高中不等式的性质练习题2[1]
高中不等式的性质练习题2
1
a , b , c 的大小关系是 ( )
A. a >c >b B.a >b >c C.c >a >b D.b >c >a
【答案】A 【解析】
(0,+∞) 上为增函数
知a >
c
(-∞, +∞) 上为
减函数知c >b ,再由不等式的传递性知a >c >b 故选A.
考点:初等函数单调性及应用,不等式基本性质.
2.在∆ABC 中,角A , B , C 所对边长分别为a , b , c ,若a 2+b 2=2c 2,则cos C 的最小值为( ) A
【答案】C
【解析】
当且仅当a =b 时取等号. 考点:1. 余弦定理;2. 基本不等式.
3.若正实数a , b 满足a +b =1,则( ) A .
111
+有最大值4 B.ab 有最小值 a b 4
22
C
.a +
b 有最小值
2
【答案】C 【解析】
试题分析:本题是基本不等式的应用,我们可以举例说明一些不等式不成立,如
a =0.1, b =
0.9A
B 不成立,
D 不成立,因此选C .当然我们也可用基本不等式直接证明C
当且仅当a =b
时取等号,
≤1+a +b =
2
考点:基本不等式.
4.下列命题中的真命题是( )
A .若a >b , c >d ,则ac >bd B
a 2>b 2 C .若a >b ,则a 2>b 2 D
a 2>b 2
【答案】D 【解析】
试题分析:不等式基本性质中,与乘法有关的性质,不等式两边都要是非负数,才可能得出相应的结论,如果出现负数,结论不一定成立.如A 中b , d 为负数,结论就可能不成立:但2⨯3
(-5) ;B 但22-5,2>-3,3>-5,但32
中条件不
a 2>b 2. 考点:不等式的基本性质.
5.对于使x 2-2x ≥M 成立的所有常数M 中,我们把M 的最大值-1,称为函数x
2-2x
的“下确界”
A 、8 B、6 C、 4 D、1 【答案】A 【解析】
试题分析:由x , y , z ∈R +且x -y +2z =
从 考点:基本不等式.
6.若a>0,b>0,且a +b =4,则下列不等式恒成立的是
( )
22
2 D.a +b ≥8
【答案】D
【解析】
试题分析:因为a>0,b>0
当且仅当a =b
当且仅当a =b 时,等号成立,D 时等号成立,C 错;
成立,B 错;综上可知,选D.
考点:基本不等式、不等式的性质.
7.已知a
A .a >ab >ab 2 B .ab 2>ab >a C. ab >a >ab 2 D .ab >ab 2>a 【答案】D
【解析】
试题分析:由于每个式子中都有a ,故先比较1, b , b 2的大小. 因为-1
b
又 a ab 2>a . 考点:不等关系. 8
x ∈A ”是“x ∈B ”的( ) A. 充要条件 B.必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】
A ÜB , 选C.
考点:1、分式不等式和绝对值不等式的解法;2、充分条件和必要条件.
9.成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行,决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设.已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y 1,y 2分别是2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站( )
A .5千米处 B.4千米处 C.3千米处 D .2千米处 【答案】A 【解析】
试题分析:设仓库到车站的距离是x 千米,
y 1=2,所以y 2=8分别代入两个式子,可
x =5时,等号成立,所
以要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站5千米处.
考点:基本不等式及其应用
10
.若a , b , c ∈R ,且a >b ,则下列不等式一定成立的是( ) A .a +c ≥b -c C .ac >bc
B .(a -b ) c 2≥0
D
【答案】D 【解析】
试题分析:A 项:当c
2
项:a >b ⇒a -b >0,c 2≥0,所以(a -b ) c ≥0. 故选D.
考点:不等式性质.
11.已知x ∈(e -1,1) ,a =ln x c =e ln x ,则a , b , c 的大小关系为( )
A .c >b >a B.b >c >a C.a >b >c D.b >a >c 【答案】B 【解析】
-1-1
试题分析:∵x ∈(e ,1) ,∴ln x ∈(-1,0) ∴a ∈(-1,0) ,b ∈(1,2) ,c ∈(e ,1) ∴
b >c >a . 选B .
考点:利用函数图像比较大小. 12.设a =3,
0.5
b =log 32,c =cos 2,则 ( )
D.b A. c c 考点:指对数的计算以及余弦符号的判断.
13.e , π分别是自然对数的底和圆周率,则下列不等式不成立的是( )
A. log πe +(log e π)>
22
3
C. e e -e >e π-π D. (e +π)
试题分析:
x >1时,f '(x )>0, ∴f (x )在()
(1, +∞)上单调递增,而log e π>1, ∴log πe +(log e π)>f (1)=2, ∴A 成立;由均值
不
等
式
,
得
2
而则
成立;令g (x )=e x -x ,
g '(x )=e x -1.当x >1时,g '(x )>0, ∴g (x )在(1, +∞)上单调递增.而e
∴g (e )=e e -e
不
3
成立
3
;
2
e π-2
)(
3
-)e π
3
+4e 3=4π+e π3-e 3π-3
2
-
=3(e 3+π3)-3e π(e +π)=3(e +π)3(e 2-e π+π2)-3e π(e +π)=3e π(e -π)>0, ∴D
成立.
考点:1、不等式及其性质;2、导数的应用. 14.设
a , b , c N =a +b +c ,则M , N 的大小关系是 ( ) .
A .M ≥N B.M
试题分析:由题意不妨设a ≥b ≥c >0, 则ab ≥ac ≥
bc 式,知
M ≥N .当且仅当a =b =c 时
等号成立.故选A . 考点:不等式比较大小.
15.若不等式m +-x -2x ≤x +1对x ∈[-2, 0]恒成立,则实数m 的取值范围是
2
( )
A .-∞, 2 B.-∞, -2 C.-2, 2 D. -∞, -2 【答案】B 【解析】
试题分析:由题意
,,
令 t
=x +1t ∈[-1, 1],
(](][]()2, +∞
)
选B.
考点:1. 不等式的性质; 2.恒成立问题.
16.若a >b >c , 则下列不等式中正确的是( )
ab >
ac
【答案】D 【解析】
试题分析:根据题意,由于a >b >c ,那么当c 不为零时,选项A 成立,对于C=0,选项B 不成立,对于C ,由于,只有a,b,c 同号时成立,故选D 考点:不等式的性质
点评:主要是考查了不等式性质的运用,属于基础题。 17
A .m
( )
B .m =n
C .m >n
D .不能确定
m
考点:不等式的比较大小
点评:主要是考查了不等式的比较大小的运用,属于基础题。 18.已知a ≥0,b ≥0,且a+b=2,则 A .ab
【答案】C 【解析】
试题分析:根据题意,由于a ≥0,b ≥0,且a+b=2,
B .ab
C .a +b≥2
22
D .a +b≤3
22
22
则可知ab ≤1
a +b≥2 成立故答案为C 考点:不等式的性质
点评:主要是考查了不等式的性质的运用,属于基础题。
19.若x >y >1, 0
A .x -a >y -a B. log a x >log a y C. a x a y 【答案】C 【解析】
试题分析:根据题意,由于x >y >1, 0
x y
, 故排除选C. a
考点:不等式的比较大小
点评:主要是考查了对数和指数函数单调性以及幂函数性质的运用,属于基础题。 20.若a >b >0,则下列不等式一定不成立的是( ) A
B .log 2a >log 2b D
C .a 2+b 2≤2a +2b -2 【答案】C 【解析】
试题分析:根据题意,由于a >b >
0性质,底数大于1是递增函数,故log 2a >log 2b 成立,对于D,
作差法可知成立,而对于C ,应该是大于等于号,即左边大于等于右边,故选C 。考点:不等式的性质
点评:主要是考查了不等式性质的运用,以及比较大小的运用属于基础题。 21.如果0
N
A .M >N C .M =N 【答案】B 【解析】
( ). B .M <N
D .M 与N 的大小关系随t 的变化而变化
试题分析:根据题意,由于0
N
故可知M <N ,故可知答案为B. 考点:不等式的比较大小
点评:主要是考查了不等式的运用,属于基础题。
22.如果a , b , c 满足c 0 C.cb 2
试题分析:由c 点评:由不等式的性质来判断式子是否成立,常用的方法是取值法。像本题中的C 项,当取b =0时,就可判断是错误的,这样就可排除掉。 23.设
a 与b 的大小关系
()
A .a >b B .a
【答案】B 【解析】
试题分析:由x >0,y >0,结合不等式的性质可得,解:∵x >0,y >0,∴x+y+1>1+x>0,1+x+y>1+y>0, 则可
知
,那么可
知
a
点评:本题主要考查了不等式的性质的简单应用,解题的关键是熟练应用基本性质 24.若a , b , c ∈R ,且a >b ,则下列不等式一定成立的是 (
) A .a +c ≥b -c B.ac >bc
C .(a -b ) c 2≥0
【答案】D 【解析】
试题分析:根据题意,由于a , b , c ∈R ,且a >b ,那么可知,不等式两边同时加上任何数不等式方向不变,故A 错误,对于
B ,当c>0时才能成立,对于C ,由于c=0,不成立故排除,只有选D. 考点:不等式的性质
点评:主要是考查了不等式性质的运用,属于基础题。 252 a ,b ,c 的大小b =2cos 13-1
关系为 ( )
A. b
D. c
b =2cos 213 -1=cos 26 =sin 64 c
点评:对三角函数式进行大小比较,一般要将其化为同名三角函数,并将其角化归到该函数的某个单调区间上,再利用函数的单调性进行解答.
26
C
D
A
【答案】C 【解析】 试题
B
分析:根据题意,由
于
当且仅当
时等号成立,故可知答案为C.
考点:不等式的求解最值
点评:主要是考查了均值不等式来求解最值的运用,属于基础题。 27.对于实数a ,b ,c ,下列结论中正确的是 A 、若a >b ,则ac >bc C 、若a
2
2
B 、若a >b >0,则D
11> a b
、
b a
> a b
11
若a >b >,则a >0,b
a b
【答案】D 【解析】 试题分析:选项是不等式,可以利用不等式性质,结合特例逐项判断,得出正确结果.解:
11
b a 11
b <0,取a=-2,b=-1,可知b >,则a >0,b
a b a b
22
A ,当c=0时,有ac =bc , 故错.对于 B若a>b>0,则
成立,故选D
考点:不等式的性质
点评:本题考查命题真假,用到了不等式性质,特值的思想方法.
( ) a >b 2 D.a 2>2b
【答案】 C
【解析】
试题分析:通过举反例说明选项A ,B ,
D 错误,通过不等式的性质判断出C 正确。解:对于A ,例如a=2,
此时满足a >1>b >-1A 错,对于B ,例如a=2,a >1>b >-1
22
B 错,对于C ,∵-1<b <1∴0≤b <1∵a >1∴a >b 故C 正确,对于D ,例2
此时满足a >1>b >-1,a <2bg 故D 错,故选C
考点:不等式的性质
点评:想说明一个命题是假命题,常用举反例的方法加以论证.
29.若a , b , c ∈R ,且a >b ,则下列不等式一定成立的是 ( )
a |c |>b |c | C.|
a |>b 【答案】C 【解析】
试题分析:根据题意,只有a,b 同号的时候,选项A 成立,对于B ,只有c 不为零时成立,对于C ,由于|a|≥a ,则根据不等式的传递性可知成立对于D, 当a=0,不成立,故选C.
考点:不等式的性质
点评:主要是考查了不等式的性质简单运用,属于基础题。
30.设x , y , z 为正实数,满足x -2y +3z =
0 .
【答案】3 【解析】
试题分析:由已知得2y =x +3z ,∵x >0, y >0, z >0,
即
考点:1、不等式的性质;2、基本不等式. 31.已知x >0,y
>0【答案】16 【解析】
的最小值为16. 考点:基本不等式.
32.若正数x , y 满足2x +
y -3=0【答案】3. 【解析】
试题分析:若正数x , y 满足2x +y -3=0,即y =-2x +
3 ①x +y 的最小值为________. “=”,所以x +y
. ②,把①式代入②式得2m x 2-(3m +3) x +6=0,因为x 为正数,所以
3. m ≥
3考点:利用判别式法求最值.
33.对于函数f(x)定义域中任意的x 1,x 2(x1≠x 2) ,有如下结论: ①f(x1+x2)=f(x1)f(x2) , ②f(x1x 2)=f(x1)+f(x2) ,
当f(x)=lnx时,上述结论中正确结论的序号是_____________.
【答案】②④. 【解析】
试题分析:把函数f (x ) =ln x 代入结论①②:ln(x 1+x 2) =ln x 1⋅ln x 2,结合对数的运算法则,知②正确,①错误;
ln(x 1x 2) =ln x 1+ln x 2,
说明x 1f (x 2) ,从而f (x ) 为减函数,但函数f (x ) =ln x 是增函数,故
③
错
误
;
④
等价于
当x 1, x 2>0且
x 1≠x 2时,上式显然成立.故④也是正确的.
考点:1、对数的运算法则;2、对数函数的性质;3
、基本不等式.
34.则f (x )的最大值与最小值的乘积为 . 【解析】
42
试题分析:,而,所以x +1≥2x
,当时,k ≥1;当k
考点:不等式的应用. 35.设f (x ) =|2x -1|,若不等式f (x ) a ≠0恒成立,则x
的取值集合是________________. 【答案】x ≤-1或x ≥3 【解析】
3,从而|2x
-1|≥3,解出x ≤-1,x ≥3. 考点:1. 恒成立问题;2. 基本不等式. 36.若a >0, b >0,
【解析】
。
考点:新定义问题,不等式的性质,简单不等式的解法。 点评:中档题,理解新定义内容是正确解题的关键。
37.已知
a ,b 大小关系是a b. 【答案】> 【解析】
试题分析:根据题意,由于a=2
,
b=,两个平方作差可知
a>b
考点:比较大小
点评:主要是考查了不等式的比较大小的运用,属于基础题。
2
38.若不等式
-1
【解析】
2
试题分析:根据题意,由于不等式-1
是方程a x 2+bx+c-1=0,a x 2+bx+c+1=0的两个根,则可知9a+3b+c-1=0,a-b+c+1=0,那么借助于方程的根的情况可知,由于判别式大于零,因此实数a 的取值范围是
考点:不等式的解集
点评:主要是考查了一元二次不等式的解法的运用,属于基础题。
39.设x , y 为实数,若4x 2+y 2+xy =1,则2x +y 的最大值是。
【解析】 试
题
分析:根据题意,由于
4x 2+y 2+xy =1
, 而
(2x +y ) 2=4x 2+4xy +
y 2
2x +
y 考点:不等式的性质
点评:主要是考查了不等式的性质的运用,属于基础题。
40.在Rt ∆ABC , ∠C =90 中,且∠A .∠B .∠C 所对边分别为a , b , c ,若a +b =cx ,则实数x 的取值范围为__________
【解析】
试题分析:在Rt ∆ABC , ∠C =90 中有a 2+b 2=
c 2
考点:不等式及性质
点评:本题中求x
a , b 是正数,当和为定值时积取最值,积为定值时和取最值,最后要验证等号成立的条件a =b 是否成立
41.若1
α
【解析】
试题分析:由1
2
考点:不等式的性质
-4
x 恒成立,则实数a 的取值范围是 . 【解析】
x 恒成立,那么可知ax 2-2ax >-1恒成立即可,即当a=0时,显然0>-1恒成立,当a ≠0 时,由于二次函数开口向上,判别式小于零能满足题意,故可知为a>0,4a 2-4a 考点:不等式的恒成立问题
点评:主要是考查了指数不等式的求解和运用,属于中档题。
43.已知实数a , b , c 满足a +b +c =9,ab +bc +ca =24,则b 的取值范围是 . 【答案】[1,5] 【解析】
试题分析:将c =9-a -b 代入ab +ac +bc =24,并化简,构造关于a 的一元二次方程:a 2+a (b -9) +b 2-9b +24=0,该方程有解, 则∆=(b -9) 2-4(b 2-9b +24) ≥0,解得1≤b ≤5
考点:不等式的运用
点评:主要是考查了构造方程的思想,借助于判别式得到范围,属于中档题。
44.设函数f (x ) =2x -2+x + (1)
解不等式f (x ) >6;
(2)若关于x 的不等式f (
x ) ≤2a -的解集不是空集,求a
得取值范围. 【答案】(1(2
【解析】
试题分析:本题考查绝对值不等式的解法和有解问题的求法,考查学生运用函数零点分类讨论的解题思想和转化思想. 第一问,利用函数零点分成3类不等式组;第二问,是有解问题,将问题转化为|2a -1|≥f (x ) min ,本问的关键是求f (x ) min ,将函数f (x ) 去掉绝对值,化成分段函数,通过数形结合求出f (x ) min =4,即|2a -1|≥4,下面解绝对值不等式求出a 的取值范围. 试题解析:(1)∵ |2x -2|+|x +3|>6 , ∴ ⎨
x ≤-3-
3≤x ≤1x ≥1⎧⎧
或 ⎨或⎨,
-(2x -2) -(x +3) >6-(2x -2) +(x +3) >6(2x -2) +(x +3) >6⎩⎩⎩⎧
⎧-3≤x ≤1
或 ⎨
x
∴x ≤-3或-3≤x
∴x
1 分 ⎧-1-3x , x ≤-3⎪
(2)因为f (x ) =|2x -2|+|x +3|=⎨5-x , -3
⎪3x +1, x ≥1⎩
所以f (x ) =|2x -2|+|x +3|≥4,
所以若f (x ) ≤|2a -1|的解集不是空集,则|2a -1|≥f (x ) min =4,
即a 分
考点:1. 绝对值不等式的解法;2. 分段函数的最值;3. 有解问题的解法.
2
45.解关于x 的不等式ax -(a+1)x +1<
0. 【答案】(1)当a =0
(2)当a 1};
(3)当0
φ; (5)当a >1【解析】
试题分析:首先考虑不等式类型,当a =0a ≠0时是二次不等
式,利用图象法解二次不等式,需考虑开口方向和∆的符号,以确定抛物线和x 轴的位
置关系,对于能分解因式的二次不等式,可先分解因式(能分解因式,说明抛物线和x 有公共点,不需考虑∆的符号),再求根,此时直接讨论开口和根的大小即可, 从而写出解集.
试题解析:当
a =0时,不等式解集当a ≠0时,不等式可变为
(1)(ax -1)(x -1)
0,方程(ax
-1)(x -1) =0
当a
时,x >
1};(2)当0
(3)当a =
1时,不等式解集为φ;(4)当a >1
(1)当a =0
(2)当a
0x >1}; (3)当0
1 (4)当a =1时,不等式解集为φ; (5)当a >
1考点:含参数的二次不等式解法.
46.
1
)x 的取值范围;
(2)若关于x 的不等式f (x )
试题分析:(1)设g (
x ) f (x ) 和g (x ) 写成分段函数的形式,然后观察f (x ) =g (x ) 时自变量的取值范围即可;(2)这是不等式的有解问题,利用绝对值三角不等式求f (x ) 的最小值,f (x ) min
⎧-2x -1, x ≤-5
⎪
试题解析:(1)
由=⎨9, -5
⎪2x +1, x ≥4⎩
x 的取值范围为
g
(x )
x ∈(-∞, -5] [4, +∞);
(2
考点:1、零点分段法去绝对号;2、绝对值三角不等式;3、不等式有解问题. 47.
已知二次函数f (x )=ax 2+x , 若对于任意x 1, x 2∈R , 恒有
f (x )
A ;
(2)
B 是集合A 的子集,求a 的取值范围. 【答案】(1(2
【解析】
试题分析:(1
a >0,然后解含参数的二次不等式;(2)将集合B 计算出来,然后在数轴上表示两个集合的相对位置,研究当B ⊆A 时,两个集合端点的位置关系(注意考虑端点是否能重合). 试题解析:a ≠0, ∀x 1, x 2∈
R 立, 所以a
>0
2
方程ax +x =0
所以f (x )
的解集为
得B =(-a -4, a -4), 因为集合B 是集合A 的子集, 所以a -4≤0
, 化简得a 2+4a -1≤0,
考点:1、恒成立问题;2、含参数的二次不等式;3、集合间的关系. 48.设正有理数x
(Ⅱ)比较y 与x
【答案】(Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)详见解析. 【解析】
试题分析; (Ⅰ) 利用差比较法证明;(Ⅱ)利用差比较法证明. 试题解析:(Ⅰ
分) (
Ⅱ
)
,
x
>0
所以y 比x
考点:绝对值不等式.
49.设a , b , c ∈R , ab +bc +ca ≥3, 证明
+
a 5+b 5+c 5+a 3(b 2+c 2) +b 3(c 2+a 2) +c 3(a 2+b 2) ≥9。
【答案】原命题等价于(a 3+b 3+c 3)(a 2+b 2+c 2) ≥9,利用分析法。 【解析】
试题分析:原命题等价于(a 3+b 3+c 3)(a 2+b 2+c 2) ≥9, 10分
分
故只需要证明a 2+b 2+c 2≥3成立。 25分 利用已知条件,这是显然的。
考点:不等式的性质,不等式的证明。
点评:中档题,不等式的证明方法有,比较法、分析法、综合法、反证法、数学归纳法、放缩法等。熟练掌握不等式的性质是关键。 50.已知不等式kx 2-x +4k
(1)若不等式的解集为{x |x -1},求实数k 的值. (2)若不等式的解集为φ, 求实数k 的取值范围. 【答案】(1
2
【解析】
试题分析:(1)因为不等式的解集为{x |x -1},所以-1和-4是方程的两个实数根,
(2)不等式的解集为φ, 则kx 2-x +4k 0且
∆=1-16k 2≤0考点:本小题主要考查一元二次不等式、一元二次函数和一元二次方程的关系. 点评:三个二次的关系非常密切,一元二次方程的两个实数根就是一元二次方程的零点,也是一元二次不等式的解集的端点,它们的关系要熟练应用,必要时可以画函数图象辅助解决.