抛物线的几个常见结论及其用
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抛物线的几个常见结论及其应用
抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。 结论一：若AB 是抛物线y 2=2px (p >0) 的焦点弦（过焦点的弦），
p 2
且A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，则：x 1x 2=，y 1y 2=-p 2。
4
例：已知直线AB 是过抛物线y 2=2px (p >0) 焦点F ， 求证：
11+AF BF
为定值。
结论二：（1）若AB 是抛物线y 2=2px (p >0) 的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，
则
AB =
2P
sin 2α
（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线
对称轴的弦）最短。
例：已知过抛物线y 2=9x 的焦点的弦AB 长为12，则直线AB
结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。
（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线， 以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
例：已知AB 是抛物线y 2=2px (p >0) 的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
(2)分别过A 、B 做准线的垂线，
垂足为M 、N ，求证：以MN 为直径的圆 与直线AB 相切。
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结论四：若抛物线方程为y 2=2px (p >0) ，过（2p ，0）的直线与之交于A 、B 两点，则OA ⊥OB 。反之也成立。
结论五：对于抛物线x 2=2py (p >0) ，其参数方程为⎨
2pt ) ，O 为抛物线的顶点，显然k OP 点P 坐标为(2pt ，
2
⎧x =2pt ，
2
⎩y =2pt ，
设抛物线x 2=2py 上动
2pt 2
==t ，即t 的几何意义为过2pt
抛物线顶点O 的动弦OP 的斜率．
例 直线y =2x 与抛物线y 2=2px (p >0) 相交于原点和A 点，B 为抛物线上一点，OB 和OA 垂直，且线段AB
长为P 的值．
2pt A ) ，(2pt B 2，2pt B ) ， 解析：设点A ，B 分别为(2pt A 2，
则t A =
111
=，t B ==-k OA =-2． k OA 2k OB
A ，B 的坐标分别为
⎛p =
p p =2
⎝21. 过抛物线y =ax 2(a >0) 的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点， 若线段PF 与FQ 的长分别是p ，q ，则1+1 故1+1=4a 】
p
q
p
q
2. 设抛物线y 2=2px (p >0) 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线 于A ，B 两点．点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴． 证明直线AC 经过原点O ．
p ⎫p
【证明：抛物线焦点为F ⎛0⎪．设直线AB 的方程为x =my +， ，
⎝2
⎭
2
代入抛物线方程，得y 2-2pmy -p 2=0．若设A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ， 则y 1y 2=-p 2．
∵B C ∥
2p
轴，且点； x C 在准线k CO =
y 1
又由y 12=2px 1，得k AO =y 1=2p ， 故k CO =k AO ，即直线AC 经过原点O ．】
x 1
y 1
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3. 已知抛物线的焦点是F (11)，，准线方程是x +y +2=0，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程．
【解：设P (x ，y ) 是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义
得
．
整理，得x 2+y 2-2xy -8x -8y =0，此即为所求抛物线的方程．
抛物线的对称轴应是过焦点F (11)因此有对，且与准线x +y +2=0垂直的直线，称轴方程y =x ．
设对称轴与准线的交点为M ，可求得M (-1，-1) ，于是线段MF 的中点就是抛物线的顶点，坐标是(0，0) 】
1. 抛物线的顶点坐标是A (1，0) ，准线l 的方程是x -2y -2=0，试求该抛物线的焦点 2x +y -62⎫ 设对称轴和准线的交点是M ，可以求得M ⎛-⎪．设焦点为F ，则FM 的中 ，
⎝5
5⎭
42⎫点是A ，故得焦点坐标为F ⎛ ⎪． 再设P (x ，y ) 是抛物线上的任一点，根据
⎝55⎭
4x 2+y 2+4xy -4x -12y =0，
即为所求抛物线的方程．
例2 已知A ，B 为抛物线x 2=4y 上两点，且OA ⊥OB ，
求线段AB 中点的轨迹方程．