三角形外接圆内接圆[1]
三角形的外接圆与内切圆半径的求法
江苏省海安县曲塘镇花庄初中（226661）马金全
一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形
如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝5 求△ABC的外接圆的半径.
解：∵AB＝13，BC＝12，AC＝5，
222
∴AB＝BC＋AC， ∴∠C＝90°，
∴AB为△ABC的外接圆的直径， ∴△ABC的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形
①已知一角和它的对边
例2如图，在△ABC 中，AB＝10，∠C＝100°， 求△ABC外接圆⊙O的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边AB的直角三角形.
解：作直径BD，连结AD.
则∠D＝180°－∠C＝80°，∠BAD＝90°
∴BD＝
AB10
＝ sinDsin80
5
. sin80
∴△ABC外接圆⊙O的半径为
注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.
例3如图，已知，在△ABC 中，AB＝10，∠A＝70°，∠B＝50°
求△ABC外接圆⊙O的半径.
分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD，连结BD.
则∠D＝∠C＝180°－∠CAB－∠BAC＝60°，∠DBA＝90°
∴AD＝
AB1020
3 ＝＝
sinDsin603
10
. 3
∴△ABC外接圆⊙O的半径为
②已知两边夹一角
例4如图，已知，在△ABC 中，AC＝2，BC＝3，∠C＝60° 求△ABC外接圆⊙O的半径.
分析：考虑求出AB，然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.
1
则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，CE＝AC＝1，AE＝3，
2
BE＝BC－CE＝2，AB＝AE2BE2＝7
∴AD＝
AB2＝＝21 sinD3sin60
∴△ABC外接圆⊙O的半径为
1
. 3
③已知三边
例5如图，已知，在△ABC 中，AC＝13，BC＝14，AB＝15 求△ABC外接圆⊙O的半径.
分析：作出直径AD，构造Rt△ABD.只要求出△ABC中BC边上的高AE，利用相似三角形就可以求出直径AD.
解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E. 则∠DBA＝∠CEA＝90°，∠D＝∠C
∴△ADB∽△ACE ∴
2
2
2
ACAE
ADAB
2
2
2
2
2
2
设CE＝x, ∵AC-CE＝AE＝AB-BE ∴13-x＝15-(14-x) x=5,即CE＝5 ∴AE＝12 ∴
13126565
AD＝ ∴△ABC外接圆⊙O的半径为. AD1548
二、求三角形的内切圆的半径
1、直角三角形
例6已知：在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c 求△ABC外接圆⊙O的半径.
解：可证四边形ODCE为正方形.设⊙O的半径为r， 则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r， ∴(a-r)+(b-r)=c,
abcabc∴r=,即△ABC外接圆⊙O的半径为.
22
B
b
2、一般三角形
①已知三边
例7已知：如图，在△ABC 中，AC＝13，BC＝14，AB＝15 求△ABC内切圆⊙O的半径r.
分析：考虑先求出△ABC的面积，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.
解：利用例5的方法，或利用海伦公式S△＝s(sa)(sb)(sc)(其中s=出S△ABC＝84，从而
111
AB•r+BC•r+AC•r=84, ∴r=4 222
abc
)可求2
②已知两边夹一角
例8已知：如图，在△ABC 中，cotB＝
4
,AB＝5，BC＝6 3
求△ABC内切圆⊙O的半径r.
分析：考虑先通过解三角形，求出△ABC的面积及AC的长，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.
解：作△ABC的高AD.解直角三角形可得AD＝3，CD＝2，AC＝， 因为
11
1111
AB•r+BC•r+AC•r=BC•AD, 可求得r=
62222
③已知两角夹一边
例9已知：如图，在△ABC 中，∠B＝60°，∠C＝45°,BC＝6 求△ABC内切圆⊙O的半径r.(精确到0.1) 分析：思路方法同上，读者可完成.
总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径
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