7.李雅普诺夫指数
李雅普诺夫指数与奇怪吸引子
1. 李雅普诺夫指数 2. 菲根鲍姆常数 吸引子 奇怪吸引子 3. 奇怪
混沌的描述性定义
混沌
混沌 如果一个函数（或映射）构成迭代，在迭代过程中具有下面三个 特征： 1、对初始条件具有敏感的依赖性； 2、它是非周期的； 3、存在着奇怪吸引子 。 那么就说这个函数（或映射）具有混沌特性，迭代出的轨迹就称为近 似的混沌吸引子或奇异（怪）吸引子。 注意 1、不是严格的数学定义，不断的发展中； 2、迭代出的轨迹是近似的混沌吸引子，混沌吸引子为极限点的集 合。去掉初始点。
1.李雅普诺夫指数
奇怪吸引子
吸引子 能量耗散系统最终收缩到的一种定常状 态。这是一个动力系统在 t →∞时所呈现的与 时间无关的定态，并且不管选取什么样的初始 值其终值的定态只有一个，也就是说终值与初 始值无关。这类吸引子也称平庸吸引子。 如：阻尼单摆有不动点吸引子，范德玻耳 方程有极限环吸引子，等等。 奇怪吸引子 相对于平庸吸引子而言，它们的 特点之一是终态值与初始值密切相关，或者说 对初始值具有极端敏感性；初始取值的细微差 别可能会导致完全不同的结果，这时的吸引子 毫无周期可言，即所谓混沌。
1.李雅普诺夫指数
奇怪吸引子
1.李雅普诺夫指数
奇怪吸引子
考察平方映射的两个迭代运算
⎧ x n +1 = µx n (1 − x n ) ⎨ ⎩ y n +1 = µy n (1 − y n )
取 µ = 4 ， 并 取 有 一 点 微 小 的 差 别 的 两 个 初 始 值 x 0 =0.370 与 y0=0.380 。运算结果如表所列， 经过前第四次迭代 , 两个运算结果还 没有显出太大差别 ， 但是从 第五次开始迭代结果的差别就非常显著 了。
N
0 0.370 0.380
1 0.932 0.942
2 0.252 0.217
3 0.754 0.680
4 0.741 0.870
5 0.767 0.451
6 0.715 0.990
7 0.814 0.038
8 0.605 0.147
9 0.956 0.501
10 0.167 0.999
Xn Yn
1.李雅普诺夫指数
奇怪吸引子
取 µ =2.1 ， 并 取 有 较 大 差 别 的 三 个 初 始 值 x 01 =0.08 ， x 02=0.12, , 三个运算结果趋于一致 ， x 03=0.16 。运算结果如左图， 经过五次迭代 经过五次迭代, 三个运算结果趋于一致， ~045 . 取 µ =3.7，取差别很小两个初始值 x01 =0.04， x02=0.05 。运算结果 如右图， 第二迭代差别就已显示出来 ,以后虽在第七次迭代时很接 近，但随后又快速分离开来。
1.李雅普诺夫指数
李雅普诺夫指数公式
两个系统：
xn +1 = f ( xn ),
设其初始值微小误差
yn+1 = f ( yn )
x 0 − y 0 ，经过一次迭代以后有：
f ( x0 ) − f ( y 0 ) df x 0 − y0 ≈ x0 − y 0 dx x 0 − y0
x0
x1 − y1 = f ( x 0 ) − f ( y 0 ) =
式中 ：
df dx
= lim
x0
x 0 → y0
f ( x0 ) − f ( y0 ) x0 − y 0
由第二次迭代得： x − y ≈ df 2 2
dx
x1 − y 1 ≈
x1
df dx
df x
1 dx
x0 − y0
x0
经过第 n 次迭代得： xn − yn ≈ ∏ df ( xn, µ )
n -1 n=0
dx
x0 − y0
xn
∏为多重乘号 。
1.李雅普诺夫指数
李雅普诺夫指数公式
可见，两个系统对初始扰动的敏感度由导数 df / dx x 决定，它与初始值 x0
0
有关。映射整体对初值敏感性需对全部初始条件平均，要进行
n -1
n 次迭代：
xn − y n ≈
∏
n= 0
df ( x n , µ ) dx
xn
x0 − y0
n-1 每次迭代平 ⎛ ⎜ ∏ df 均分离值为： ⎜ ⎝ n=0 dx
xn
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
1/ n
两个系统如初始存在微小误差，随时间 (或迭代)产生分离，分离程度常 (Lyapunov) 指数 来度量,它为几何平均值的对数： 用李雅普诺夫 李雅普诺夫(Lyapunov) (Lyapunov)指数
n -1 df ( x µ ) 1 ⎛ n, ⎜ λ = ln ∏ n ⎜ n =0 dx xn ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
式中 xn为第 n 次迭代值。取 n → ∞
，得李雅普诺夫指数计算公式：
1 n −1 df ( x n , µ ) λ = lim ∑ ln n →∞ n dx n =0
1.李雅普诺夫指数
李雅普诺夫指数应用
利用李雅普诺夫指数 λ ，相空间内初始时刻的两点距离将随时间 (迭代 次数)作指数分离：
xn − yn ≈ x0 − y 0 ⋅ exp(n ⋅ λ )
在一维映射中 λ 只有一个值，而在多维相空间情况下一般就有多个 λi ， 而且沿相空间的不同方向，其 λi ( i=1,2,…)值一般也不同。 设 ε 0 为多维相空间中两点的初始距离， 经 n 次迭代后两点的距离为： ε (t ) ≅ ε 0 e λ i t 式中指数 λi 值可正可负。λi > 0 表示沿该 λ i
1.李雅普诺夫指数
吸引子与李雅普诺夫指数
稳定体系的相轨线 相应于趋向某个平衡 点，如果出现越来越 远离平衡点，则体系 是 不 稳 定 的 。系 统 只 要有一个正值的就可 出现混沌运动 。 判别一个非线性系 统是否存在混沌运动 时，需要检查它的最 大李雅普诺夫指数 λ 是否为正值。
1.李雅普诺夫指数
吸引子与李雅普诺夫指数
吸引子可存在于高维相空间内。在这相空间中大于零的李雅普诺夫指数可 能不止一个，这样体系的运动将为更复杂。人们称高维相空间中有多个正值 指数的混沌为超混沌。推广到高维空间后，由指数(λ1, , λ2 , λ3 , λ4 , ⋯) 的值决 定的各种类型的吸引子归纳如下：
(λ1, , λ2 , λ3 , λ4 , ⋯) ( −,−,−,−, ⋯) (0,−,−,−,⋯) (0,0,−,−,⋯) (0,0,0,−,⋯) ( +,0,−,−, ⋯) ( +,+,0,−,⋯)
吸引子类型 不动点 极限环 二维环面 三维环面 超混沌
维数 D=0 D=1 D=2 D=2 D = 高于 3非整数
奇怪吸引子（混沌） D = 2~3 （非整数）
1.李雅普诺夫指数
平方映射的 λ 指数
利用计算程序可以方便地求得一维映射的 λ。 分析：由图可见
平方映射的指数 λ随参数 μ 值变化起伏很大，有一个临界值, 当 µ µc 指数开始转为正值，就是说平 方映射从这里开始由规则运动转为混沌，进入到混沌状态。 µ c = 3.5699 ⋯
1.00
1.李雅普诺夫指数
倍周期分岔李氏指数
当 μ =μ c以后，映射迭代的终态 值已无周期，进入了混沌状态。进 入混沌后，从图象的深浅程度上仍 可区分出不同的区域，说明混沌不 是混乱一片，而存在着一定层次； 倍周期分岔序列与李氏指数密切 关联。在 μ = μ c 后，指数λ便转为 正值，但在混沌区的各个窗口中指 数值λ又转为负值，即这里仍是规 则运动。展现一幅规则 ― 随机 ― 规 则 ― 随机 … 交织起来的丰富多彩的 图象，说明混沌是一种特殊的、包 含着无穷层次的运动形态 。
2．费根鲍姆常数
费根鲍姆常数
七十年代初 ,在梅（ R.May）发现了平方映射的异常复杂的特性后。年 轻的费根鲍姆( M.Feigenbum)用一台普通计算器进行计算。在计算中他注 意到数学家斯梅尔 (S.Smale)指出过的非线性系统由周期运动变到混沌的 转变区域遗留着一些尚未解决的问题。他每算一次记录一次结果，发现每 次分岔的 μ值之间的间隔越来越小。他将各个前后间隔相除，发现平方映 射是以恒定的速率接近临界值 μc。 3～ 3.4995
周期2轨 道
µ
1～ 3
周期1轨 道
3.4995 ～ 3.5441
周期4轨 道
3.5441 ～ 3.5644
周期8轨 道
3.5644 ～ >3.5688
… >3.5699
xn+1
周期16轨道 …
混沌
2．费根鲍姆常数
费根鲍姆常数
设 μn为第 n 次分岔的 μ 值，则 相继两次分岔的间隔之比 δ趋于一个 常数，被称为费根鲍姆第一常数。
lim
k→ ∞
µ n − µ n −1 = δ = 4 . 6692 µ n +1 − µ n
此外，他发现 2n周期分岔的超稳定点 之间的距离 dn 之比也趋于一个常数：
α，称为费根鲍姆第二常数。
dn = α = 2 . 5029 d n +1
2．费根鲍姆常数
费根鲍姆常数的意义
研究发现，对于所有在 [0， 1]区间内的单峰光滑映射，如正弦映射、圆与 椭圆映射等，都可计算得同样常数。而且许多包含耗散的非线性系统，只 要发生倍周期分岔也会有同样的常数。 两个费根鲍姆常数 δ 与 α 都反映了非线性系统沿倍周期分岔系列通向混 沌过程所具有的某种普适特性。可见费根鲍姆常数具有普遍意义。 大自然中存在一些普适常数，例如长度与直径之比的圆周率，反映物理 量随时间衰变的自然对数 e，反映物质微观量度的普朗克常数 h，真空中光 速c等，但普适常数为数不太， 它们代
表了大自然运动所遵循的某些规律 。 费根鲍姆常数发现说明在对自然规律的认识上又前进一步，它的所包含 的意义还有待进一步去发掘。
3. 奇怪吸引子 -埃侬吸引子
埃侬映射
埃侬映射是一个二维映射。这是天文学家埃侬 (M.Henon)首先计算的离 散型映射,它有两个控制参数 µ 和 b：
2 ⎧ x n +1 = 1 − µx n + yn ⎨ ⎩ y n +1 = bx n
埃侬映射所描述的体系随参数 b 的取值不同而不同 ： 当 b = 1时系统在运动中保持相平面积不变，描述的是保守系统 ； 当 b
2 x n +1 = 1 − µ x n
当x n与 xn+1的取值[0，1]时，则参数 µ 的取值[0 ，2]。 这个一维映射与平方映 射有相同的复杂动力学性质 。
3. 奇怪吸引子 -埃侬吸引子
埃侬吸引子
2 ⎧ xn +1 = 1 − µxn + yn ⎨ ⎩ yn +1 = bxn
取参数 µ ＝ 1.4 ， b ＝ 0.3 （即 b
3. 奇怪吸引子 -埃侬吸引子
埃侬吸引子的 λ 指数
埃侬映射是二维映射，要用两个李氏 指数 λa , λb 描述，其中一个指数为正值 时，就存在奇怪吸引子。 二维映射λ计算方法： 在吸引子吸引域 内任取一点作一条轨道起始点，在该点 邻近选一点作另一条轨道的起始点，考 察两条轨道间距离随迭代产生的变化 。 当轨道间距离很小时，迭代产生的间距变化认为是指数的，如初始间距为 d0 ，经过若干次迭代后间距为： d 1 = d 0 exp(λ1 ) λ 为在这局部区域内的指数。
1
随着间距增加，李氏指数会起变化，需要再次在第一条轨道附近另寻找相 距为 d0 的点作新起始点，如此可得指数 λ2 ，如此重复可得一系列指数λ 1,λ
2,
λ 3 …。对整个轨道平均得全局 李雅普诺夫指数 λ 。
3. 奇怪吸引子 -埃侬吸引子
埃侬吸引子的 λ 指数
指数 λ 随参数 µ 的变化 1.在 µ 1.42 时轨道变得 不再稳定，因此曲线也在 此终止。 4.在 µ = 1.04 处计算得:
λ a = 0.419
b ＝ 0.3 的最大李氏指数 λ 随 µ 的变化曲线
3. 奇怪吸引子 -埃侬吸引子
埃侬吸引子的 λ 指数
埃侬映射是二维映射，要用两个李氏指数 λa , λb 描述，上述已计算出正值 指数 λa ，现在求第二个负值指数 λb 。 2 ⎧ x n +1 = 1 − µx n + yn ⎨ ⎩ y n +1 = bx n 对于二维映射，迭代使
相空间圆变为椭圆。 ⎡− µxn 1⎤ 设初始圆直径为 d0 ， ⎢ b 0⎥ ⎣ ⎦ 椭圆长轴为 d1 = d0 e λ t ， 短轴 d 2 = d 0 eλ t ，
a b
面积 A = π d1d 2 / 4 = πd 02 e( λ 迭代的产生面积变化为 : 由此有
a +λb ) t
/4
。
An +1 = An e( λa + λb ) t
λa + λb = log( An / An +1 ) = log det J = log − b = −1.204
λb = − λa − 1.204 = −1.623
2.奇怪吸引子 -洛伦兹吸引子
洛伦兹方程的解
r 1, 坐标原点为鞍点，两个新平衡点 C 1 与 C 2是稳
定的焦点。 =24.7368） C 1与 C2成了不稳定 r >r c 的焦点。
⎧ dx ⎪ d τ = −σ ( x − y ) ⎪ ⎪ dy = rx − y − xz ⎨ ⎪ dτ ⎪ dz = − bz + xy ⎪ ⎩ dτ
⎧ ⎪x 1, 2 = y 1, 2 = ± b ( r − 1) ⎨ ⎪ ⎩z 1, 2 = r − 1
2.奇怪吸引子 -洛伦兹吸引子
洛伦兹吸引子
在洛伦兹方程中，取参数 σ =10，b = 8/3，随参数 r 增加，出现一次 新分岔－霍夫分岔，平衡点 C1 与 C2 将失稳发展成为奇怪吸引子。 取 r = 28 时计算的结果如下 。
2.奇怪吸引子 -洛伦兹吸引子
洛伦兹吸引子的 λ 指数
根据李雅普诺夫指数的含义，描述洛伦兹吸引子需 λ1 、 λ2 、λ3 三个 指数，且三个指数 之和为：
λ1 + λ2 + λ3 =
1 dV = −(σ + 1 + b ) V dt
取参数 σ =10， b = 8/3， r = 28 得： λ1 + λ2 + λ3 = −13 .667 三个指数之和为负值说明相体积是收缩的，洛伦兹系统是耗散系统。 采用计算二维映射的最大 λ 指数方法，可用数值计算方法算得洛伦兹 吸引子的 λ 指数。在上述参数下，具体计算可得正值：λλ=0.906 。另外对 于三维相空间内的相流必需有一个指数为 0，于是可以计算出指数 λ3 为： 于是：
λ3 = −0.906 − 0 − 13.667 = −14.572
( λ1 , λ2 , λ3 ) = ( 0.906,0,−14.572)
3. 奇怪吸引子 -罗斯勒吸引子
巴克尔变换
奇怪吸引子的最重要特征是对初值的敏感性，初始相互靠近的两条轨线 将按指数式规律分离。但在有限空间中如何保持这样的指数式分离状态？ 洛伦兹吸引子有两个不稳定平衡点，因此复杂的相轨线可以随机地在两 个中心之间行走。是否只有一个平衡点的奇怪吸引子呢？ 如果有，在有限相空间里如何容纳按指数分离的相轨线？于是就想象伸 展开来的相轨线可能产生了某种折叠。 巴克尔变换描写了这种变换：
x n +1 = 2 x n ⎧ ⎪ 1 ⎧ ay n ， 0 ≤ x n
3. 奇怪吸引子 -罗斯勒吸引子
巴克尔变换
图 a--保面积变换(保守系统)将单位正方块 (x,y ) 通过拉伸与压缩变换成长 方形。再将长方形进行折叠，把其右半部分折叠到左半部分的上部。 图b-- 0
两种映射的巴克 尔变换示意图。
2. 奇怪吸引子 -罗斯勒吸引子
罗斯勒方程组
根据相空间的伸展与折叠思想，罗斯勒 ( Rossler ) 在简化的洛伦茨方程 ̇̇ 的基础上，于 1976年设计了一个新的吸引子方程组，称为 罗斯勒方程组 ： 罗 斯 勒 方 程 组
⎧ dx ⎪ dt = −( y + z ) ⎪ ⎪ dy ⎨ = x + ay ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = b + ( x − c ) z ⎩
洛 伦 兹 方 程 组
⎧ dx ⎪ d τ = −σ ( x − y ) ⎪ ⎪ dy = rx − y − xz ⎨ ⎪ dτ ⎪ dz = − bz + xy ⎪ ⎩ dτ
在平衡点处有：
y = − z , x = az
z= b az − c
z1, 2
c ± c 2 + 4 ab = 2a
⎧ ⎪x 1,2 = y 1, 2 = ± b ( r − 1) ⎨ ⎪ ⎩z 1, 2 = r − 1
2. 奇怪吸引子 -罗斯勒吸引子
罗斯勒吸引子
取参数 a = b = 0.2 ， c =5.7 时计 算得罗斯勒吸引子图象 。 不稳定的平衡点在 (x,y ) 平面内。 相轨线先在 (x,y) 平面内绕平衡 点 从 内向外绕，绕了若干圈在离开平衡 点有一定距离后，离开平面 (x,y ) 进 入 z 方向空间转动，达到一定高度后 突然折回进离平衡点较近平面内。 相点沿相轨线从空间折回进平面 时，与准确平衡点总有某些差距， 由于平衡点是不稳定的，相点又继 续按上述方式运动，不断重复进行。
2. 奇怪吸引子 -罗斯勒吸引子
吸引子 罗斯勒 罗斯勒吸引子
在平面的投影 罗斯勒系统是 三维的，考察它 的相轨线在平面 内的投影。 取方程中参数：
c =2.6
c =3.5
c =4.1
a = b = 0.2 得不同c值下的
相轨线及它们的 功率谱
c =4.18
c =4.21
c =4.6
2. 奇怪吸引子 -罗斯勒吸引子
罗斯勒吸引子在平面的投影
参数： a = b = 0.2 。当c =2.6 时，相轨线是简单单周期的极限环，其功率谱 为系统的基频 f （~ 16Hz）及其谐波； 当c=3.5 时，得二周期运动相轨线，其功率谱为 f/2、f及其谐波； 当 c=4.1时，为四周期的极限环，功率谱为 f/4、f/2、 f及其谐波； 当 c=4.18时，为八周期的极限环，功率谱为 f/8、f/4、f/2、f及谐波。 可见随 c 增加，存在一系列时倍周期分岔，直到倍周期积累点 c ~ 4.2 。过 ∞ 积累点后，随 c 增加，轨线展宽开来，相近相轨线合并形成宽阔相轨道。 在 c=4.21 时，相轨线仍是八周期极限环，在功率谱上除 f/8、 f/4 、f/2、 f及其 谐波外，还有 f/16 的弱峰。 在 c=4.6 时，相轨线成了一条粗大的环线，表明运动已无任何周期，功率谱 是在很高的噪声背景谱上存在着频率 f 及其谐波的尖峰。 后者 奇怪吸引子功率谱的特征 。