，当ＡＣＪ．平面ＢＣＤ时，如图１，将问题转化为Ｐ至Ｉ｜ＡＢ的距离和ＢＣ距离相等的点的轨迹，显然Ｐ点轨迹是／＿ＡＢＣ的平分线．
Ａ
、／２ｔ“＝ｍ。无法转化为一元二次函数求最值。若对式子平方
处理，将会把问题复杂化。因此该题用常规解法显得比较困难。考虑到式中有两个根号。故可采用两步换元．
Ｃ
解：设ｘ－、历丽，ｙ＝、／石，贝ｌＪｕ－－－ｘ＋ｙ．
且ｘ２＋２ｙ２：１６（０≤ｘ≤４，ｏ≤ｙ＜．２ｘ／Ｔ），
所给函数化为以ｕ为参数的直线方Ｂｙ＝一Ｘ＋Ｕ．
它与椭圆ｘ２＋２ｙ２＝１６在第一象限部分（包括端点）有公共点．（如图）Ｕｍｌａ＝２、／乏一，相切于第一象限时，ｕ取最大值．
图１
Ｄ
Ｂ
图２
Ｊ
当ＡＣ不垂直平面ＢＣＤ时。如图２的Ｐ到平面ＤＢＣ和边ＢＣ的
距离分别为ｈ，ｄ眦，设Ａ—Ｂｃ—Ｄ的大小为ｏ，竽＝｛＝８ｉｎｏ≤１，
ｎ阢Ｑ阢
故选Ｄ．
误点警示：解决此类问题，关键要善于利用空间几何性
质，将问题转化到平面几何中，再利用平面几何的相关性质就比较容易解决。
四、解析几何问题
由Ｊ丐吨：ｕ得３ｘ２＿４ｕｘ＋２ｕ２—１６：０．
ｔｘ＋２ｙ＝１６
解Ａ－－－０＇得－ｕ＝±２ｘ／６，ｌＢｔ．ｕ＝２、／６．．．．Ｕｍｘ－－２、／６．
误点警示：该题为用常规法较难求的题．但运用数形结合，构造直线ｙ＝一Ｘ＋Ｕ。求Ｕ的最值，即求直线在Ｙ轴上的截距的最值，再利用数的严谨，灵活地解决了问题。
２．单调性问题
得Ｉａｌ＋２ａ２＋…＋ｎａ。ｌ≤１
灵活运用解析几何中的图像性质与方程、不等式间的数形转化。
解［Ｍ］．山东：山东科学技术出版社，２００１．０８．
［２］赵振威主编．中学数学教材教法［Ｍ］．上海：华东师范
大学出版社，２０００．０１．
参考文献：
［１］费定晖，周学圣编译．吉米多维奇数学分析习题集题６６
万方数据
［３］刘玉琏，傅沛仁编．数学分析讲义［Ｍ］．北京：高等教育
出版社．１９９７．１２．
用微积分证明不等式的技巧和方法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
罗世尧
乐山师范学院,数学与信息科学学院,四川,乐山,614000考试周刊
KAOSHI ZHOUKAN2011(31)
参考文献(3条)
1. 刘玉琏;傅沛仁 数学分析讲义 19972. 赵振威 中学数学教材教法 2000
3. 费定晖;周学圣 吉米多维奇数学分析习题集题解 2001
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_kszk201131055.aspx