求逆矩阵的方法
求逆矩阵的方法与矩阵的秩
一、矩阵的初等行变换
(由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法,要求计算矩阵A的行列式A值和它的伴随矩阵A*.当A的阶数较高时,它的计算量是很大的,因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前,先给出矩阵初等行变换的定义.)
定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换: (1) 将矩阵中某两行对换位置; (2) 将某一行遍乘一个非零常数k;
(3) 将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至另一行. 并称(1)为对换变换,称(2)为倍乘变换,称(3)为倍加变换. 矩阵A经过初等行变换后变为B,用
A→B
表示,并称矩阵B与A是等价的.
(下面我们把)第i行和第j行的对换变换,简记为“
”;把第i行遍
乘k
k”;第j行的k倍加至第i k”. ⎡a1a2a3⎤⎡b1b2b3⎤
⎥①,② ⎢a1a2a3⎥ j 例如,矩阵 A = ⎢b1b2 ⎢⎢⎥⎢⎢⎣c1c2c3⎥⎦⎣c1c2c3⎥⎦
⎡a1a2a3⎤⎡a1a2a3⎤
⎢b1b2⎥③k ⎢b1b2b3⎥
⎢⎢⎥⎢⎢⎣c1c2c3⎥⎦⎣kc1kc2kc3⎥⎦
a2a3⎤⎡a1a2a3⎤⎡a1
+①k ⎢bbb⎥ ②
⎢b1+ka1b2+ka2b3+ka3⎥ 123⎢⎥⎢⎥
c2c3⎥⎢⎢⎣c1c2c3⎥⎦⎣c1⎦
(关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材)
二、运用初等行变换求逆矩阵
由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知,对于任意一个n阶可逆矩阵A,经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I,那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I上,就可以把I化成A-1.因此,我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法:在矩阵A的右边写上一个同阶的单位矩阵I,构成一个n⨯2n矩阵 ( A , I ),用初等行变换将左半部分的A化成单位矩阵I,与此同时,右半部分的I就被化成了A-1.即
( A , I )−−−−→( I , A-1 )
初等行变换
⎡1-1
例1 设矩阵 A = ⎢11
⎢⎢⎣2-3
求逆矩阵A-1 . 解 因为
⎡1-111
[A , I ] =⎢1130
⎢⎢⎣2-320
1⎤
3⎥ ⎥2⎥⎦
00⎤
②+①(-1) ⎥10 ③ + ① ( -2) ⎥01⎥⎦⎡1-11100⎤
⎢022-110⎥ ⎢⎥⎢⎣0-10-201⎥⎦
⎡⎤
⎢1-11100⎥①+③(-1)
②(1/2)
⎢11⎥②+③(-1)
③ + ② ⎢011-0⎥ 22⎥⎢
⎢001-511⎥⎢⎥22⎦⎣
111⎡⎤ 100--2⎢⎥22 ①+②
0-1⎥ ⎢0102
⎢⎥51001-1⎢⎥
22⎣⎦1⎡11⎤--2⎢2⎥2-1
0-1⎥ 所以 A= ⎢2
⎢51⎥
1⎥⎢-
⎣22⎦
7⎡
1-10⎢2⎢0102⎢5001-⎢
2⎣
-
1
2012
⎤-1⎥-1⎥ ⎥1⎥⎦
所求逆矩阵A-1是否正确,可以通过计算乘积矩阵AA-1进行验证.如果AA-1=I成立,则A-1正确,否则不正确.
对给定的n阶矩阵A,用上述方法也可以判断A是否可逆.即在对矩阵[ A , I ] 进行初等行变换的过程中,如果[ A , I ]中的左边的方阵出现零行,说明矩阵A是奇异的,即=0,可以判定A不可逆;如果[ A , I ]中的左边的方阵被化成了单位阵I,说明A是非奇异的,可以判定A是可逆的,而且这个单位矩阵I右边的方阵就是A的逆矩阵A-1,它是由单位矩阵I经过同样的初等行变换得到的.
⎡-2-16⎤
05⎥,问A是否可逆? 例2 设矩阵 A = ⎢4⎢⎥⎢⎣-6-11⎥⎦ 解 因为
6100⎤⎡-2-1⎡-2-16100⎤
05010⎥→⎢0-217210⎥ [ A , I ] =⎢4⎢⎥⎢⎥
2-17-301⎥⎢⎢⎣0⎦⎣-6-11001⎥⎦
⎡-2-16100⎤
→⎢0-217210⎥
⎢⎥
00-111⎥⎢⎣0⎦
[ A , I ]中的左边的矩阵A经过初等行变换后出现零行,所以矩阵A是奇异的,A不可逆.
(下面利用矩阵求逆运算求解矩阵方程.)
⎡1-12⎤⎡1-1⎤
例3 解矩阵方程AX = B,其中 A =⎢2-35⎥,B =⎢-23⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣3-24⎥⎦⎣5-4⎥⎦
解 [思路] 如果矩阵A可逆,则在矩阵方程AX = B等号的两边同时左乘A-1,
可得
A-1AX = A-1B, X = A-1B
因此,先用初等行变换法判别A是否可逆,若可逆,则求出A-1,然后计算A-1B,求出X .
100⎤⎡1-12100⎤⎡1-12
因为 [ A , I ] = ⎢2-35010⎥→⎢0-11-210⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣3-24001⎥⎦⎣01-2-301⎥⎦
⎡1
→⎢0
⎢⎢⎣0⎡1
→⎢0
⎢⎢⎣0
-10⎤0-201⎤⎡10
-11-210⎥→⎢0-10-721⎥
⎥⎢⎥
0-1-511⎥⎢⎦⎣00-1-511⎥⎦00-201⎤107-2-1⎥
⎥
015-1-1⎥⎦0
1
3
1⎤⎡-20
所以 A可逆,且 A-1=⎢7-2-1⎥
⎢⎥⎢⎣5-1-1⎥⎦
1⎤⎡1-1⎤⎡3-2⎤⎡-20
X = A-1B = ⎢7-2-1⎥⎢-23⎥=⎢6-9⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣5-1-1⎥⎦⎢⎣5-4⎥⎦⎢⎣2-4⎥⎦
三、矩阵的秩
前面给出了利用矩阵行列式A判别方阵A是否可逆的方法,除了这种方法外,
还可以利用矩阵A的特征之一——矩阵的秩来判别方阵A的可逆性.
矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念,它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系,而且在讨论线性方程组的解的情况中也有重要应用. 在给出矩阵的秩的概念之前,先要定义矩阵的子式.
定义2.15 在矩阵A中,位于任意选定的k行、k列交叉点上的k2个元素,按原来次序组成的k阶子阵的行列式,称为A的一个k阶子式.如果子式的值不为
零.就称为非零子式.
⎡3211⎤
例4 设矩阵 A=⎢12-32⎥
⎢⎥⎢⎣44-23⎥⎦
取其第一、二行与第二、四列交叉点上的4个元素按原次序组成行列式
21
=2
22
称为A的一个二阶子式,而且是它的非零子式.
定义2.16 矩阵A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩,记作r(A)或秩(A ) . 规定:零矩阵O的秩为零,即r(O)= 0.
例4中的矩阵已经有一个二阶非零子式,通过计算可知,矩阵A的所有三阶子式均为零,(该矩阵没有四阶子式),所以 r(A)= 2 .
例5 设A为n阶非奇异矩阵,求r(A).
解 由于A为非奇异矩阵,即A对应的行列式A≠0,所以A有n阶非零子式,故 r(A)= n .
例5的逆命题亦成立,即对一个n阶方阵A,若r(A)= n,则A必为非奇异的. 因此n阶方阵A为非奇异的等价于r(A)= n. 称r(A)= n的n阶方阵为满秩矩阵.
用定义求矩阵的秩,需要计算它的子式,计算量常常是较大的.利用教材中的定理2.10计算矩阵的秩是比较方便的.
定理2.10 设A为m⨯n矩阵,则r(A)= k的充分必要条件为:通过初等行变换能将A化为具有k个非零行的阶梯阵.
例如,阶梯阵
⎡26-135⎤⎡-135⎤A =⎢00401⎥, B =⎢04-1⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣00000⎥⎦⎣002⎥⎦因为A的非零行有二行,而B 的非零行有三行,所以A的秩等于2,B 的秩等于
3,即r(A)= 2,r(B)= 3.
那么一个矩阵经过初等行变换化成阶梯阵后,它的秩是否会发生变化呢?不会的.教材中的定理2.9已经说明这一点.
定理2.9 矩阵经过初等行变换后,其秩不变. (证明见教材)
定理2.10给了我们求矩阵的秩的一种简便方法,即利用初等行变换将一个矩阵A化成阶梯阵,然后算出矩阵A的秩.
例6 设矩阵
40⎤⎡-11
⎢3-25-3⎥
⎡2052⎤⎥ A =⎢, B =⎢⎥0-64⎥⎢2⎣-2410⎦
⎢⎥
112⎦⎣0
求r(A),r(B),r(AB).
⎡2052⎤②+①⎡2052⎤
解 因为 A = ⎢ −−−→⎢⎥⎥
⎣-2410⎦⎣0462⎦
所以 r(A)= 2
40⎤⎡-11⎡-1140⎤
⎢3-25-3⎥②+①3⎢0117-3⎥
+①2
⎥−③⎥ 因为 B =⎢−−→⎢
0-64⎥⎢2⎢0224⎥⎢⎥⎢⎥
112⎦⎣0⎣0112⎦40⎤40⎤⎡-11⎡-11
③+②(-2)⎢0117-3⎥④+③(-1)⎢0117-3⎥④+②(-1)2⎥−−−−⎥ −−−−→⎢→⎢
⎢00-3210⎥⎢00-3210⎥⎢⎥⎢⎥
00⎦⎣00-165⎦⎣00
所以 r(B)= 3
40⎤⎡-11
⎢⎥4-2024⎤⎡2052⎤⎢3-25-3⎥⎡8
因为 AB = ⎢= ⎥⎢⎥-8⎦0-64⎥⎣16-106⎣-2410⎦⎢2
⎢⎥0112⎣⎦
4-2024⎤②+①(-2)⎡84-2024⎤⎡8
AB =⎢−→⎢⎥−−−⎥ 16-106-80-1846-56⎣⎦⎣⎦ 所以 r(AB)= 2
由例6可知,乘积矩阵AB的秩不大于两个相乘的矩阵A , B的秩,即 r(AB)≤ min{r(A),r(B)}.
⎡03001⎤⎢306-11⎥
⎥ 例7 设矩阵 A =⎢
⎢2-24-20⎥⎢⎥⎣1-1210⎦
求r(A)和r(A').
⎡03001⎤⎡1-1210⎤⎢306-11⎥⎢306-11⎥
(①,④)
⎥−−−→⎢⎥ 解 因为 A =⎢
⎢2-24-20⎥⎢2-24-20⎥⎢⎥⎢⎥1-121003001⎣⎦⎣⎦⎡1-1210⎤⎡1-1210⎤
②+①(-3)⎢030-41⎥②+③(-1)⎢03001⎥③+①(-2)+②(-1)⎥−④⎥ −−−→⎢ −−−−→⎢
⎢000-40⎥⎢000-40⎥⎢⎥⎢⎥0300100000⎣⎦⎣⎦
所以 r(A)=3 同理可得 r(A')=3
由例7可知,矩阵A与它的转置矩阵A'的秩相等. 可以证明例6,例7的结论具有一般性.
定理2.11 设A为m⨯n矩阵,则 (1) 0≤r(A)≤min{m,n}; (2) r(A) = r(AT)