1-7两个重要极限练习题

1-7 两个重要极限练习题

教学过程： 引入：考察极限lim

sinxx

x0

问题1：观察当x0时函数的变化趋势：

sinxx

sinx



当x取正值趋近于0时，

1，即lim

x0

x

=1；

当x取负值趋近于0时，-x0, -x>0, sin(-x)>0．于是

(x)

limsinxlimsin．

x0



x

x0



(x)

综上所述，得

一．lim

x0

sinxx

x0

1．

lim

sinxx

1的特点： 00

00

(1)它是“”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是； (2)在分式中同时出现三角函数和x的幂．

推广 如果lim(x)=0,(a可以是有限数x0, 或)，

xa

则 lixa

sinx

x

=limsinx=1．

x0

x

例1 求lim

tanxx

．

sinx

x0

解 lim

tanxx

x0

sinx

=limcosxlim

x0

1cosx

x

x0

x

lim

sinxx

x0

lim

1cosx

x0

111．

例2 求lim 解 lim

sin3xx

．

3sin3x3x

(令3xt)3lim

sintt

3．

x0

sin3xx

x0

=lim

x0t0

例3 求lim

1cosxx

2

．

2

x0

解 lim

1cosxx

2

x0

=lim

2sinx

x2lim

x0

sin

2

x

x0

2

2lim1

x02x2

2()2

sinx2

x2

sin

x

21． x22

例4 求lim

arcsinx

x

．

x0

解 令arcsinx=t，则x=sint且x0时t0． 所以lim

arcsinx

x

x0

x0

=lim

tsint

t0

1．

例5 求lim

tanxsinx

x

3

．

sinx

sinxx

3

解 lim

tanxsinx

x

3

x0

=limcosx

x0

sinxlim1

x0

1cosxcosxx

3

12

=lim

sinxx

x0

lim

x0

cosx

lim

1cosxx

2

x0



．

考察极限lim(1

x

1x

)e

x

1x

问题2：观察当x+时函数的变化趋势：

1x

x

)的值

当x取正值并无限增大时，(1x

)是逐渐增大的，但是不论x如何大，(1

总不会超过3．实际上如果继续增大x．即当x+时，可以验证(1定的无理数e＝2.718281828...． 当x-时，函数(1

1x

1x

x

)是趋近于一个确

x

)有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e．

综上所述，得

二．lim(1

x

x

1x

)

x

=e．

lim(1

1x

)

x

=e的特点：

（１）lim(1+无穷小)无穷大案 ；

（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．

xa

推广 （１）若lim(x)= ,(a可以是有限数x0, 或)，则 lim(1

xa

1

(x)

)

(x)

lim

x



1

1

(x)

(x)=e；

（２）若lim(x)=0,(a可以是有限数x0, 或)，则

xa

lim

变形 令

1x

xa

1x(x)

1

lim

x0

1x(x)=e．

1

t0

1

=t，则x时t0，代入后得到 lim1tte ．

如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1，因此通常称之为1不定型．

例6 求lim(1

x

2x

x

)．

解 令－

2x

=t，则x=－

2t

．

当x时t0， 于是 lim(1

x

2x

)=lim(1t)

x



2t

1

t0

[lim(1t)t]

t0

2

=e –2．

例7 求lim(

x

3x2x

x

)．

解 令

3x2x

=1+u，则x=2－

1u

．

当x时u0， 于是 lim(

x

3x2x

)=lim(1u)

x

2

1u

u0

lim[(1u)

u0



1u

(1u)]

2

=[lim(1u)]1[lim(1u)2]=e -1．

u

u0

u0

1

例8 求lim(1tanx)cotx．

x0

解 设t=tanx，则当x0时t0，

1

＝cotx． t

1

于是 lim(1taxn)

x0

coxt

=lim(1t)t=e．

t0

小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。 作业：见首页

§2-1 导数的概念

教学过程： 引入：

一、两个实例

实例1 瞬时速度

考察质点的自由落体运动．真空中，质点在时刻t=0到时刻t这一时间段内下落的路程s由公式s=gt来确定．现在来求t=1秒这一时刻质点的速度．

21

2

当t很小时，从1秒到1+t秒这段时间内，质点运动的速度变化不大，可以这段时间内的平均速度作为质点在t=1时速度的近似．

上表看出，平均速度9.8m/s．考察下列各式：

st

st

随着t变化而变化，当t越小时，越接近于一个定值—

s=g(1+t)2－g12=

2

2

1112

g[2t+(t)2]，

st

=

12

g

2t(t)

t

2

=

st

12

g(2+t)，

思考： 当t越来越接近于0时，限，得 lim

st

0

越来越接近于1秒时的“速度”．现在取t0的极

lim

12

0

g2tg=9.8(m/s)．

为质点在t=1秒时速度为瞬时速度．

一般地，设质点的位移规律是s=f(t)，在时刻t时时间有改变量t，s相应的改变量为s=f(t+t)-f(t)，在时间段t到t+t内的平均速度为

=

stst

fttft

t

，

对平均速度取t0的极限，得 v(t)=lim

t0

lim

fttft

t

，

t0

称v(t)为时刻t的瞬时速。

研究类似的例子 实例2 曲线的切线

设方程为y=f(x)曲线为L．其上一点A的坐标为(x0,f(x0))．在曲线上点A附近另取一点B，它的坐标是(x0+x, f(x0+x))．直线AB是曲线的割线，它的倾斜角记作．由图中的

RtACB，可知割线AB的斜率

fx0xfx0tan=CBy．

AC

xx

在数量上，它表示当自变量从x变到x+x时函数f(x)

关于变量x的平均变化率(增长率或减小率)．

现在让点B沿着曲线L趋向于点A，此时x0， 过点A的割线AB如果也能趋向于一个极限位置—— 直线AT，我们就称L在点A处存在切线AT．记AT 的倾斜角为，则为的极限，若90，得切线AT 的斜率为

tan=lim tan=lim

x0

f(x0+

f(x．

yx

x0

lim

f(x0x)f(x0)

x0

x

在数量上，它表示函数f(x)在x处的变化率．

上述两个实例，虽然表达问题的函数形式y=f(x)和自变量x具体内容不同，但本质都是

要求函数y关于自变量x在某一点x处的变化率．

1. 自变量x作微小变化x，求出函数在自变量这个段内的平均变化率=x处变化率的近似；

2. 对求x0的极限lim二、导数的定义

yx

yx

，作为点

，若它存在，这个极限即为点x处变化率的的精确值．

x0

1. 函数在一点处可导的概念

定义 设函数y=f(x)在x0的某个邻域内有定义．对应于自变量x在x0处有改变量x，函数y=f(x)相应的改变量为y=f(x0+x)-f(x0)，若这两个改变量的比

yx



fx0xfx0

x

当x0时存在极限，我们就称函数y=f(x)在点x0处可导，并把这一极限称为函数y=f(x)在点x0处的导数(或变化率)，记作y|xx或f(x0)或

dydx

xx0

或

df(x)dx

xx0

．即

y|xx=f(x0)=lim

yx

x0

lim

f(x0x)f(x0)

x0

x

(2-1)

比值

yx

表示函数y=f(x)在x0到x0+x之间的平均变化率，导数y|xx则表示了函数

在点x0处的变化率，它反映了函数y=f(x)在点x0处的变化的快慢． 如果当x0时

yx

的极限不存在，我们就称函数y=f(x)在点x0处不可导或导数不存在．

在定义中，若设x=x0+x，则(2-1)可写成 f(x0)=lim

fxfx0xx0

(2-2)

xx0

根据导数的定义，求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤如下： 第一步 求函数的改变量y=f(x0+x)-f(x0)； 第二步 求比值

yx



f(x0x)f(x0)

x

；

第三步 求极限f(x0)=lim

yx

．

x0

例1 求y=f(x)=x2在点x=2处的导数．

解 y=f(2+x)-f(2)=(2+x)2-22=4x+(x)2；

yx



4xx

2

x

=4+x； lim

yx

x0

=lim(4+x)=4．

x0

所以y|x=2=4． 当lim

fx0xfx0



x0

x

x0



存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点x0处的左导数，记作

存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点x0处的右导数，

f(x0)；当lim

fx0xfx0

x

记作f(x0)．

据极限与左、右极限之间的关系

f(x0)  存在f(x0),f(x0)，且f(x0)=f(x0)= f(x0)． 2. 导函数的概念

如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处都可导，就称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导．这时，对开区间(a,b)内每一个确定的值x0都有对应着一个确定的导数f(x0)，这样就在开区间(a,b)内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为f(x)的导函数，记作等f(x)或y等．

根据导数定义，就可得出导函数 f(x)=y=lim

yx

x0

lim

fxxfx

x0

x

(2-3)

导函数也简称为导数．

注意 （１）f(x)是x的函数，而f(x0)是一个数值

（２）f(x)在点处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点x0处的函数值．

例2 求y=C (C为常数)的导数． 解 因为y=C-C=0，

yx



x

=0，所以y=lim

yx

=0．

x0

即 (C)=0常数的导数恒等于零）． 例3 求y=xn(nN, xR)的导数．

2

解 因为y=(x+x)n-xn=nxn-1x+Cnxn-2(x)2+...+(x)n，

yx

2n-2

= nxn-1 +Cnxx+...+(x)n-1，

从而有 y=lim

yx

x0

2

=lim[ nxn-1 +Cnxn-2x+...+(x)n-1]= nxn-1．

x0

即 (xn)=nxn-1．

可以证明，一般的幂函数y=x, (R, x>0)的导数为

(x)= x-1． 例如 (x)=(x)=x

21



1

1

2

12x

；(

1x

2

)=(x-1)=-x-2=-

1x

2

．

例4 求y=sinx, (xR)的导数．

解

yx

=

sin(xx)sinx

x

y

，在§1-7中已经求得

lim

x0

x

=cosx，

即 (sinx)=cosx．

用类似的方法可以求得y=cosx, (xR)的导数为 (cosx)=-sinx．

例5 求y=logax的导数(a>0, a1, x>0)．

解 对a=e、y=lnx的情况，在§1-7中已经求得为 (lnx)=

1x

．

lnxlna

对一般的a，只要先用换底公式得y=logax= (logax)=

1xlna

，以下与§1-7完全相同推导，可得

．

三、导数的几何意义

方程为y=f(x)的曲线，在点A(x0,f(x0))处存在非垂直切线AT的充分必要条件是f(x)在x0存在导数f(x0)，且AT的斜率k=f(x0)．

导数的几何意义——函数y=f(x)在x0处的导数f(x0)，是函数图象在点(x0,f(x0))处切线的斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为

y-f(x0)=f(x0)(x-x0) (2-4) 过切点A (x0,f(x0))且垂直于切线的直线，称为曲线y=f(x)在点A (x0,f(x0))处的法线，则当切线非水平(即f(x0)0)时的法线方程为 y-f(x0)=- 例6 求曲线y=sinx在点(

解 （sinx）

=cosx



6



6

1f(x0)

(x-x0) (2-5)

,=

12

)处的切线和法线方程．

3

x



6

x

． =

32

212

所求的切线和法线方程为 y－法线方程 y－

12

(x－



6



6

)，

=－

233

(x－)．

例7 求曲线y=lnx平行于直线y=2x的切线方程．

解 设切点为A(x0, y0)，则曲线在点A处的切线的斜率为y(x0)， y(x0)=(lnx)

xx0

=

1x0

，

1x0

因为切线平行于直线y=2x，，所以故所求的切线方程为 y+ln2=2(x-12

=2，即x0=

12

；又切点位于曲线上，因而y0=ln

12

=-ln2．

)，即y=2x-1-ln2．

四、可导和连续的关系

如果函数y=f(x)在点x0处可导，则存在极限

lim

yx

x0

=f(x0)，则

yx

=f(x0)+ (lim=0)，或y= f(x0) x+x (lim=0)，

x0

x0

所以 limy=lim[f(x0) x+x]=0．

x0

x0

这表明函数y=f(x)在点x0处连续．

但y=f(x)在点x0处连续，在x0处不一定是可导的． 例如：（１）y=|x|在x=0处都连续但却不可导．

|

（２）y=3x在x=0处都连续但却不可导．注意在点(0,0)处还存在切线，只是切线是垂直的．

学生思考：

x2,x0

设函数f(x)=，讨论函数f(x)在x=0处的连续性和可导性．

x1, x0

小结：明确导数就是函数相对于自变量的变化率。 作业：见首页

§4－2 换元积分法

教学过程

复习引入

1． 不定积分的概念； 2． 不定积分的基本公式和性质。 新课：一、第一类换元积分法

例如：cos2xdx，积分基本公式中只有：cosxdx=sinx+C．为了应用这个公式，可进行如下变换：

2x=u cos2xdxcos2x(2x)令2

12

1

1

u=2x回代1

　sinu+C 22

sin2x+C,

12

因为(

sin2x+C)=cos2x，所以cosxdx=

12

sin2x+C是正确的．

定理1 设f(u)具有原函数F(u)，(x)是连续函数，那么 f[(x)](x)dx=F[(x)]+C．

证明思路 因为F(u)是f(u)的一个原函数，所以F(u)=f(u)； 由复合函数的微分法得：

d F[(x)]=F(u)(x)dx=f[(x)](x)dx， 所以 f[(x)](x)dx=F[(x)]+C．

基本思想：作变量代换u=(x), (d(x)= (x)dx)，变原积分为f(u)du，利用已知f(u)的原函数是F(u)得到积分，称为第一类换元积分法．

例1 求(axb)10dx, (a,b为常数)． 解 因为dx=

1a

10

d(ax+b)，所以

1a111a

(ax

b)dx

(ax

11101011令ax+b=ub)d(axb) udu＝u+C

11a

u=ax+b回代 (ax+b)11+C．

例2 求解 因为

1x

lnxx

．

dx=d(lnx)，所以

12

lnx=u udu 原式=lnxd(lnx)令

u=lnx回代 (lnx)+C． u+C2

2

1

2

例3 求xexdx．

2

解 因为xdx=d(x)，所以

2

1

2

原式=

12

ed(x)x

2

2

令x2=u 1

2

edu=

u

12

u=x回代

eu+C2

12

e

x

2

+C．

例4 求



1

xax

22

2

．

解 因为xdx=d(x)=－d(a-x)，所以

2

2

1

22

原式=－

12



1a

2

x

2

d(a

2

2

x)令a2-x2=u

2



1du= －u+C

a2x2+C．

学生思考： 求

sinx1＋cos

2

a2-x2=u回代

x

．

第一类换元积分法计算的关键：把被积表达式凑成两部分，一部分为d(x)，另一部分为(x)的函数f[(x)]，且f(u)的原函数易于求得．因此，第一类换元积分法又形象化地被称为凑微分法． 常用微分式： dx=

1x

1a

d(ax)； xdx=d(x)；

2

1

2

dx=d(ln|x|)； 1dx=2d(x)；

x

2

1x

dx=－d(

1

1x

)；

11x

2

dx=d(arctanx)；

dx=d(arcsinx)； exdx=d(ex)；

2

x

sinxdx=－d(cosx)； cosxdx=d(sinx)； sec2xdx=d(tanx)； csc2xdx=-d(cotx)； secxtanxdx=d(secx)； cscxcotxdx=－d(cscx)．

例6 求

1x

2

cos(1x

1x

dx．

1x

C．

解 原式=cos 例7 求

1x

)sin

1ax

2

2

, (a>0)．

解 原式=



1

x

a(a)

2





xx

()arcsinC． x2aa(a)1

例8 求

1a

2

x

2

．

解 原式=

1a

2

1(

1

2

1

x)

2

dx

x1xd()arctan()C． x2

a1(aaa)1

1

例9 求解 原式=

a1

x

2

, (常数a0)．

1ax

)dx

12a

1ax

d(ax)

1ax

d(ax)]

2a1

(

1ax



[

=

2a

ln|

axax

|C．

例10 求tanxdx． 解 原式=

sinxcosx

dx

1cosx

(cosx)=－ln|cosx|+C．

类似可得：cotxdx=ln|sinx|+C．

例11 求secxdx． 解 原式=

1cosx

1



d(sinx)cos

2

x



1sin

12ln(

d(sinx)

2

x

，

利用例9的结论得

原式=ln|

2

1sinx1sinx

|C

1sinxcosx

2

)+C=ln|secx+tanx|+C．

类似可得：cscxdx=ln|cscx-cotx|+C．

学生思考：1 求sin2xdx．2 求sin3xdx 3 求cos3xcos2xdx

4 求

1lnxxlnx

教师讲评

小结 第一类换元积分法关键是凑微分，基本的凑微分方法要掌握。

作业 见首页

高等数学典型教案

淮安信息职业技术学院数学教研室