极坐标换元积分
04-06
按照二重积分的定义有
n
⎰⎰f (x , y ) d σ=lim ∑f (ξi , ηi ) ∆σi
D λ→0i =1
现研究这一和式极限在极坐标中的形式.
用以极点0为中心的一族同心圆 r =常数以及从极点出发的一族射线
θ=常数, 将D 剖分成个小闭区域.
除了包含边界点的一些小闭区域外, 小闭区域∆σ的面积可如下计算 i
∆σi =
=12r i +(r i +∆r i ) (r i +∆r i ) ∆θi -212r i ∆θi =212(2r i +∆r i ) ∆r i ∆θi
其中, r i 2表示相邻两圆弧半径的平均值. ∆r i ∆θi =r i ∆r i ∆θi
(数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计)
在小区域∆σ上取点(r i , θ) , 设该点直角坐标为(ξ, η) , 据直角坐标i i i i
与极坐标的关系有
ξi =r i cos θi
于是
n , ηi =r i sin θi n
λ→0i =1lim ∑f (ξi , ηi ) ∆σi =lim ∑f (r i cos θi , r i sin θi ) ⋅r i ∆r i ∆θi λ→0i =1
即
⎰⎰f (x , y ) d σ=⎰⎰f (r cos θ, r sin θ) rdrd θ
D D
由于⎰⎰f (x , y ) d σ也常记作⎰⎰f (x , y ) dxdy , 因此, 上述变换公式也可以写
D D
成更富有启发性的形式