1抛物线(二次函数)中的等腰三角形

抛物线中的等腰三角形

基本题型：

已知AB ，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若∆ABP 为等腰三角形，求点P 坐标。

分两大类进行讨论：

（1）AB 为底时（即PA =PB ）：点P 在AB 的垂直平分线上。

利用中点公式求出AB 的中点M ；

利用两点的斜率公式求出k AB ，因为两直线垂直斜率乘积为-1，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ；

利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式；

将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。

（2）AB 为腰时，分两类讨论：

①以∠A 为顶角时（即AP =AB ）：点P 在以A 为圆心以②以∠B 为顶角时（即BP =BA ）：点P 在以B 为圆心以

为半径的圆上。 为半径的圆上。

所需知识点：

一、 两点之间距离公式：

已知两点P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)， 则由勾股定理可得：PQ =

x 1-x 2)

2

+(y 1-y 2)。

2

二、 中点公式：

已知两点P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)，则线段PQ 的中点M 为

⎛x 1+x 2y 1+y 2⎫

, ⎪。

2⎭⎝2

三、 任意两点的斜率公式：

已知两点P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)，则直线PQ 的斜率： k PQ =

y 1-y 2

。 x 1-x 2

典型例题：

例一（深圳）如图9，抛物线y =ax 2-8ax +12a (a

(2)求该抛物线的函数关系式． (3)在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由.

例二 如图，抛物线y =ax -5ax +4经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC =BC ．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）写出A ，B ，C 三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在△PAB 是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．

2

例三（龙岩）：已知：如图，抛物线y =ax 2+bx +c 经过A (1, 0) 、B (5, 0) 、C (0, 5) 三点． （1）求抛物线的函数关系式；

（2）若过点C 的直线y =kx +b 与抛物线相交于点E （4，m ），请求出△CBE 的面积S 的值； （3）在抛物线上是否还存在这样的点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P ；若不存在这样的点P ，请说明理由．

，，二次函数，2) ，点B 的坐标为(31)例四：如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1

y =x 2的图象记为抛物线l 1．

（1）平移抛物线l 1，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可）．

（2）平移抛物线l 1，使平移后的抛物线过A ，B 两点，记为抛物线l 2，如图②，求抛物线l 2的函数表达式．

（3）设抛物线l 2的顶点为C ，K 为y 轴上一点．若S △ABK =S △ABC ，求点K 的坐标． （4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线l 2上是否存在点P ，使△ABP 为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明由．

2

x x x

图① 图② 图③

同步训练：

1、（08年临沂市中考题）如图，已知抛物线与x 轴交于A (-1,0), B (3,0)两点，与y 轴交于点C (0,3)

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得∆PDC 是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。

2、如图，已知抛物线y =-

329

x +x +3与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 44

轴交于点C 。

（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求直线BC 的函数解析式；

（3）点P 是直线BC 上的动点，若△POB 为等腰三角形，请写出此时点P 的坐标。

3、在直角坐标系中，把点A （－1，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点A '，经过点A 、

A '的抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴的交点的纵坐标为2．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）设该抛物线的顶点为点P ，点B 的坐标为（1，m ) ，且m

4、（梅州市中考题）如图11所示，在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ， AD ⊥DB ，AD =DC =CB ，AB =4．以AB 所在直线为x 轴，过D 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系． （1）求∠DAB 的度数及A 、D 、C 三点的坐标；

（2）求过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴L ．

（3）若P 是抛物线的对称轴L 上的点，那么使∆PDB 为等腰三角形的点P 有几个? 坐标是多少？

x

图7

5、（2009年重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =2，OC =3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ． （1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为

6

，那么5

EF =2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

x

6、如图，已知抛物线y =-

224

x +x +2的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，33

抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． 点M 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于Q ．

（1）求点B 和点C 的坐标；

（2）设当点M 运动了x （秒）时，四边形OBPC 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．

（3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ 成为以BQ 为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．

7、（河南省）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）. 抛物线y=ax2+bx过A 、C 两点.

(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒. 过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E

①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G. 当t 为何值时，线段EG 最长?

②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值.

0) 和点E (0，4) ．动点C 从8（江苏省）、如图，已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点D (3，0) 出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动，与此同时，动点P 从点M (5，

点D 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动．设运动时间为t 秒．

（1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标； （2）以点C 为圆心、

1

t 个单位长度为半径的⊙C 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的2

左侧），连接P A 、PB ．

①当⊙C 与射线DE 有公共点时，求t 的取值范围； ②当△PAB 为等腰三角形时，求t 的值．

:9、如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC ，O 为原点，点A

，C 分别在x 轴，y 轴上，点B 坐标为(m （其中m >0），在BC 边上选取适当的点E 和点F ，将△O C E 沿

OE 翻折，得到△OGE ；再将△ABF 沿AF 翻折，恰好使点B 与点G 重合，得到△AGF ，

且∠OGA =90 ．

（1）求m 的值；

（2）求过点O ，G ，A 的抛物线的解析式和对称轴； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△OPG 是 ．．．等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出 ．．．．所有满足条件的点P 的坐标。

10、如图，在△OAB 中，∠B =90，∠BOA =30，OA =4，将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转至△OA 'B '，C 点的坐标为（0，4）． （1）求A '点的坐标；

（2）求过C ，A '，A 三点的抛物线y =ax +bx +c 的解析式；

（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P ，使以O ，A ，P 为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由

2

参考答案：

例二：解：（1）抛物线的对称轴x =-

（2）A (-3，0) B (5，4 ) C (0，4 )

-5a 5

= 2a 2

1

把点A 坐标代入y =ax -5ax +4中，解得a =-

6

15

∴y =-x 2+x +4

66

（3）存在符合条件的点P 共有3个．以下分三类情形探索． 设抛物线对称轴与x 轴交于N ，与CB 交于M ．

2

5 2

过点B 作BQ ⊥x 轴于Q ，易得BQ =4，AQ =8，AN =5.5，BM =① 以AB 为腰且顶角为角A 的△PAB 有1个：△PAB ． 1

∴AB 2=AQ 2+BQ 2=82+42=80

在

Rt △ANP 1

中

，

PN ==12

⎛5∴P -1 2，

⎝

⎭

② AB 为腰且顶角为角B 的△PAB 有1个：△P 2AB ．

在

Rt △BMP 2

中

，

MP 2===

⎛55

∴P 2 2 ⎝⎭

③以AB 为底，顶角为角P 的△PAB 有1个，即△P 3AB ．

△ABC 的顶点C ． 画AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于P 3，此时平分线必过等腰

K ，显然Rt △PCK 过点P ∽Rt △BAQ ．∴3作P 33K 垂直y 轴，垂足为

P 3K BQ 1

==． CK AQ 2

∴CK =5 于是OK =1 ∴P P 5-1) 3K =2.5 3(2. ，

例三：解：（1）∵抛物线经过点A (1,0) 、B (5, 0) ∴y =a (x -1)(x -5) ． 又∵抛物线经过点C (0, 5) ∴5a =5，a =1．

∴抛物线的解析式为y =(x -1)(x -5) =x 2-6x +5．

（2）∵E 点在抛物线上， ∴m = 42–4×6+5 = -3．

， ∵直线y = kx +b 过点C （0， 5）、E （4， –3）

⎧b =5,

∴⎨ 解得k = -2，b = 5．

4k +b =-3. ⎩

设直线y =-2x +5与x 轴的交点为D ，当y =0时，-2x +5=0，解得x =坐标为（

5

．∴D 点的2

5

，0）． 2

12

52

12

52

∴S =S △BDC + S △BDE =⨯(5-) ⨯5+⨯(5-) ⨯3=10．

（3）∵抛物线的顶点P 0(3, -4) 既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，

∴点P 0(3, -4) 为所求满足条件的点．

（4）除P 0点外，在抛物线上还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形．

理由如下：∵AP 0=BP 0=>4，

∴分别以A 、B 为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线

A 、P 交于点B 、P 2、P 3、4、P 5、P 6， 1、P

除去B 、A 两个点外，其余6个点为满足条件的点．

（说明：只说出P 点个数但未简要说明理由的不给分）

例四：解：（1）有多种答案，符合条件即可．例如y =x 2+1，y =x 2+x ，y =(x -1) 2+2 或y =x 2-2x +

3，y =(x

1) 2，y =(x -12．

（2）设抛物线l 2的函数表达式为y =x 2+bx +c ， 2

2) ，B (31)，在抛物线l 2上， 点A (1，9⎧b =-，⎪⎧1+b +c =2，911⎪22解得⎨ ∴抛物线l 2的函数表达式为y =x -x +． ∴⎨22⎩9+3b +c =1⎪c =11. ⎪⎩2x

911⎛9⎫7⎛97⎫（3）y =x -x += x -⎪+，∴C 点的坐标为 ⎪． 22⎝4⎭16⎝416⎭22

过A ，B ，C 三点分别作x 轴的垂线，垂足分别为D ，E ，F ，

则AD =2，CF =735，BE =1，DE =2，DF =，FE =． 1644

∴S △ABC =S 梯形ADEB -S 梯形ADFC -S 梯形CFEB

11⎛7⎫51⎛7⎫315=(2+1) ⨯2- 2+⎪⨯- 1+⎪⨯=． 22⎝16⎭42⎝16⎭416

延长BA 交y 轴于点G ，设直线AB 的函数表达式为y =mx +n ，

2) ，B (31)，在直线AB 上， 点A (1，

1⎧m =-，⎪⎧2=m +n ，15⎪2解得⎨∴⎨∴直线AB 的函数表达式为y =-x +．∴G 点的坐标为22⎩1=3m +n . ⎪n =5. ⎪⎩2

⎛5⎫ 0⎪． ⎝2⎭

设K 点坐标为(0，h ) ，分两种情况：

若K 点位于G 点的上方，则KG =h -5．连结AK ，BK ． 2

15⎫15⎫5⎛⎛S △ABK =S △BKG -S △AKG =⨯3⨯ h -⎪-⨯1⨯ h -⎪=h -． 22⎭22⎭2⎝⎝

S △ABK =S △ABC =5515515⎛55⎫，∴h -=，解得h =．∴K 点的坐标为 0⎪． 1616216⎝16⎭

525⎛25⎫-h ．同理可得，h =．∴K 点的坐标为 0⎪． 216⎝16⎭

（4）作图痕迹如图③所示． 由图③可知，点P 共有3个可能的位置．

注：作出线段AB 的中垂线得1分，画出另外两段弧得1分． 若K 点位于G 点的下方，则KG =

练习4：解： （1） DC ∥AB ，AD =DC =CB ， ∴ ∠CDB =∠CBD =∠DBA ，

∠DAB =∠CBA ， ∴∠DAB =2∠DBA ，

∠DAB +∠DBA =90， ∴∠DAB =60，

∠DBA =30， AB =4， ∴DC =AD =2，

R t ∆AOD ，OA =1，OD =，.

，D （0， ∴A （-1，0），C （2， ）． 3） x

（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A （－1，0），B （3，0），

故可设所求为 y =a （x +1）（ x -3）

将点D （0， 3）的坐标代入上式得， a =-3． 3

所求抛物线的解析式为 y =-············································· 7分 (x +1)(x -3). ·3

其对称轴L 为直线x =1． ····························································································· 8分

（3） ∆PDB 为等腰三角形，有以下三种情况：

①因直线L 与DB 不平行，DB 的垂直平分线与L 仅有一个交点P 1，P 1D =P 1B ， ∆P 1DB 为等腰三角形； ······························································································ 9分 ②因为以D 为圆心，DB 为半径的圆与直线L 有两个交点P 2、P 3，DB =DP 2，DB =DP 3， ∆P 2DB ， ∆P 3DB 为等腰三角形；

③与②同理，L 上也有两个点P 4、P 5，使得 BD =BP 4，BD =BP 5． ························· 10分 由于以上各点互不重合，所以在直线L 上，使∆PDB 为等腰三角形的点P 有5个．

练习6：（1）把x =0代入y =-

把y =0代入y =-224x +x +2得点C 的坐标为C （0，2） 33224x +x +2得点B 的坐标为B （3，0） 33

（2）连结OP ，设点P 的坐标为P （x ，y ）

S 四边形OBPC =S △OPC +S △OPB =11⨯2⨯x +⨯3⨯y 22 =

3⎛24⎫x + -x 2+x +2⎪=-x 2+3x +3 2⎝33⎭

∵ 点M 运动到B 点上停止，∴0≤x ≤3 3⎫3⎛∴S =- x -⎪+（0≤x ≤3） 2⎭4⎝

（3）存在． BC

=

① 若BQ = DQ

∵ BQ = DQ ，BD = 2 ∴ BM = 1 ∴OM = 3-1 = 2 ∴tan ∠OBC =2QM OC 222== ∴QM = 所以Q 的坐标为Q （2，） ． BM OB 333

BQ QM BM == BC CO BO ② 若BQ =BD =2 ∵ △BQM ∽△BCO ，∴

∴

QM ∴ QM

2BQ BM = ∴

BC OB ∵ BM 3∴ BM

∴ OM

= 3 ································································· 11分 ） ································································· 12分 所以Q 的坐标为Q

（3

练习8：

练习9：（1

） B (，

由题意可知AG =AB =

OG =OC =OA =m

∠OGA =90 ，∴OG 2+AG 2=OA 2 ∴2+2=m 2．又 m >0，∴m =2

（2）过G 作直线GH ⊥x 轴于H ，则OH =1，HG =1，故G (11)，．又由（1）知A (20，) ， 设过O ，G ，A 三点的抛物线解析式为y =ax 2+bx +c

抛物线过原点，∴c =0．

又 抛物线过G ，A 两点，∴⎧⎨a +b =1⎧a =-1

⎩4a +2b =0 解得⎨⎩b =2

∴所求抛物线为y =-x 2+2x ∴它的对称轴为x =1．

（3）答：存在, 满足条件的点P 有(1，0) ，(1，

-1) ，(11，

，(11，．

练习10、解：（1）过点A '作A 'D 垂直于x 轴，垂足为D , 则四边形OB 'A 'D 为矩形 在△A 'DO 中，A 'D =OA '

sin ∠A 'OD =4⨯sin60 =OD =A 'B '=AB =2 ∴点A '

的坐标为(2

（2） C (0，4) 在抛物线上，∴c =4 ∴y =ax 2+bx +4

A (4，

0) ，A '(2，在抛物线y =ax 2+bx +4上

∴⎧⎪⎨16a +4b +4=0，

⎧4=⎪a =

⎪⎩4a +2b +⎨⎪

⎩b =3

∴

所求解析式为y =2x 2+3) x +4．

（3）①若以点O 为直角顶点，由于OC =OA =4，点C 在抛物线上，则点C (0，4) 为满足条件的点．

②若以点A 为直角顶点，则使△PAO 为等腰直角三角形的点P 的坐标应为(4，4) 或(4，-4) ，经计算知；此两点不在抛物线上．

③若以点P 为直角顶点，则使△PAO 为等腰直角三角形的点P 的坐标应为(2，2) 或(2，-2) ，经计算知；此两点也不在抛物线上．

综上述在抛物线上只有一点P (0，4) 使△OAP 为等腰直角三角形